1.理解軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形概念；
2.掌握?qǐng)D形的平移的性質(zhì)及有關(guān)計(jì)算；
3.掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)并運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算；
4.掌握位似的性質(zhì)。
考點(diǎn)1：軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱
1．常見的軸對(duì)稱圖形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓．
2．折疊的性質(zhì):折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，折疊前后的兩圖形全等，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．
3．作某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的一般步驟
1）過已知點(diǎn)作已知直線（對(duì)稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足；2）在這條直線另一側(cè)從垂足除法截取與已知點(diǎn)到垂足的距離相等的線段，那么截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線的對(duì)稱點(diǎn)．
4．作已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形的一般步驟
1）作出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)；
2）把這些對(duì)稱點(diǎn)順次連接起來，就形成了一個(gè)符合條件的對(duì)稱圖形．
考點(diǎn)2：圖形的平移
1．定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形由一個(gè)位置沿某個(gè)方向移動(dòng)到另一個(gè)位置，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移．平移不改變圖形的形狀和大?。?br>2．三大要素： 一是平移的起點(diǎn)，二是平移的方向，三是平移的距離．
3．性質(zhì)：
1）平移前后，對(duì)應(yīng)線段平行且相等、對(duì)應(yīng)角相等；2）各對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行(或在同一條直線上)且相等；3）平移前后的圖形全等．
4．作圖步驟：
1）根據(jù)題意，確定平移的方向和平移的距離；2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）按平移方向和平移距離平移各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；4）按原圖形依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到平移后的圖形．
考點(diǎn)3：圖形的旋轉(zhuǎn)
1．定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向(順時(shí)針或逆時(shí)針)轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫旋轉(zhuǎn)．這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過的這個(gè)角叫做旋轉(zhuǎn)角．
2．三大要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度．
3．性質(zhì)：
1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；2）每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；
3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等．
4．作圖步驟：1）根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）連接關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；4）按原圖形依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形．
【注意】旋轉(zhuǎn)是一種全等變換，旋轉(zhuǎn)改變的是圖形的位置，圖形的大小關(guān)系不發(fā)生改變，所以在解答有關(guān)旋轉(zhuǎn)的問題時(shí)，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質(zhì)的運(yùn)用、銳角三角函數(shù)建立的邊角關(guān)系起著關(guān)鍵的作用．
考點(diǎn)4：中心對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱
常見的中心對(duì)稱圖形
平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等．
注意：圖形的“對(duì)稱”“平移”“旋轉(zhuǎn)”這些變化,是圖形運(yùn)動(dòng)及延伸的重要途徑,研究這些變換中的圖形的“不變性”或“變化規(guī)律”.
考點(diǎn)5：坐標(biāo)變換的規(guī)律
（1）P(a，b)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,－b)；
（2）P(a，b)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－a,b)；
（3）P(a，b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－a,－b)．
【題型1：平移、旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱的識(shí)別】
【典例1】（2023?蘇州）古典園林中的花窗通常利用對(duì)稱構(gòu)圖，體現(xiàn)對(duì)稱美．下面四個(gè)花窗圖案，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A、原圖不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B、原圖既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、原圖既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、原圖不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
【變式1-1】（2023?泰州）書法是我國(guó)特有的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，其中篆書具有象形特征，充滿美感．下列“?！弊值乃姆N篆書圖案中，可以看作軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：A，B，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；
C選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；
故選：C．
