1.了解基本作圖的概念．
2.掌握五種基本作圖的方法，并會按要求作出圖形．
3.會寫已知、求作和作法，掌握準(zhǔn)確的作圖語言．
4.能運用尺規(guī)基本作圖解決有關(guān)的作圖簡單應(yīng)用
考點1：尺規(guī)作圖
1．定義：只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖叫做尺規(guī)作圖．
2．步驟：
(1)根據(jù)給出的條件和求作的圖形，寫出已知和求作部分；(2)分析作圖的方法和過程；
(3)用直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖；(4)寫出作法步驟，即作法．
考點2：五種基本作圖
考點3：基本作圖的應(yīng)用
1．利用基本作圖作三角形
(1)已知三邊作三角形；
(2)已知兩邊及其夾角作三角形；
(3)已知兩角及其夾邊作三角形；
(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形．
2．與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖
(1)過不在同一直線上的三點作圓(即三角形的外接圓)．(2)作三角形的內(nèi)切圓．
【題型1： 根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡、步驟判斷結(jié)論及計算】
【典例1】（2023?山西）如圖，在?ABCD中，∠D＝60°．以點B為圓心，以BA的長為半徑作弧交邊BC于點E，連接AE．分別以點A，E為圓心，以大于AE的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線BP交AE于點O，交邊AD于點F，則的值為 ．
【答案】．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，
∵BA＝BE，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵BF平分∠ABE，
∴AO＝OE，BO⊥AE，
∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，
∴tan∠OAF＝＝，
∴＝，
故答案為：．
【變式1-1】（2023?德州）如圖，在∠AOB中，以點O為圓心，5為半徑作弧，分別交射線OA，OB于點C，D，再分別以C，D為圓心，CO的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點E，作射線OE，若OE＝8，則C，D兩點之間的距離為（ ）
A．5B．6C．D．8
【答案】B
【解答】解：連接CE，DE，CD，設(shè)CD與OE交于點F，
由作圖可知，OC＝OD＝CE＝DE＝5，
∴四邊形OCED為菱形，
∴CD⊥OE，OF＝EF＝OE＝4，CF＝DF，
由勾股定理得，CF＝＝3，
∴CD＝2CF＝6，
即C，D兩點之間的距離為6．
故選：B．
【變式1-2】（2023?長春）如圖，用直尺和圓規(guī)作∠MAN的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A．AD＝AEB．AD＝DFC．DF＝EFD．AF⊥DE
【答案】B
【解答】解：角平分線的作法如下：①以點A為圓心，AD長為半徑作弧，分別交AM、AN于點D、E；
②分別以點D、E為圓心，DF長為半徑作弧，兩弧在∠MAN內(nèi)相交于點F；
③作射線AF，AF即為∠MAN的平分線．
根據(jù)角平分線的作法可知，AD＝AE，DF＝EF，
根據(jù)等腰三角形的三線合一可知AF⊥DE，
故選：B．
【變式1-3】（2023?貴州）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步驟作圖：①以點D為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交DA，DC于E，F(xiàn)兩點；②分別以點E，F(xiàn)為圓心以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；③連接DP并延長交BC于點G．則BG的長是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解答】解：由題可得，DG是∠ADC的平分線．
∴∠ADG＝∠CDG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG＝∠CGD，
∴∠CDG＝∠CGD，
∴CG＝CD＝3，
∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．
故選：A．
【變式1-4】（2023?新疆）如圖，在Rt△ABC中，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交AB于點F，交AC于點E，分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF長為半徑作弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部交于點G，作射線AG交BC于點D．若AC＝3，BC＝4，則CD的長為（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
過D作DH⊥AB于H，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DH，∠CAD＝∠HAD，
在Rt△ACD與Rt△AHD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），
∴AH＝AC＝3，
∴BH＝AB﹣AH＝2，
∵BH2+DH2＝BD2，
∴22+CD2＝（4﹣CD）2，
∴CD＝．
方法二：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
