專題22特殊平行四邊形的核心知識(shí)點(diǎn)精講-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.掌握矩形、菱形、正方形的概念和性質(zhì)；
2.了解平行四邊形、矩形、菱形、正方形形之間的關(guān)系；
3.探索并掌握四邊形是矩形、菱形、正方形的條條件
考點(diǎn)1：矩形的性質(zhì)和判定
（1）性質(zhì)：矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)：
① 邊的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等．
② 角的性質(zhì)：四個(gè)角都是直角．
③ 對(duì)角線性質(zhì)：對(duì)角線互相平分且相等．
④ 對(duì)稱性：矩形是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形．
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
直角三角形中，角所對(duì)的邊等于斜邊的一半．
點(diǎn)評(píng)：這兩條直角三角形的性質(zhì)在教材上是應(yīng)用矩形的對(duì)角線推得，用三角形知識(shí)也可推得．
考點(diǎn)2：矩形的判定
判定①：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．
判定②：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．
判定③：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．
考點(diǎn)3：菱形的性質(zhì)
（1）菱形的四條邊都相等；
（2）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。
考點(diǎn)4：菱形的判定定理
（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
（3）四條邊相等的四邊形是菱形。
考點(diǎn)5：菱形的面積
S=ah=mn/2（菱形底邊長(zhǎng)為a，高為h，兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為m和n）
考點(diǎn)6：正方形的性質(zhì)：
1、正方形具有平行四邊形和菱形的所有性質(zhì)。
2、正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等。
3、正方形對(duì)邊平行且相等。
4、正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線平分對(duì)角；
5、正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；6、正方形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形.
考點(diǎn)7：正方形的判定：
1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；
2）對(duì)角線相等的菱形是正方形；
3）一組鄰邊相等的矩形是正方形；
4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；
5）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；
6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.
正方形的面積公式：面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=12對(duì)角線×對(duì)角線
【題型1：矩形的性質(zhì)和判定】
【典例1】（2023?大慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段CD的中點(diǎn)，連接AC，AE，延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)F，連接DF，∠ACF＝90°．
（1）求證：四邊形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四邊形ABCE的面積．
1．（2023?呼和浩特）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點(diǎn)M，N．若AM＝1，BN＝2，則BD的長(zhǎng)為（）
A．B．3C．D．
2．（2023?杭州）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．若∠AOB＝60°，則＝（）
A．B．C．D．
3．（2023?南通）如圖，四邊形ABCD是矩形，分別以點(diǎn)B，D為圓心，線段BC，DC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，連接BE，DE，BD．若AB＝4，BC＝8，則∠ABE的正切值為（）
A．B．C．D．
4．（2023?新疆）如圖，AD和BC相交于點(diǎn)O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，點(diǎn)E、F分別是AO、DO的中點(diǎn)．
（1）求證：OE＝OF；
（2）當(dāng)∠A＝30°時(shí)，求證：四邊形BECF是矩形．
5．（2022?泰州）如圖，線段DE與AF分別為△ABC的中位線與中線．
（1）求證：AF與DE互相平分；
（2）當(dāng)線段AF與BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ADFE為矩形？請(qǐng)說明理由．
【題型2：菱形的性質(zhì)和判定】
【典例2】（2022?廣元）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，連結(jié)CE．
（1）求證：四邊形AECD為菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．
1．（2023?麗水）如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，則AC的長(zhǎng)為（）
A．B．1C．D．
2．（2023?西藏）如圖，兩張寬為3的長(zhǎng)方形紙條疊放在一起，已知∠ABC＝60°，則陰影部分的面積是（）
A．B．C．D．
3．（2023?樂山）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)OE．若AC＝6，BD＝8，則OE＝（）
A．2B．C．3D．4
4．（2023?溫州）圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，圖2由其主體圖案中相鄰兩個(gè)直角三角形組合而成．作菱形CDEF，使點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊OC，OB，BC上，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H．當(dāng)AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2時(shí)，EH的長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
5．（2023?湘西州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BM∥DN，且分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)M，N，連接MD，BN．
（1）求證：∠DMN＝∠BNM；
（2）若∠BAC＝∠DAC．求證：四邊形BMDN是菱形．
6．（2022?聊城）如圖，△ABC中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：AD＝CF；
（2）連接AF，CD．如果點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，那么當(dāng)AC與BC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是菱形，證明你的結(jié)論．
【題型2：正方形的性質(zhì)和判定】
【典例2】（2022?邵陽(yáng)）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA．
求證：四邊形AECF是正方形．
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1．（2023?常德）如圖1，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為AO，DO上的一點(diǎn)，且EF∥AD，連接AF，DE．若∠FAC＝15°，則∠AED的度數(shù)為（）
A．80°B．90°C．105°D．115°
2．（2021?玉林）一個(gè)四邊形順次添加下列條件中的三個(gè)條件便得到正方形：
a．兩組對(duì)邊分別相等
b．一組對(duì)邊平行且相等
c．一組鄰邊相等
d．一個(gè)角是直角
順次添加的條件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
則正確的是（）
A．僅①B．僅③C．①②D．②③
3．（2023?丹東）如圖，在正方形ABCD中，AB＝12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE與BF相交于點(diǎn)G，若BE＝CF＝5，則BG的長(zhǎng)為．