【變式1-2】（2023?廣西）下列數(shù)學(xué)經(jīng)典圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【解答】解：A、圖形是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
B、圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
C、圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
D、圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意．
故選：A．
【變式1-3】（2023?宜昌）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)明都曾在世界上有重要影響．下列圖形“楊輝三角”“中國(guó)七巧板”“劉徽割圓術(shù)”“趙爽弦圖”中，中心對(duì)稱圖形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：選項(xiàng)A、B、C都不能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形．
選項(xiàng)D能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形．
故選：D．
【題型2：平移、旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用】
【典例2】（2023?無錫）如圖，△ABC中，∠BAC＝55°，將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．當(dāng)α＝40°時(shí)，點(diǎn)D恰好落在BC上，此時(shí)∠AFE等于（ ）
A．80°B．85°C．90°D．95°
【答案】B
【解答】解：∵將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜55°），得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，
∴∠B＝70°，
∴∠C＝∠E＝55°，
∴∠AFE＝180°﹣55°﹣40°＝85°，
故選：B．
【變式2-1】（2023?南充）如圖，將△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，則CF的長(zhǎng)是（ ）
A．2B．2.5C．3D．5
【答案】A
【解答】解：由平移的性質(zhì)可知：CF＝BE＝2，
故選：A．
【變式2-2】（2023?牡丹江）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：
第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形ABEF，然后把紙片展平；
第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，得到折痕MN，如圖②．
根據(jù)以上的操作，若AB＝8，AD＝12，則線段BM的長(zhǎng)是（ ）
A．3B．C．2D．1
【答案】C
【解答】解：如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝12，
∴DC＝AB＝8，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠B＝90°，
由折疊得∠AFE＝∠B＝90°，
∴四邊形ABEF是矩形，
∵AF＝AB＝8，
∴四邊形ABEF是正方形，
∴BE＝EF＝AB＝8，∠BEF＝90°，
如圖②，由折疊得FM＝CM，
∵EM2+EF2＝FM2，且EM＝8﹣BM，F(xiàn)M＝CM＝12﹣BM，
∴（8﹣BM）2+82＝（12﹣BM）2，
解得BM＝2，
故選：C．
【變式2-3】（2023?寧夏）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．點(diǎn)D在BC上，且BD：CD＝1：3．連接AD，線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接BE，DE．則△BDE的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠EAB+∠BAD＝90°，
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠C＝∠ABC＝45°，
∴∠EAB＝∠CAD，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠C＝∠ABE＝45°，CD＝BE，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝90°，
∵BC＝2，BD：CD＝1：3，
∴BD＝，CD＝BE＝，
∴＝，
故選：B．
【題型3：圖形變化與點(diǎn)坐標(biāo)變化】
【典例3】（2023?海南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），將△ABO繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（ ）
A．（3，3）B．（3，3）C．（6，3）D．（3，6）
【答案】B
【解答】解：作CM⊥x軸于M，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），
∴BC＝OB＝6，
∵∠OBC＝60°，
∴BM＝，CM＝＝3，
∴OM＝OB﹣BM＝6﹣3＝3，
∴C（3，3）．
故選：B．
【變式3-1】（2023?金華）如圖，兩盞燈籠的位置A，B的坐標(biāo)分別是（﹣3，3），（1，2），將點(diǎn)B向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B′，則關(guān)于點(diǎn)A，B′的位置描述正確的是（ ）
A．關(guān)于x軸對(duì)稱B．關(guān)于y軸對(duì)稱
C．關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱D．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱
【答案】B
【解答】解：∵點(diǎn)B′由點(diǎn)B（1，2）向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到
∴此時(shí)B′坐標(biāo)為（3，3）．
∴A與B′關(guān)于y軸對(duì)稱．
故選：B．
【變式3-2】（2023?青島）如圖，將線段AB先向左平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，再將所得線段繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到線段A′B′，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）
【答案】A
【解答】解：如圖，
由題意可知，點(diǎn)A（0，3），B（2，0），
由平移的性質(zhì)得：A''（﹣2，3），點(diǎn)B'（0，0），
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：點(diǎn)A'與A''關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴A′（2，﹣3），
故選：A．
【變式3-3】（2023?聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC各點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），則點(diǎn)A2坐標(biāo)為（ ）
A．（1，5）B．（1，3）C．（5，3）D．（5，5）