過D作DH⊥AB于H，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DH，∠CAD＝∠HAD，
在Rt△ACD與Rt△AHD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），
∴AH＝AC＝3，
∴BH＝AB﹣AH＝2，
在Rt△BDH中，tanB＝，
在Rt△ABC中，∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
過D作DH⊥AB于H，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DH，
S△ABC＝＝S△ACD+S△ABD＝，
∴AC?BC＝AC?CD+AB?DH，
設(shè)CD＝DH＝x，
∴3×4＝3x+5x，
∴，
故選：C．

【題型2：尺規(guī)作圖及相關(guān)證明與計算】
【典例2】（2023?無錫）如圖，已知∠APB，點M是PB上的一個定點．
（1）尺規(guī)作圖：請在圖1中作⊙O，使得⊙O與射線PB相切于點M，同時與PA相切，切點記為N；
（2）在（1）的條件下，若∠APB＝60°，PM＝3，則所作的⊙O的劣弧與PM、PN所圍成圖形的面積是 3﹣π ．
【答案】（1）見解答；
（2）3﹣π．
【解答】解：（1）如圖，⊙O為所作；
（2）∵PM和PN為⊙O的切線，
∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO＝∠APB＝30°，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，
在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，
∴OM＝PM＝×3＝，
∴⊙O的劣弧與PM、PN所圍成圖形的面積
＝S四邊形PMON﹣S扇形MON
＝2××3×﹣
＝3﹣π．
故答案為：3﹣π．
【變式2-1】（2023?鹽城）如圖，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求證：AC＝AD．
（2）用直尺和圓規(guī)作圖：過點A作AF⊥CD，垂足為F．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】（1）證明過程見解答；
（2）圖形見解答．
【解答】（1）證明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD；
（2）解：如圖AF即為所求．
【變式2-2】（2023?陜西）如圖，已知四邊形ABCD，AD∥BC．請用尺規(guī)作圖法，在邊AD上求作一點E，在邊BC上求作一點F，使四邊形BFDE為菱形．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解答．
【解答】解：如圖所示：E、F即為所求．
【變式2-3】（2023?河南）如圖，△ABC中，點D在邊AC上，且AD＝AB．
（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若（1）中所作的角平分線與邊BC交于點E，連接DE．求證：DE＝BE．
【答案】（1）見解答；
（2）見解答．
【解答】（1）解：如圖所示，即為所求，
（2）證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AB＝AD，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴DE＝BE．
【變式2-4】（2023?濟(jì)寧）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．
（1）作線段BD的垂直平分線（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；
（2）設(shè)BD的垂直平分線交AD于點E，交BC于點F，連接BE，DF．
①判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四邊形BEDF的周長．
【答案】（1）見解答；
（2）①四邊形BEDF是菱形，理由見解答；
②25．
【解答】解：（1）如圖，直線MN就是線段BD的垂直平分線，
（2）①四邊形BEDF是菱形，理由如下：
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∴BF＝DF，
∴BE＝ED＝DF＝BF，
∴四邊形BEDF是菱形；
②∵四邊形ABCD是矩形，BC＝10，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，
由①可設(shè)BE＝ED＝x，則AE＝10﹣x，
∵AB＝5，
∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10﹣x）2＝x2，
解得x＝6.25，
∴四邊形BEDF的周長為：6.25×4＝25．
一．選擇題（共8小題）
1．如圖，用直尺和圓規(guī)作∠AOB的平分線OC，則△DOC≌△EOC的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【解答】解：由作圖痕跡可知，OD＝OE，CD＝CE，
∵OC＝OC，
∴△DOC≌△EOC（SSS）．
∴△DOC≌△EOC的依據(jù)是SSS．
故選：A．
2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以點C為圓心，CA長為半徑作弧交AB于點D，分別以點A和點D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點E，作直線CE交AB于點F．若∠B＝55°，則∠ACF的大小是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝55°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