一．選擇題（共9小題）
1．矩形的兩條對(duì)角線的夾角為60度，對(duì)角線長(zhǎng)為15，則矩形的較短邊長(zhǎng)為（）
A．12B．10C．7.5D．5
2．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）
A．24B．18C．12D．9
3．用邊長(zhǎng)為1的正方形做了一套七巧板，拼成如圖所示的一座橋，則橋中陰影部分的面積為原正方形面積的（）
A．B．C．D．不能確定
4．下列說法中，不正確的是（）
A．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形
B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
C．對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形
D．對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
5．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝3，BC＝4，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）
A．B．C．D．
6．菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）
A．對(duì)邊相等B．對(duì)角相等
C．對(duì)角線互相平分D．對(duì)角線互相垂直
7．如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，對(duì)角線AC＝6．若過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，則AE的長(zhǎng)為（）
A．4B．2.4C．4.8D．5
8．如圖所示，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過O作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，則EF的長(zhǎng)為（）
A．3B．4C．5D．6
9．如圖，點(diǎn)E、F分別在矩形ABCD的邊AB、BC上，且∠EFD＝90°，若BF＝3，BE＝4，CD＝9，則FC的長(zhǎng)為（）
A．12B．13C．14D．15
二．填空題（共4小題）
10．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥BD，交BC于點(diǎn)E，若，CE＝1，則BE的長(zhǎng)為．
11．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊DC，CB上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足DE＝CF，AE，DF交于點(diǎn)P，則∠APD的度數(shù)為；連接CP，線段CP的最小值為．
12．如圖，直線l過正方形ABCD的頂點(diǎn)B，點(diǎn)A、點(diǎn)C到直線l的距離分別為1和2，則正方形的邊長(zhǎng)是．
13．已知：如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝2，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng) 秒時(shí)，△ABP和△DCE全等．
三．解答題（共3小題）
14．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）若AB＝6，AC＝8，求EF的長(zhǎng)．
15．如圖所示，O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：OE⊥DC．
（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面積．
16．將兩張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形紙片如圖疊放．
（1）判斷四邊形AGCH的形狀，并說明理由；
（2）求四邊形AGCH的面積．
一．選擇題（共7小題）
1．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB，BC的中點(diǎn)，CE，DF交于點(diǎn)G，連接AG，下列結(jié)論：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正確的結(jié)論是（）
A．①②B．①③C．①②④D．①②③
2．已知：如圖，正方形ABCD中，AB＝4，AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與線段BC，CD的端點(diǎn)重合）且BE＝CF，連接OE，OF，EF．在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過程中，有下列四個(gè)結(jié)論：①△OEF始終是等腰直角三角形；
②△OEF面積的最小值是2；③至少存在一個(gè)△ECF，使得△ECF的周長(zhǎng)是4+2；④四邊形OECF的面積始終是4．所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
3．如圖，正方形ABCD和長(zhǎng)方形AEFG的面積相等，且四邊形BEFH也是正方形，歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖得到了：BH2＝CH×GH．設(shè)AB＝a，CH＝b．若ab＝5，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)是（）
A．6B．8C．10D．20
4．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接AF，DE，點(diǎn)G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為（）
A．B．1C．D．2
5．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，已知BC＝1，CE＝7，點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)，則CH的長(zhǎng)是（）
A．5B．3.5C．4D．
6．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（）
A．2B．4C．D．2
7．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，連接OE，下列結(jié)論：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S?ABCD＝AC?CD；④S四邊形OECD＝S△AOD，其中成立的個(gè)數(shù)為（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二．填空題（共5小題）
8．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝1cm，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△PBC和△DCE全等時(shí)，t的值為．
9．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE、EF，G、H分別為AE、EF的中點(diǎn)，連接GH．若GH的最小值為3，則BC的長(zhǎng)為．
10．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在OD上，DF＝OF，連接EF交OA于點(diǎn)G，若OG＝1，連接CE，S△BEC＝12，則線段CE的長(zhǎng)為．
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（10，0），（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)．若以O(shè)，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為5的菱形時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．
12．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D在AB邊上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F，連接EF，則線段EF的最小值等于．
三．解答題（共5小題）
13．【問題情境】：如圖1，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，將直角三角形ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0≤α≤180°）點(diǎn)B、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B′、E′．
【問題解決】：
（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)B′落在了AC上，求此時(shí)CB′的長(zhǎng)；
（2）若α＝90°，如圖3，得到△ADE′（此時(shí)B′與D重合），延長(zhǎng)BE交DE′于點(diǎn)F，
①試判斷四邊形AEFE′的形狀，并說明理由；