【答案】B
【解答】解：∵A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A1（﹣2，﹣1），B1（﹣1，﹣3），C1（﹣4，﹣4），
又∵B2（2，1），
∴平移規(guī)律為向右平移3個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位，
∴點(diǎn)A2坐標(biāo)為（﹣2+3，﹣1+4），即（1，3）．
故選：B．
【變式3-4】（2023?朝陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，2），B（4，1），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
【答案】D
【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），
∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），
故選：D．
【題型4：與平移、旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱相關(guān)的網(wǎng)格作圖】
【典例4】（2023?達(dá)州）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)均在小正方形的格點(diǎn)上．
（1）將△ABC向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；
（2）將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2；
（3）在（2）的運(yùn)動(dòng)過程中請(qǐng)計(jì)算出△ABC掃過的面積．
【答案】（1）見解答；
（2）見解答；
（3）+．
【解答】解：（1）△A1B1C1如圖所示；
（2）△A2B2C2如圖所示；
（3）＝，
∵AC＝，
∴＝＝，
∴在（2）的運(yùn)動(dòng)過程中△ABC掃過的面積＝＝+．
【變式4-1】（2023?宜昌）如圖，在方格紙中按要求畫圖，并完成填空．
（1）畫出線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的線段OB，連接AB；
（2）畫出與△AOB關(guān)于直線OB對(duì)稱的圖形，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是C；
（3）填空：∠OCB的度數(shù)為 45° ．
【答案】（1）（2）見解答；
（3）45°．
【解答】解：（1）如圖，OB為所作；
（2）如圖，△COB為所作；
（3）∵線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的線段OB，
∴OB＝OA，∠AOB＝90°，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∵△COB與△AOB關(guān)于直線OB對(duì)稱，
∴∠OCB＝∠OAB＝45°．
故答案為：45°．
【變式4-2】（2023?寧波）在4×4的方格紙中，請(qǐng)按下列要求畫出格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．
（1）在圖1中先畫出一個(gè)以格點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形PAB，再畫出該三角形向右平移2個(gè)單位后的△P′A′B′．
（2）將圖2中的格點(diǎn)△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，畫出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的△A′B′C．
【答案】圖形見解答．
【解答】解：（1）如圖1，△P′A′B′即為所求；
（2）如圖2，△A′B′C即為所求．
【變式4-3】（2023?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）將△ABC向上平移4個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到△A1B1C1，請(qǐng)畫出△A1B1C1；
（2）請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A2B2C2；
（3）將△A2B2C2繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A3B3C3，求線段A2C2在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積（結(jié)果保留π）．
【答案】（1）圖形見解答；
（2）圖形見解答；
（3）．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求；
（3）將△A2B2C2繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A3B3C3，如圖，連接OC3交于D，連接OC2交于E，
∵A2（﹣2，﹣1），B2（﹣1，﹣2），C2（﹣3，﹣3），
∴OA2＝＝，OB2＝＝，OC2＝＝3，
∴OA2＝OB2＝OD＝OE＝，
由旋轉(zhuǎn)得：OA2＝OA3，OB2＝OB3，OC2＝OC3，A2C2＝A3C3，∠C2OC3＝∠DOE＝90°，
∴△OA2C2≌△OA3C3（SSS），
∴＝，
∴線段A2C2在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積＝S﹣S扇形DOE＝﹣＝．
一．選擇題（共8小題）
1．在學(xué)習(xí)圖案與設(shè)計(jì)這一節(jié)課時(shí)，老師要求同學(xué)們利用圖形變化設(shè)計(jì)圖案，下列設(shè)計(jì)的圖案中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【解答】解：A、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
2．在《生活中的平移現(xiàn)象》的數(shù)學(xué)討論課上，小明和小紅先將一塊三角板描邊得到△ABC，后沿著直尺BC方向平移3cm，再描邊得到到△DEF，連接AD．如圖，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)△ABC的周長(zhǎng)為16cm，則四邊形ABFD的周長(zhǎng)為（ ）
A．16cmB．22cmC．20cmD．24cm
【答案】B
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴CF＝AD＝3cm，AC＝DF，
∵△ABC的周長(zhǎng)為16cm，
∴AB+BC+AC＝16cm，
∴四邊形ABFD的周長(zhǎng)＝AB+BC+CF+DF+AD
＝AB+BC+AC+CF+AD
＝16+3+3
＝22（cm）．
故選：B．
3．如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，連接AA'，BB'，CC'，其中BB′分別交AC，A′C于點(diǎn)D，D'，下列結(jié)論：①AA'∥BB'；②∠ADB＝∠A′D′B′；③直線l垂直平分 AA'；④直線AB與A'B'的交點(diǎn)不一定在直線l上．其中正確的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】A
【解答】解：∵△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴AA'∥BB'，故A正確，
∴∠ADD′＝∠A′D′D，
∴∠ADB＝∠A′D′B′，故B正確，；