由作法得CF⊥AB，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°．
故選：C．
3．如圖，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作圖痕跡是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：∵PA+PB＝BC，而PC+PB＝BC，
∴PA＝PC，
∴點P在AC的垂直平分線上，
即點P為AC的垂直平分線與BC的交點．
故選：D．
4．如圖，在Rt△ABC中，分別以B，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，Q，作直線PQ，分別交BC，AC于點D，E，連接BE．若∠EBD＝32°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．50°B．58°C．60°D．64°
【答案】B
【解答】解：根據(jù)作圖可得PQ是BC的垂直平分線，
∴EB＝EC，
∴∠C＝∠EBD＝32°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝90°﹣32°＝58°，
故選：B．
5．如圖是一個鈍角△ABC，利用一個直角三角板作邊AC上的高，下列作法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：如圖選項A中，線段BD是△ABC的高．
故選：A．
6．如圖，已知在△ABC中，邊BC的垂直平分線DF交AC于點E，再以點B為圓心，任意長為半徑畫弧交BA，BC于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于MN長為半徑畫弧交于點P，作射線BP恰好交AC于點E．若AB＝8，BC＝12，△BDE的面積為9，則△ABC的面積為（ ）
A．9B．12C．30D．27
【答案】C
【解答】解：過點E作EG⊥AB于點G，
由作圖可知，射線BP為∠ABC的平分線，
∵直線DF為線段BC的垂直平分線，
∴∠BDF＝90°，BD＝CD＝＝6，
∴DE＝EG，
∵△BDE的面積為9，
∴S△BCE＝2S△BDE＝18，＝，
∴DE＝3，
∴EG＝3，
∴＝12，
∴S△ABC＝S△ABE+S△BCE＝12+18＝30．
故選：C．
7．如圖，在長方形ABCD中，連接AC，以A為圓心適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AD，AC于點E，F(xiàn)，分別以E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧在∠DAC內(nèi)交于點H，畫射線AH交DC于點M．若∠ACB＝72°，則∠DMA的大小為（ ）
A．72°B．54°C．36°D．22°
【答案】B
【解答】解：在長方形ABCD中，∵AB∥CD，∠ACB＝72°，
∴∠CAD＝∠ACB＝72°，
由作法得：AH平分∠CAD，
∴∠DAM＝CAD＝36°，
∵∠D＝90°，
∴∠DMA＝90°﹣36°＝54°，
故選：B．
8．如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M、N，直線MN與AC、BC分別相交于E和D，連接AD，若AE＝3cm，△ABC的周長為13cm，則△ABD的周長是（ ）
A．7cmB．10cmC．16cmD．19cm
【答案】A
【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴AE＝CE＝3，DA＝DC，
∵△ABC的周長為13cm，
即AB+BC+AC＝13，
∴AB+BD+DA+6＝13，
即AB+BD+DA＝7，
∴△ABD的周長為7cm．
故選：A．
二．填空題（共2小題）
9．如圖，已知線段AB＝8cm，分別以點A，B為圓心，以5cm為半徑畫弧，兩弧相交于點C，D，連接AC，BC，AD，BD，則四邊形ACBD的面積為 48cm2 ．
【答案】48cm2．
【解答】解：由作法AC＝BC＝AD＝BD＝5cm，
∴四邊形ACBD為菱形，
∴AB⊥CD，OA＝OB＝AB＝4cm，OC＝OD，
連接CD交AB于點O，如圖，
在Rt△AOC中，OC＝＝3（cm），
∴CD＝2OC＝6cm，
∴四邊形ACBD的面積＝8×6＝48（cm2）．
故答案為：48cm2．
10．如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；分別以點A，B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點C；連接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四邊形OACB的面積為4cm2．則OC的長為 4 cm．
【答案】4．
【解答】解：根據(jù)作圖方法，可得AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四邊形OACB是菱形．
∵AB＝2cm，四邊形OACB的面積為4cm2，
∴AB×OC＝×2×OC＝4，
解得OC＝4．
故答案為：4．
三．解答題（共6小題）
11．如圖，已知線段a和線段AB．
（1）尺規(guī)作圖：延長線段AB到點C，使BC＝a（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，若AB＝5，BC＝3，求線段AC的長．
【答案】（1）作圖見解答過程；
（2）8．
【解答】（1）根據(jù)線段的定義即可延長線段AB到C，使BC＝a；
（2）AC＝AB+BC＝5+3＝8．
12．如圖，在△ABC中，BC＞AB，△ABC的周長為27cm．
（1）尺規(guī)作圖：作AC的垂直平分線DE，分別交BC、AC于點D、E，連接AD；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）若AE＝3cm，求△ABD的周長．
【答案】（1）見解析；
