命題人： 審題人：
時(shí)量：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
★1．命題“，都有”的否定是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，都有D．，都有
★2．設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．必要條件D．既不充分也不必要條件
3．下列選項(xiàng)中滿足最小正周期為，且在上單調(diào)遞增的函數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
★4．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A．9B．8C．3D．
5．生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），殘余量占比與死亡年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為（其中為常數(shù)），大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．若2021年某遺址文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的79%，則可推斷該文物屬于（ ）
參考數(shù)據(jù)：．
參考時(shí)間軸：
A．戰(zhàn)國(guó)B．漢C．唐D．宋
6．已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．函數(shù)的最小正周期是B．曲線關(guān)于直線對(duì)稱
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是
8．已知函數(shù)與函數(shù)的值域相同，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）
★9．已知向量，，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．與向量平行的單位向量?jī)H有D．向量在向量上的投影向量為
10．某摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為分鐘．在圓周上均勻分布12個(gè)座艙，標(biāo)號(hào)分別為1～12（可視為點(diǎn)）．現(xiàn)4號(hào)座艙位于圓周最上端，從此時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為分鐘．假設(shè)1號(hào)座艙與地面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，1號(hào)座艙與5號(hào)座艙高度之差的絕對(duì)值為米，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，
B．當(dāng)時(shí)，
C．，
D．若在這段時(shí)間內(nèi)，恰有三次取得最大值，則的取值范圍為
11．已知函數(shù)滿足：，，都有成立，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)是偶函數(shù)
C．函數(shù)是周期函數(shù)
D．，，若，則
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．如圖，在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，若，則______．
13．若，，則______．
14．我們知道，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)任意，都有，且，那么函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____；若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15．（本小題滿分13分）
化簡(jiǎn)求值：（1）；
（2）已知，求的值．
★16．（本小題滿分15分）
已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；
（3）解不等式．
17．（本小題滿分15分）
某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費(fèi)者，工藝品的平面設(shè)計(jì)如圖所示，該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成，點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)（異于，），點(diǎn)在線段上，且滿足．已知，，設(shè)．
（1）為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果，需滿足，且達(dá)到最大．當(dāng)為何值時(shí)，工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果？
（2）為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足，且達(dá)到最大．當(dāng)為何值時(shí)，工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性？并求此時(shí)的值．
18．（本小題滿分17分）
已知函數(shù)（，）的最小正周期為，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象．
（1）求函數(shù)與的解析式；
（2）求實(shí)數(shù)與正整數(shù)，使得在內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)．
19．（本小題滿分17分）
若存在常數(shù)、，使得函數(shù)對(duì)于同時(shí)滿足：，，則稱函數(shù)為“”類函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)是否為“”類函數(shù)？如果是，寫出一組的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）函數(shù)是“”類函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．
（?。┳C明：是周期函數(shù)，并求出在上的解析式；
（ⅱ）若，，求的最大值和最小值．
長(zhǎng)郡中學(xué)2024年高一寒假作業(yè)撿測(cè)
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．B 【解析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可得命題“，都有”的否定是：“，使得”．故選B．
2．B 【解析】由，解得，或，故“”是“”的必要不充分條件，故選B．
3．C 【解析】對(duì)于A：函數(shù)的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：函數(shù)的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：函數(shù)的最小正周期為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D：函數(shù)的最小正周期為，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤．故選C．
4．C 【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選C．
5．B 【解析】由題可知，當(dāng)時(shí)，，故，解得，所以，所以當(dāng)時(shí)，解方程，兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)得，解得，所以，所以可推斷該文物屬于漢朝．故選B．
6．C 【解析】由題意：，且：，，據(jù)此：，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有：，即，．故選C．
7．D 【解析】由函數(shù)圖象可知，所以，所以最小正周期為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，又函?shù)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，，解得，，因?yàn)椋?，所以，，?dāng)時(shí)，，故不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；當(dāng)，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)，所以，所以，故D正確．故選D．
8．B 【解析】因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以的值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，
①若，即，，此時(shí)不滿足條件；
②若，即，，此時(shí)的值域不可能為；
③若，即，，要使的值域?yàn)?，則，
即，解得：或，又因?yàn)椋裕蔬xB．
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）
9．ABD 【解析】選項(xiàng)A：，，所以，A正確；選項(xiàng)B：，所以，B正確；選項(xiàng)C：，所以與向量平行的單位向量是或，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：向量在向量上的投影向量為，D正確．故選ABD．
10．ACD 【解析】設(shè)1號(hào)座艙與地面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的解析式為（，，），則，，所以（），
依題意，所以，
當(dāng)時(shí)且在0附近為增函數(shù)，所以，故（），故AC正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)于D：依題意，，
所以
，
今，，解得，，
所以當(dāng)，時(shí)取得最大值，
故，解得，
所以．故D正確．故選ACD．
11．ACD 【解析】令，則，故A正確；
令，所以，
故是奇函數(shù)，即B錯(cuò)誤；
令，，則，
所以，
即是的一個(gè)周期，故C正確；
在時(shí)易知，
則，
所以，
即，故D正確．故選ACD．
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12． 【解析】．故．
13． 【解析】，
，
，，
，解得，
，．
14．2 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，
所以，
即，
即，所以，
所以在定義域上單調(diào)遞減，
令，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，
所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，
且單調(diào)遞減，
因?yàn)椋矗?br>即，也即，
所以，則，解得或，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15．【解析】（1）原式．
（2），
因?yàn)?，所以原式?br>16．【解析】（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
，，解得，
，而，解得，
，．
（2）函數(shù)在上為減函數(shù)．
證明如下：任意，且，
則，
因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，?br>所以，所以，
即，
所以函數(shù)在上為減函數(shù)．
（3）由題意，，
又，所以，
即解不等式，所以，
所以解得，
所以該不等式的解集為．
17．【解析】（1）由，在直角中，，；
在直角中，，；
，
所以當(dāng)，即時(shí)，的最大值為，
即時(shí)，工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果．
（2）在直角中，由，
可得；
在直角中，，
所以，，
所以
，
所以當(dāng)時(shí)，工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性，此時(shí)取得最大值，且最大值為．
18．【解析】（1）由函數(shù)的最小正周期為，，得．
又曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為，，
故，得，
所以．
將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）后可得的圖象，再將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)．
（2）依題意，，
現(xiàn)研究函數(shù)在上的零點(diǎn)的情況．
設(shè)，（），則函數(shù)的圖象是開(kāi)口向下的拋物線，
又，，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)（另一個(gè)零點(diǎn)，舍去），
在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)（另一個(gè)零點(diǎn)，舍去），
在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)，在和上分別有兩個(gè)零點(diǎn)．
由正弦函數(shù)的對(duì)稱性，可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)，從而不存在正整數(shù)滿足題意．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)，
從而當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，
由正弦函數(shù)的周期性，，所以依題意得．
綜上，當(dāng)，或，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)．
19．【解析】（1）是“”類函數(shù)，
，
可以是（答案不唯一）．
（2）（?。┖瘮?shù)是“”類函數(shù)，
，，
，
，是周期函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，，．
當(dāng)時(shí)，，，
．
故
（ⅱ）記，由（?。┑茫海?br>①當(dāng)時(shí)，，滿足；
②當(dāng)時(shí)，，
由在上恒成立可得：，
解得：；
③當(dāng)時(shí)，，
由在上恒成立可得：，
解得：．
綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍為．
所以的最大值為20，最小值為．題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
B
C
C
B
C
D
B
ABD
ACD
ACD

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