∵△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴線段AA′、BB′、CC'被直線l垂直平分，正確，不符合題意；
∵△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴直線l垂直平分 AA'，故C正確；
∵△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴線段AC、A'C'所在直線的交點(diǎn)一定在直線l上，故D錯(cuò)誤，
故選：A．
4．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝5，BC＝3，將長(zhǎng)方形沿BE折疊，使得點(diǎn)A落在CD邊上F處，則AE的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解答】解：∵將長(zhǎng)方形沿BE折疊，使得點(diǎn)A落在CD邊上F處，
∴AB＝BF＝5，AE＝EF，
∴CF＝＝4，
∴DF＝1，
∴AE＝EF＝＝，
解得AE＝，
故選：B．
5．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△AB′C′，若∠C′＝45°，且AB′⊥BC于點(diǎn)E，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．60°B．75°C．45°D．50°
【答案】B
【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△AB′C′，
∴∠BAE＝30°，∠C＝∠C'＝45°，
又∵AB′⊥BC，
∴∠EAC＝45°，
∴∠BAC＝75°，
故選：B．
6．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置．若四邊形AECF的面積為36，DE＝2，則AF的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．C．8D．
【答案】D
【解答】解：∵把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABF的位置，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于36，
∴AD＝DC＝6，
∵DE＝2，
∴Rt△ADE中，AE＝，
∴AE＝AF＝，
故選：D．
7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A'BC'，若點(diǎn)C'在AB上，則AA'的長(zhǎng)為（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】A
【解答】解：如圖，連接AA'，
∵將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A′BC'，
∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，
根據(jù)勾股定理得：
AB＝＝5，
∴A'B＝AB＝5，
∴AC'＝AB﹣BC'＝1，
在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：
AA'＝＝，
故選：A．
8．如圖，在等腰△AOB中，OA＝AB，∠OAB＝120°，OA邊在x軸上，將△AOB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△A'OB'，若，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（﹣1，）C．（﹣1，2）D．（﹣1，）
【答案】B
【解答】解：過B作BC⊥OA于C，直線A'B'交y軸于D，
∵OA＝AB，∠OAB＝120°，
∴∠AOB＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵，
∴，
∴OA＝AB＝2，
∵將△AOB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△A'OB'，
∴∠B'＝30°，A'O＝OA＝2，，∠BOB'＝120°，
∴∠DOB'＝60°，
∴∠ODB'＝90°，
∴，
∴B'D＝3，
∴A'D＝B'D﹣A'B'＝1，
∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為，
故選：B．
二．填空題（共7小題）
9．若點(diǎn)A（2，﹣3）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （﹣2，3） ．
【答案】（﹣2，3）．
【解答】解：∵點(diǎn)A（2，﹣3）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，3），
故答案為：（﹣2，3）．
10．如圖，已知四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，點(diǎn)E、F分別在線段AB、CD上，將四邊形AEFD沿EF翻折得到四邊形A'EFD'，若∠CFD'＝36°，則∠DFE＝ 108° ．
【答案】108°．
【解答】解：∵∠CFD'＝36°，
∴∠DFD′＝180°﹣∠CFD′＝180°﹣36°＝144°，
由翻折得∠D′FE＝∠DFE，
∴2∠DFE+144°＝360°，
∴∠DFE＝108°，
故答案為：108°．
11．如圖，將長(zhǎng)為6，寬為4的長(zhǎng)方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到長(zhǎng)方形A'B'CD'，則陰影部分的面積為 12 ．
【答案】12．
【解答】解：由題意可得，陰影部分是矩形，長(zhǎng)B'C＝6﹣2＝4，寬A'B'＝4﹣1＝3，
∴陰影部分的面積＝4×3＝12，
故答案為：12．
12．線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（5，2），若將線段AB平移，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C（3，﹣1）．則平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 （0，1） ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵B（5，2），點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C（3，﹣1）．
∴變化規(guī)律是橫坐標(biāo)減2，縱坐標(biāo)減3，
∵A（2，4），
∴平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 （0，1），
故答案為（0，1）．
13．如圖，有一塊長(zhǎng)方形區(qū)域，AD＝2AB，現(xiàn)在其中修建兩條長(zhǎng)方形小路，每條小路的寬度均為1米，設(shè)AB邊的長(zhǎng)為x米，則圖中空白區(qū)域的面積為 2x2﹣3x+1 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：AD＝2AB，設(shè)AB邊的長(zhǎng)為x米，則AD＝2x米，
空白區(qū)域的面積為：（x﹣1）（2x﹣1）＝2x2﹣3x+1，
故答案為：2x2﹣3x+1，
14．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝3，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′，則BB′＝ 6 ．
【答案】6．
【解答】解：∵在△ABC中，BC＝3，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝6，
∵將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB′C′，