（2）21cm．
【解答】解：（1）圖形如圖所示：
（2）由作圖可知AE＝EC＝3cm，DA＝DC，
∴AC＝6cm，
∵△ABC的周長為27cm，
∴AB+BC＝27﹣6＝21（cm），
∵△ABD的周長＝AB+AD+BD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝21cm．
13．如圖，已知銳角∠AOC，按照下面給出的畫法補(bǔ)全圖形，并回答問題．
（1）畫法：
①畫∠AOC的角平分線OP，在射線OP上任意取一點E；
②過點E畫EM∥OA，交射線OC于點G．
（2）問題：請通過觀察、度量，判斷你畫出的圖形中與∠AOP相等的角．直接寫出兩個即可．（∠AOP除外）
【答案】（1）見解答．
（2）∠COP，∠MEP，∠OEG（任意寫出兩個即可）．
【解答】解：（1）如圖所示．
（2）圖中與∠AOP相等的角有：∠COP，∠MEP，∠OEG（任意寫出兩個即可）．
14．已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．
（1）利用尺規(guī)作圖，作△ABC中AC邊上的高BD（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）求證：．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析．
【解答】（1）解：如圖，線段BD即為所求；
（2）證明：過點A作AF⊥BC于點F．
∵BD⊥AC，
∴∠OFB＝∠ODA＝90°，
∵∠BOF＝∠AOD，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∴∠CBD＝∠BAC．
15．如圖，在銳角三角形ABC中，D為BC邊上一點，∠B＝∠BAD＝∠CAD，在AD上求作一點P，使得∠APC＝∠ADB．
（1）通過尺規(guī)作圖確定點P的位置（保留作圖痕跡）；
（2）證明滿足此作圖的點P即為所求．
【答案】（1）（2）見解析．
【解答】解：（1）如圖，點P即為所求；
（2）理由：∵點P在AC的垂直平分線上，
∴PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴∠CPD＝∠PAC+∠PCA＝2∠PAC，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝2∠DAC，
∴∠CPD＝∠ADC，
∴∠APC＝∠ADB，
∴點P即為所求作．
16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以點A，B為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點，畫直線MN，與AB交于點D，與BC交于點E，連結(jié)AE．
（1）由作圖可知，直線MN是線段AB的 垂直平分線 ；
（2）當(dāng)AC＝3，BC＝6時，求△ACE的周長；
（3）若∠CAE的度數(shù)是15°，求∠B的度數(shù)．
【答案】（1）垂直平分線；
（2）9；
（3）37.5°．
【解答】解：（1）由作圖可知：直線MN是線段AB的垂直平分線；
故答案為：垂直平分線；
（3）解：由（2）可知：△ACE 的周長＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC，
在 Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝6，
∴△ACE 的周長＝AC+BC＝3+6＝9；
（3）∵∠C＝90°，∠CAE＝15°，
∴∠CEA＝90°﹣15°＝75°，
∵EA＝EB，
∴∠B＝∠EAB，
∵∠CEA＝∠B+∠EAB，
∴∠B＝∠CEA＝37.5°．
一．選擇題（共11小題）
1．如圖，BD為?ABCD的對角線，分別以B，D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點，過這兩點的直線分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，交BD于點O，連接BE，DF．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過程，下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A．點O為?ABCD的對稱中心
B．BE平分∠ABD
C．S△ABE：S△BDF＝AE：ED
D．四邊形BEDF為菱形
【答案】B
【解答】解：根據(jù)作圖可知：EF垂直平分BD，
∴BO＝DO，
∴點O為?ABCD的對稱中心，故A正確；
∴BE＝ED，BF＝FD，
∵FE＝EF，
∴△BFE≌△DFE（SSS），
∴∠BFE＝∠DFE，
∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF，
∴∠DFE＝∠DEF，
∴DE＝DF，
∴BE＝DE＝DF＝BF，
∴四邊形BFDE是菱形，故D正確；
∴S△BDE＝S△BFD，
∴S△ABE：S△BDF＝S△ABE：S△BDE＝AE：ED，故C正確；
∵無法證明∠ABE＝∠DBE，
∴BE不一定平分∠ABD，故B錯誤，
故選：B．
2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，分別以點A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點，M為直線EF上任意一點．若BC＝4，△ABC面積為10，則BM+MD長度的最小值為（ ）
A．B．3C．4D．5
【答案】D
【解答】解：連接AD，交直線EF于點N，設(shè)EF交AB于點G，
由題意得，直線EF為線段AB的垂直平分線，
∴AG＝BG，EF⊥AB，
∴當(dāng)點M與點N重合時，BM+MD長度最小，最小值即為AD的長．
∵AB＝AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，
∵BC＝4，△ABC面積為10，
∴＝10，