②連接CE，求CE的長(zhǎng)；
（3）在直角三角形ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出線段CE′長(zhǎng)度的取值范圍．
14．已知：如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)C橫坐標(biāo)為n，且m2+n2﹣2m﹣8n+17＝0．
（1）分別求出點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖（2），點(diǎn)D為邊AB中點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的直角∠EDF兩邊分別交邊BC于E，交邊AC于F，①求證：DE＝DF；②求證：S四邊形DECF＝S△ABC；
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn)G（點(diǎn)G不與點(diǎn)A重合），使得△BCG是以BC為直角邊的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)．
15．綜合與實(shí)踐：
【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，DF⊥CE于點(diǎn)F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，試猜想四邊形ABCD的形狀，并說明理由；
【實(shí)踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，DF⊥CE于點(diǎn)F，AH⊥CE于點(diǎn)H，GD⊥DF交AH于點(diǎn)G，可以用等式表示線段FH，AH，CF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問題；
【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，AH⊥CE于點(diǎn)H，點(diǎn)M在CH上，且AH＝HM，連接AM，BH，可以用等式表示線段CM，BH的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問題．
16．回答問題
（1）【初步探索】如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF＝BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是；
（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF＝BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
（3）【拓展延伸】已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3，仍然滿足EF＝BE+FD，請(qǐng)直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．
17．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點(diǎn)，連接DE，CF，DE⊥CF，則的值為；
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝3，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，連接CE，BD，且CE⊥BD，則的值為；
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)C作DE的垂線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：；
（4）如圖4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝9，將△ABD沿BD翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處得△CBD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，連接DE，CF，DE⊥CF．請(qǐng)問．是定值嗎？若是，直接寫出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說明理由．
1．（2023?湘潭）如圖，菱形ABCD中，連接AC，BD，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）
A．20°B．60°C．70°D．80°
2．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，順次連接菱形ABCD各邊中點(diǎn)E、F、G、H，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（）
A．4+2B．6+2C．4+4D．6+4
3．（2023?西藏）如圖，矩形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，AD＝3，AB＝4，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，EG⊥AC于點(diǎn)G，則EH+EG的值是（）
A．2.4B．2.5C．3D．4
4．（2023?青島）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)M，G為BC上一點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)．若BG＝3，CG＝1，則線段MN的長(zhǎng)度為（）
A．B．C．2D．
5．（2023?臺(tái)灣）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一點(diǎn)P從B點(diǎn)沿著BD往D點(diǎn)移動(dòng)，若過P點(diǎn)作AB的垂線交AB于E點(diǎn)，過P點(diǎn)作AD的垂線交AD于F點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)度最小為多少（）
A．B．C．5D．7
6．（2023?綿陽(yáng)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)，且BG＝3GC，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE，且交AG于點(diǎn)F，則tan∠EDF的值為（）
A．B．C．D．
7．（2023?宜賓）如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，M為對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，連接AM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)P，若PM＝PC，則AM的長(zhǎng)為（）
A．3（﹣1）B．3（3﹣2）C．6（﹣1）D．6（3﹣2）
8．（2023?黑龍江）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，試添加一個(gè)條件，使得矩形ABCD為正方形．
9．（2023?寧夏）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，連接EB，EC．則圖中陰影部分的面積是．
10．（2023?廣西）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別是EF，AF的中點(diǎn)，則MN的最大值為．
11．（2023?揚(yáng)州）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)B′處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3：5，那么線段FC的長(zhǎng)為．
12．（2023?岳陽(yáng)）如圖，點(diǎn)M在?ABCD的邊AD上，BM＝CM，請(qǐng)從以下三個(gè)選項(xiàng)中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件，使?ABCD為矩形．
（1）你添加的條件是（填序號(hào)）；
（2）添加條件后，請(qǐng)證明?ABCD為矩形．
13．（2023?張家界）如圖，已知點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．
（1）求證：AE∥BF；
（2）若DF＝FC時(shí)，求證：四邊形DECF是菱形．
14．（2023?十堰）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，分別以點(diǎn)B，C為圓心，AC，BD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接BP，CP．
（1）試判斷四邊形BPCO的形狀，并說明理由；
（2）請(qǐng)說明當(dāng)?ABCD的對(duì)角線滿足什么條件時(shí)，四邊形BPCO是正方形？
15．（2023?云南）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE＝AF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面積等于，求平行線AB與DC間的距離．

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