∴∠∠BAB′＝90°，AB＝AB′＝6，
∴BB′＝＝6．
故答案為：6．
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P（2，3）繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為 （3，﹣2）或（﹣3，2） ．
【答案】（3，﹣2）或（﹣3，2）．
【解答】解：將點(diǎn)P（2，3）繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，如圖：
分別過點(diǎn)P和P′作PM⊥y軸于點(diǎn)M，作P′N⊥x軸于點(diǎn)N，
∵將點(diǎn)P繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，
∴∠POM+∠P′OM＝90°，
∴∠P′OM+∠P′ON＝90°，
∴∠POM+∠P′ON，
在△POM和△P′OM中，
，
∴△POM≌△P′OM（AAS），
∴OM＝ON＝3，PM＝P′N＝2，
由圖可知：點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（3，﹣2）或（﹣3，2）；
故答案為：（3，﹣2）或（﹣3，2）．
三．解答題（共3小題）
16．如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）請(qǐng)畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A1B1C1，并寫出A1的坐標(biāo)；
（2）求（1）中C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C1點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．
【答案】（1）畫圖見解答；A1（﹣4，2）．
（2）．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．
點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣4，2）．
（2）由勾股定理得，OC＝＝5，
∴C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C1點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為＝．
17．如圖所示，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，連接OA，OB，OC，∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC．
（1）求∠DAO的度數(shù)；
（2）用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】（1）90°；
（2）OA2+OB2＝OC2．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝90°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠OCD＝60°，∠ADC＝∠BOC＝120°，
∴∠DAO＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°；
（2）線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系是OA2+OB2＝OC2．
如圖，連接OD．
∵△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°．
∴CD＝OC，∠ADC＝∠BOC＝120°，AD＝OB，
∴△OCD是等邊三角形，
∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，
∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD＝30°，∠ADO＝60°．
∴∠DAO＝90°．
在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，
∴OA2+AD2＝OD2．
∴OA2+OB2＝OC2．
18．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）當(dāng)∠BDE＝25°時(shí)，求∠BEF的度數(shù)．
【答案】（1）見解析過程；
（2）65°．
【解答】（1）證明：∵將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∵∠BDE＝25°，
∴∠BEF＝65°．
一．選擇題（共7小題）
1．如圖，將長(zhǎng)方形ABCO放置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A，C分別在y軸和x軸上，點(diǎn)B（8，4），連接BO，并將△ABO沿BO翻折至長(zhǎng)方形ABCO所在平面，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：設(shè)BE交OC于點(diǎn)F，作EH⊥OF于點(diǎn)H，則∠OHE＝90°，
∵四邊形ABCO是矩形，B（8，4），
∴OA＝BC＝4，OC＝AB＝8，AB∥OC，
∴∠ABO＝∠FOB，
由翻折得EB＝AB＝8，OE＝OA＝4，∠ABO＝∠FBO，∠OEB＝∠OAB＝90°，
∴∠FOB＝∠FBO，
∴BF＝OF，
∴EF＝8﹣BF＝8﹣OF，
∵OE2+EF2＝OF2，
∴42+（8﹣OF）2＝OF2，
解得OF＝5，
∴EF＝8﹣5＝3，
∵OF?EH＝OE?EF＝S△OEF，
∴×5EH＝×4×3，
解得EH＝，
∴OH＝＝＝，
∴E（，），
故選：A．
2．如圖，將周長(zhǎng)為8的△ABC沿BC方向向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到△DEF，則四邊形ABFD的周長(zhǎng)為（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到△DEF，
∴DF＝AC，AD＝CF＝2，
∴四邊形ABFD的周長(zhǎng)＝AB+BF+DF+AD
＝AB+BC+CF+AC+AD
＝△ABC的周長(zhǎng)+AD+CF
＝8+2+2
＝12．
故選：B．
3．如圖，正方形ABCD，邊長(zhǎng)AB＝2，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，三角板兩邊足夠長(zhǎng)，與BC、CD交于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段EF的最小值為（ ）
A．1B．2C．D．2
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，∠ODC＝∠OCB＝45°，OC⊥OD，
∵∠EOF＝90°＝∠COD，
∴∠DOF＝∠COE，且OC＝OD，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∴△OEC≌△OFD（ASA）
∴OE＝OF，且∠EOF＝90°，
∴EF＝OE，
∴OE取最小值，EF有最小值，
當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE有最小值，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，OE⊥BC，
∴OE＝BC＝1，
∴EF的最小值為，
故選：C．
4．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：如圖，過點(diǎn)B′作B′H⊥y軸于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cs60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，