解得AD＝5．
故選：D．
3．如圖，在矩形ABCD中，連接BD，分別以B．D為圓心，大于BD的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點，作直線PQ，分別與AD、BC交于點M、N，連接BM、DN．若AB＝3，BC＝6，則四邊形MBND的周長為（ ）
A．15B．9C．D．
【答案】A
【解答】解：由作圖過程可得：PQ為BD的垂直平分線，
∴BM＝MD，BN＝ND．
設(shè)PQ與BD交于點O，如圖，
則BO＝DO．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
在△MDO和△NBO中，
，
∴△MDO≌△NBO（AAS），
∴DM＝BN，
∴四邊形BNDM為平行四邊形，
∵BM＝MD，
∴四邊形MBND為菱形，
∴四邊形MBND的周長＝4BM．
設(shè)MB＝x，則MD＝BM＝x，
∴AM＝AD﹣DM＝6﹣x，
在Rt△ABM中，
∵AB2+AM2＝BM2，
∴32+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴四邊形MBND的周長＝4BM＝15．
故選：A．
4．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊BC在x軸上，O為線段BC的中點，矩形ABCD的頂點D（2，3），連接AC按照下列方法作圖：（1）以點C為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫弧分別交CA，CD于點E，F(xiàn)；（2）分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧交于點G；（3）作射線CG交AD于H，則線段DH的長為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【解答】解：∵O為線段BC的中點，矩形ABCD的頂點D（2，3），
∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，
如圖，過H點作HM⊥AC于M，
由作法得CH平分∠ACD，
∵HM⊥AC，HD⊥CD，
∴HM＝HD，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝5，
在Rt△CHD和Rt△CHM中，
，
∴Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），
∴CD＝CM＝3，
∴AM＝AC﹣CM＝5﹣3＝2，
設(shè)DH＝t，則AH＝4﹣t，HM＝t，
在Rt△AHM中，t2+22＝（4﹣t）2，解得t＝1.5，
即HD＝1.5，
故選：C．
5．如圖，?ABCD中，分別以點B，D為圓心，大于BD的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，連接BE、DF．若∠BAD＝120°，AE＝1，AB＝2，則線段BF的長是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解答】解：過B點作BH⊥AE于H點，如圖，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAH＝60°，
在Rt△ABH中，∵AH＝AB＝1，
∴BH＝AH＝，
在Rt△BHE中，BE＝＝＝，
由作法得MN垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠FBD，
∴∠EBD＝∠FBD，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BF＝BE＝．
故選：D．
6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，按以下步驟作圖：①分別以B、C為圓心，大于的長為半徑畫圓弧，兩弧相交于點M和點N；②作直線MN，交BC于點D；③以點D為圓心，DC的長為半徑畫圓弧，交AB于點E，連結(jié)CE，則AE的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
由作圖可知BC是直徑，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，∠AEC＝∠ACB，
∴△ACE∽△ABC，
∴＝，
∴AE＝＝．
故選：C．
7．觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡，不能判斷△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、根據(jù)一個角等于已知角的作法可知∠B＝∠C，△ABC是等腰三角形，不符合題意；
B、根據(jù)垂直平分線的作法可知AB＝AC，△ABC是等腰三角形，不符合題意；
C、如圖，
根據(jù)過直線外一點作平行線的作法可知，AC∥BD，∠ACB＝∠CBD，
根據(jù)角平分線的作法可知，∠ABC＝∠CBD，
∴∠ABC＝∠ACB，△ABC是等腰三角形，不符合題意；
D、不能判斷△ABC是等腰三角形，符合題意，
故選：D．
8．如圖，在Rt△ABC中，以點A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AC，AB于點E，F(xiàn)，再分別以E、F為圓心，以相同長度為半徑作弧，兩弧相交于點O，P為射線AO上任意一點，過點P作PM⊥AC，交AC于點M，連接PC，若AC＝2，BC＝，則PM+PC長度的最小值為（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【解答】解：如圖：過P作PNAB于N，過C作CH⊥AB，
由作圖得：AD平分∠BAC，則PM＝PN，
∴PM+PC＝PN+PC≥CN≥CH，
在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝，
∴AB＝，
∵2S△ABC＝AC?BC＝AB?CH，
即：2＝CH，
解得CH＝，
故選：A．
9．如圖，?AOCD的頂點O（0，0），點C在x軸的正半軸上．以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交OA于點M，交OC于點N；分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOC內(nèi)相交于點E；畫射線OE，交AD于點F（2，3），則點A的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：由作法得OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠COF，
∵四邊形AOCD為平行四邊形，
∴AD∥OC，
∴∠AFO＝∠COF，
∴∠AOF＝∠AFO，
∴AF＝AO，
AD交y軸于H點，如圖，設(shè)AH＝t，
∵F（2，3），
∴OH＝3，HF＝2，
∴AO＝t+2，
在Rt△AOH中，t2+32＝（t+2）2，
解得t＝，
∴A（﹣，3）．
故選：A．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點B為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交AB，BC于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交點P，作射線BP交AC于點D，若AC＝2BC，則S△BCD：S△ABD的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：過D點作DG⊥AB于G點，如圖，
根據(jù)作圖可知：BP平分∠ABC，
∵DG⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DG，
∵在Rt△ABC中，AC＝2BC，
∴，
∴，
∴在Rt△ADG中，，
∵，
∴S△BCD：S△ABD＝CD：AD，
∵CD＝DG，
∴，
故選：B．
11．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，以點B為圓心，小于AB的長為半徑畫弧，分別交AB，BC于D，E兩點，再分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，射線BF交AC于點G，則tan∠CBG＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：根據(jù)題意可得BF是∠ABC的角平分線，
過G作GH⊥CB，垂足為H，
∵∠A＝90°，
∴GH＝GA，且BC＝＝＝10，
設(shè)AG＝x，則GH＝x，CG＝8﹣x，
∵＝，
∴（8﹣x）×6＝，
解得x＝3，
∴AG＝3，
∴tan∠CBG＝tan∠ABG＝＝＝，
故選：A．
二．解答題（共2小題）
12．如圖所示，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝BC＝6．
（1）求△ABC的面積以及的值；
（2）作出△ABC的外接圓⊙O（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
【答案】（1）；；
（2）作圖見解析過程．
【解答】解：（1）如圖所示，過點C作CD⊥AB，垂足為D，
∵AC＝BC
∴D為AB中點即AD＝BD＝2，
CD平分∠ACB即，
由勾股定理可知，
∴，
∴．
（2）如圖，分別作線段AB，BC的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，兩垂直平分線的交點O到三角形三個頂點的距離相等，即外接圓圓心，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，即為所求．
13．如圖，AB是⊙O的直徑，E是⊙O上一點．
（1）請用圓規(guī)和直尺畫BE的垂直平分線交⊙O于點C，點C位于AB上方（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）設(shè)EA和BC的延長線相交于點D，試說明∠BCE＝2∠BDE．
【答案】（1）圖形見解答；
（2）證明過程見解答．
【解答】解：（1）如圖，直線CF即為BE的垂直平分線；
（2）∵直線CF為BE的垂直平分線，
∴CE＝CB，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴∠BCE＝2∠BCF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB＝90°，
∴OF∥AE，
∴∠BDE＝∠BCF，
∴∠BCE＝2∠BDE．
1．（2022?錦州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分別以點A和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，則AE的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：設(shè)MN與AC的交點為O，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝DC＝6，BC＝AD＝8，
∴△ADC為直角三角形，
∵CD＝6，AD＝8，
∴，，
又由作圖知MN為AC的垂直平分線，
∴∠MOA＝90°，，
在Rt△AOE中，，
∵cs∠CAD＝cs∠EAO，
∴，
∴．
故選：D．
2．（2022?盤錦）如圖，線段AB是半圓O的直徑．分別以點A和點O為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點，作直線MN，交半圓O于點C，交AB于點E，連接AC，BC，若AE＝1，則BC的長是（ ）
A．B．4C．6D．
【答案】A
【解答】解：如圖，連接OC．
根據(jù)作圖知CE垂直平分AO，
∴AC＝OC，AE＝OE＝1，