∴OH＝2+1＝3，
∴B′（﹣，3），
故選：A．
5．如圖，菱形ABCD，點(diǎn)A，B，C，D均在坐標(biāo)軸上，∠ADC＝120°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PE的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】A
【解答】解：根據(jù)題意得，E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是BC的中點(diǎn)E'，連接DE'交AC與點(diǎn)P，此時(shí)PD+PE有最小值為DE'，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，點(diǎn)A（﹣4，0），
∴OA＝OC＝4，∠DBC＝60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴DE'＝OC＝4，
即PD+PE的最小值是4，
故選：A．
6．如圖，將正方形紙片ABCD沿PQ折疊，使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)E落在邊AB上，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，EF為交AD于點(diǎn)G，連接CG交PQ于點(diǎn)H，連接CE．下列四個(gè)結(jié)論中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四邊形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ?GD，正確的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【答案】B
【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．
由折疊可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．
∴∠BEP+∠AEG＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AEG+∠AGE＝90°，
∴∠BEP＝∠AGE．
∵∠FGQ＝∠AGE，
∴∠BEP＝∠FGQ．
∵∠B＝∠F＝90°，
∴△PBE∽△QFG．
故①正確；
②過點(diǎn)C作CM⊥EG于M，
由折疊可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
在△BEC和△MEC中，
，
∴△BEC≌△MEC（AAS）．
∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．
∵CG＝CG，
∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），
∴S△CMG＝S△CDG，
∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四邊形CDQH，
∴②不正確；
③由折疊可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
即EC平分∠BEG．
∴③正確；
④連接DH，MH，HE，如圖，
∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，
∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，
∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP＝45°．
∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．
由折疊可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，
∴EH⊥CG．
∴EG2﹣EH2＝GH2．
由折疊可知：EH＝CH．
∴EG2﹣CH2＝GH2．
∵CM⊥EG，EH⊥CG，
∴∠EMC＝∠EHC＝90°，
∴E，M，H，C四點(diǎn)共圓，
∴∠HMC＝∠HEC＝45°．
在△CMH和△CDH中，
，
∴△CMH≌△CDH（SAS）．
∴∠CDH＝∠CMH＝45°，
∵∠CDA＝90°，
∴∠GDH＝45°，
∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，
∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．
∵∠HGQ＝∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH，
∴＝，
∴GH2＝GQ?GD，
∴GE2﹣CH2＝GQ?GD．
∴④正確；
綜上可得，正確的結(jié)論有：①③④．
故選：B．
7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△BEF沿EF折疊，若點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)G處，設(shè)EF＝x，則x的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：當(dāng)點(diǎn)F在C點(diǎn)，將△BEF沿EF折疊，使得點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)G處，此時(shí)EF最小，如圖，
由折疊可知：CG＝BC＝10，BE＝GE，
在Rt△DCG中，DC＝8，
∴DG＝＝6，
∴AG＝AD﹣DG＝10﹣6＝4，
設(shè)BE＝t，則EG＝t，AE＝8﹣t，
在Rt△AEG中，
∵AE2+AG2＝EG2，
∴（8﹣t）2+42＝t2，
解得t＝5，
∴BE＝t＝5，
∴EF＝＝＝5；
∴此時(shí)EF的長(zhǎng)為5；
②當(dāng)點(diǎn)E在A點(diǎn)，將△BEF沿EF折疊，使得點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)G處，此時(shí)EF最大，
由折疊可知：四邊形ABFG是正方形，
∴AB＝BF＝8，
∴EF＝＝8，
∴x的取值范圍為5≤x≤8．
故選：C．
二．填空題（共6小題）
8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝65°，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△EBD，使點(diǎn)C落在邊AC上的D處，則∠EBA＝ 50° ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：由旋轉(zhuǎn)可知，
BD＝BC，
又∵點(diǎn)D落在邊AC上，∠C＝65°，
∴∠BDC＝∠C＝65°，
∴∠CBD＝180°﹣2×65°＝50°，
即旋轉(zhuǎn)角為50°，
所以∠EBA＝∠CBD＝50°．
故答案為：50°．
9．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，若線段AB＝5，則BE的長(zhǎng)度為 5 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得到△AED，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∴△AEB是等邊三角形，
∴BE＝AB，
∵AB＝5，
∴BE＝5．
故答案為：5．
10．如圖，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AED的位置，使CD∥AB，則∠BAE的度數(shù)為 40° ．
【答案】40°．
【解答】解：∵DC∥AB，