∴OC＝OB＝AO＝AE+EO＝2，
∴AC＝OC＝AO＝AE+EO＝2，
即AB＝AO+BO＝4，
∵線段AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理得，，
故選A．
3．（2023?成都）如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點，按以下步驟作圖：
①以點A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB，AC于點M，N；
②以點D為圓心，以AM長為半徑作弧，交DB于點M′；
③以點M′為圓心，以MN長為半徑作弧，在∠BAC內(nèi)部交前面的弧于點N′；
④過點N′作射線DN′交BC于點E．
若△BDE與四邊形ACED的面積比為4：21，則的值為 ．
【答案】．
【解答】解：由作圖知，∠A＝∠BDE，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
△BAC的面積：△BDE的面積＝（△BDE的面積+四邊形ACED的面積）：△BDE的面積＝1+四邊形ACED的面積：△BDE的面積＝1+＝，
∴△BDC的面積：△BAC的面積＝（）2＝，
∴＝，
∴＝．
故答案為：．
4．（2023?益陽）如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接DE，分別以D，E為圓心，以大于DE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線AF，交DE于點M，過點M作MN∥AB交BC于點N．則MN的長為 4 ．
【答案】4．
【解答】解：延長NM交AD于點Q，
由作圖得：AD＝AE＝4，AF平分∠BAD，
∴DM＝ME，
∴MN∥AB，
∴DQ＝AQ，CN＝BN，
∴QM＝2，
在?ABCD中，AD∥BC，CD＝AB＝6，
∴四邊形CDQN是平行四邊形，
∴QN＝CD＝AB＝6，
∴MN＝NQ﹣MQ＝6﹣2＝4．
故答案為：4．
5．（2023?西藏）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點；作直線MN交AB于點E．若線段AE＝5，AC＝12，則BE長為 13 ．
【答案】13．
【解答】解：連接CE，
由作圖知，直線MN是線段BC的垂直平分線，
∴CE＝BE，
∵∠A＝90°，AE＝5，AC＝12，
∴BE＝CE＝＝＝13，
故答案為：13．
6．（2023?濱州）（1）已知線段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（請用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．（請借助上一小題所作圖形，在完善的基礎(chǔ)上，寫出已知、求證與證明）
【答案】（1）見解答；
（2）見解答．
【解答】解：（1）如圖：Rt△ABC即為所求；
（2）已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°，CE是AB邊上的中線，
求證：CE＝AB，
證明：延長CE到D，使得DE＝CE，
∵CD是AB邊上的中線，
∴BE＝AE，
∴四邊形ACBD是平行四邊形，
∵∠BCA＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∴CE＝CD＝AB．
7．（2023?郴州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．
（1）尺規(guī)作圖；作對角線AC的垂直平分線MN（保留作圖痕跡）；
（2）若直線MN分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點，求證：四邊形AFCE是菱形．
【答案】（1）作圖見解析部分；
（2）證明見解析部分．
【解答】（1）解：如圖，直線MN即為所求；
（2）證明：設(shè)AC與EF交于點O．由作圖可知，EF垂直平分線段AC，
∴OA＝OC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥CF，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴四邊形AFCE是菱形．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/1/23 0:51:10；用戶：gaga；郵箱：18376708956；學(xué)號：18907713
8．（2023?廣東）如圖，在?ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）實踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點D作AB邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）應(yīng)用與計算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長．
【答案】（1）見作圖；（2）6﹣2．
【解答】解：（1）如圖E即為所求作的點；
（2）∵cs∠DAB＝，
∴AE＝AD?cs30°＝4×＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2．
9．（2023?綏化）已知：點P是⊙O外一點．
（1）尺規(guī)作圖：如圖，過點P作出⊙O的兩條切線PE，PF，切點分別為點E、點F．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）
（2）在（1）的條件下，若點D在⊙O上（點D不與E，F(xiàn)兩點重合），且∠EPF＝30°，求∠EDF的度數(shù)．
【答案】（1）見解答；
（2）75°或105°．
【解答】解：（1）如圖，PE、PF為所作；

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