∴∠ACD＝∠CAB＝70°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AD＝AC，∠DAE＝∠CAB＝70°，
∴∠ADC＝∠CAB＝70°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝40°，
故答案為：40°．
11．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACQ，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，連接DQ，則DQ的最小值是 ．
【答案】．
【解答】解：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，
∴CD＝3，
當(dāng)DQ⊥CQ時(shí)，DQ的長(zhǎng)最小，
此時(shí)，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝，
∴DQ＝＝，
∴DQ的最小值是，
故答案為：．
12．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)P為射線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接BP，把△ABP沿BP折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'剛好落在線段BC的垂直平分線上時(shí)，AP的長(zhǎng)為 或 ．
【答案】或．
【解答】解：點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)，故分兩種情況；
情況一：當(dāng)點(diǎn)A'落在圖①的位置時(shí)，
由正方形ABCD可知，BC＝AB＝4，
∵點(diǎn)A'落在BC的垂直平分線EF上，
∴，
由折疊可知，A'B＝AB＝4．
在Rt△A'FB中，
由勾股定理可得，，
∴，
∵∠PEA′＝∠PA′B＝∠A′FB＝90°，
∴∠EA′P+∠BA′F＝90°，∠FBA′+∠BA′F＝90°，
∴∠EA′P＝∠FBA′，
∴△PEA'∽△A'FB，
∴，
∴
解得，
∴．
情況二：當(dāng)點(diǎn)A'若在圖②的位置時(shí)，
由正方形ABCD可知，BC＝AB＝4，
∵點(diǎn)A'落在BC的垂直平分線上，
∴，
由折疊可知，A'B＝AB＝4，
在Rt△A'FB中，
由勾股定理可得，，
∴．
由折疊可知，AP＝A'P，
設(shè)AP＝A'P＝x，則EP＝x﹣2．
在Rt△A'EP中，
由勾股定理可得，A′P2＝A′E2+EP2，
即，
解得x＝，
∴，
∴．
綜上，AP＝或．
13．如圖，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接DE，將△DCE沿DE翻折得到△DC'E，連接AC′，則AC′的長(zhǎng)為 ．
【答案】．
【解答】解：如圖，連接BC′，CC′，過點(diǎn)C′作C′G⊥AB于點(diǎn)G，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC邊的中點(diǎn)，
∴BE＝CE＝2，
在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得DE＝＝2，
由翻折可知：DE垂直平分CC′，
∴DE?CH＝CE?CD，
∴2CH＝2×4，
∴CH＝，
∴CC′＝，
由折疊可得，CE＝C′E＝BE，
∴△BCC′是直角三角形，
∴BC′＝＝，BC′⊥CC′，
∴∠C′BG＝90°﹣∠CBC′＝∠BCC′，
∵∠C′GB＝∠CC′B＝90°，
∴△C′GB∽△BC′C，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴C′G＝，BG＝，
∴AG＝AB﹣BG＝，
∴AC′＝＝．
故答案為：．
三．解答題（共2小題）
14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，連接AE．求證：AB＝AE．
【答案】證明見解析．
【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝30°，
∴∠ACE＝∠ACB＝30°，
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACB（SAS），
∴AB＝AE．
15．[教材呈現(xiàn)]下面是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第76頁(yè)的部分內(nèi)容．
如圖，E是矩形ABCD的邊CB上的一點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，證明△AFD∽△DCE，并計(jì)算點(diǎn)A到直線DE的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．
結(jié)合圖①，完成解答過程．
[拓展]
（1）在圖①的基礎(chǔ)上，延長(zhǎng)線段AF交邊CD于點(diǎn)G，如圖②，則FG的長(zhǎng)為 ；
（2）如圖③，E、F是矩形ABCD的邊AB、CD上的點(diǎn)，連結(jié)EF，將矩形ABCD沿EF翻折，使點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D'與點(diǎn)B重合，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A'．若AB＝4，AD＝3，則EF的長(zhǎng)為 ．
【答案】[教材呈現(xiàn)]證明見解答過程，點(diǎn)A到直線DE的距離AF＝；
[拓展]
（1）；
（2）．
【解答】解：[教材呈現(xiàn)]∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，
∴DE＝＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝∠ADF+∠CDE＝90°，
∴∠DAF＝∠CDE，
∴△ADF∽△DCE，
∴，即，
∴點(diǎn)A到直線DE的距離AF＝；
[拓展]
（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，
∴DE＝＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠CDA＝90°，
∴∠CDE+∠ADE＝∠DAG+∠ADE＝90°，
∴∠DAG＝∠CDE，
∴△ADG∽△DCE，得
∴，即，
∴AG＝，
∴FG＝AG﹣AF＝﹣＝；
故答案為：；
（2）如圖③，
作FG⊥AD于G，
設(shè)DF＝BF＝x，則CF＝4﹣x，
∵將矩形ABCD沿EF翻折，使點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D'與點(diǎn)B重合，
∴∠DFE＝∠BFE，
∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠BEF，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF＝x，
在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理得，BF2﹣CF2＝BC2，
∴x2﹣（4﹣x）2＝32，
∴x＝，
∴DF＝BF＝BE＝，BG＝CF＝4﹣＝，
∴GE＝BE﹣BG＝﹣＝，
在Rt△EFG中，GF＝AD＝3，
EF＝＝＝，
故答案為：．
1．（2023?常州）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，1）
【答案】C
【解答】解：點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1），則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，1），
故選：C．
2．（2023?自貢）下列交通標(biāo)志圖案中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：圖形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，
故選：B．
3．（2023?天津）如圖，把△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，且點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，連接BD，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AEC．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD
【答案】A
【解答】解：如圖，設(shè)AD與BE的交點(diǎn)為O，
∵把△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴∠BED＝∠BAD＝∠CAE，
故選：A．
4．（2023?通遼）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ADE，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為（ ）
A．24°B．28°C．48°D．66°
【答案】C
【解答】解：∵DE⊥AC，∠CAD＝24°，
∴∠ADE＝66°，
∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ADE，
∴∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝66°
∴∠BAD＝48°，
故選：C．
5．（2023?黃石）如圖，已知點(diǎn)A（1，0），B（4，m），若將線段AB平移至CD，其中點(diǎn)C（﹣2，1），D（a，n），則m﹣n的值為（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【答案】B
【解答】解：∵線段CD由線段AB平移得到，
且A（1，0），C（﹣2，1），B（4，m），D（a，n），
∴m﹣n＝0﹣1＝﹣1．
故選：B．
6．（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（m，n）先向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，最后所得點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（m﹣2，n﹣1）B．（m﹣2，n+1）C．（m+2，n﹣1）D．（m+2，n+1）
【答案】D
【解答】解：將點(diǎn)（m，n）先向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，最后所得點(diǎn)的坐標(biāo)是（m+2，n+1），
故選：D．
7．（2022?福建）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12．將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動(dòng)到△A′B′C′，點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形ACC′A′的面積是（ ）
A．96B．96C．192D．160
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝8，
則BC＝AB?tan∠CAB＝8，
由平移的性質(zhì)可知：AC＝A′C′，AC∥A′C′，
∴四邊形ACC′A′為平行四邊形，
∵點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12，點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0，
∴AA′＝12，軸對(duì)稱圖形
軸對(duì)稱
圖
形
定
義
如果一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸
如果兩個(gè)圖形對(duì)折后，這兩個(gè)圖形能夠完全重合，那么我們就說這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸
性
質(zhì)
對(duì)應(yīng)線段相等
AB=AC
AB=A′B′，BC=B′C′，
AC=A′C′
對(duì)應(yīng)角相等
∠B=∠C
∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∠C=∠C′
對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分
區(qū)
別
(1)軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，只對(duì)一個(gè)圖形而言；
(2)對(duì)稱軸不一定只有一條
(1)軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，必須涉及兩個(gè)圖形；
(2)只有一條對(duì)稱軸
關(guān)
系
(1)沿對(duì)稱軸對(duì)折，兩部分重合；
(2)如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成“兩個(gè)圖形”，那么這“兩個(gè)圖形”就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱
(1)沿對(duì)稱軸翻折，兩個(gè)圖形重合；(2)如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形拼在一起，看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形
中心對(duì)稱圖形
中心對(duì)稱
圖
形
定
義
如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與它自身重合，我們就把這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心
如果一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與另一個(gè)圖形重合，我們就把這兩個(gè)圖形叫做成中心對(duì)稱
性
質(zhì)
對(duì)應(yīng)點(diǎn)
點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D
點(diǎn)A與點(diǎn)A′，點(diǎn)B與點(diǎn)B′，點(diǎn)C與點(diǎn)C′
對(duì)應(yīng)線段
AB=CD，
AD=BC
AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
對(duì)應(yīng)角
∠A=∠C
∠B=∠D
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
區(qū)
別
中心對(duì)稱圖形是指具有某種特性的一個(gè)圖形
中心對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的關(guān)系
聯(lián)
系
把中心對(duì)稱圖形的兩個(gè)部分看成“兩個(gè)圖形”，則這“兩個(gè)圖形”成中心對(duì)稱
把成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)“整體”，則“整體”成為中心對(duì)稱圖形

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