時量：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．設集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．若，則的最小值是（ ）
A．2B．
C．D．3
3．已知3、4、5、7、五個數(shù)據(jù)，均值，若再增加2、8兩個數(shù)后，這七個數(shù)據(jù)的均值和方差應該是（ ）
A．5，2B．5，3
C．5，4D．6，2
4．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
★5．設，且，若能被13整除，則的可能取值為（ ）
A．0B．1
C．11D．12
★6．甲、乙兩人要在一排7個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有（ ）
A．6種B．12種
C．15種D．30種
7．已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，點在上．若，，則到的距離等于（ ）
A．1B．2
C．3D．4
8．已知函數(shù)及其導函數(shù)定義域均為，滿足，且為奇函數(shù)，記，其導函數(shù)為，則（ ）
A．0B．1
C．D．2
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）
9．且，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．
C．D．
★10．關于曲線，下列敘述正確的是（ ）
A．當時，曲線表示的圖形是一個焦點在軸上的橢圓
B．當時，曲線表示的圖形是一個焦點在軸上的雙曲線，且焦距為4
C．當時，曲線表示的圖形是一個橢圓
D．當或時，曲線表示的圖形是雙曲線
11．下列命題中正確的是（ ）
A．若，，則
B．若復數(shù)滿足，則
C．若復數(shù)為純虛數(shù)，則
D．若復數(shù)滿足，則的最大值為
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
★12．已知等差數(shù)列中，，，若在數(shù)列每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使得新數(shù)列也是一個等差數(shù)列，則新數(shù)列的第41項為______．
13．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學的重要成果其中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩點距離的比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓，已知點，，，動點滿足，則點的軌跡與圓的公切線的條數(shù)為______．
14．已知函數(shù)若方程恰有四個不同的實數(shù)解，分別記為，則的取值范圍是______．
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（本題滿分13分）
在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．
（1）求角的大??；
（2）若，且的面積為，求的周長．
16．（本題滿分15分）
如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，為的中點．
（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的平面角的正弦值．
17．（本題滿分15分）
已知函數(shù)．
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）求證：．
18．（本題滿分17分）
設分別是雙曲線的左、右兩焦點，過點的直線與的右支交于，兩點，過點，且它的虛軸的端點與焦點的距離為．
（1）求雙曲線的方程．
（2）當時，求實數(shù)的值；
（3）設點關于坐標原點的對稱點為，當時，求面積的值．
19．（本題滿分17分）
某商場擬在周末進行促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：該游戲進行10輪，若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，并且游戲結(jié)束；否則繼續(xù)游戲，直至10輪結(jié)束．已知該游戲第一次獲勝的概率是，若上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是，若上一次失敗則下一次成功的概率是．記消費者甲第一次獲勝的概率為，數(shù)列的前項和，且的實際意義為前次游戲中平均獲勝的次數(shù)．
（1）求消費者甲第2次獲勝的概率；
（2）證明：為等比數(shù)列；并估計要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲獎．
長郡中學2024年高二寒假作業(yè)檢測
數(shù)學參考答案
一、二、選擇題
1．B 【解析】，，，故選B．
2．D 【解析】由題意，得，當且僅當時，取等號，故的最小值為3．故選D．
3．C 【解析】因為3、4、5、7、五個數(shù)據(jù)，均值，所以，故，則七個數(shù)據(jù)的均值為，七個數(shù)據(jù)的方差為．故選C．
4．D 【解析】設，則，，從而．故選D．
5．D 【解析】當能被13整除時，，能被13整除，且能被13整除，
也能被13整除，因此能被整除時可取值12，故選D．
6．B 【解析】一排共有7個座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有5個空座．
要求每人左右均有空座，
在5個空座的中間4個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有種坐法．故選B．
7．B 【解析】取的中點，連結(jié)．過作于點，則，
又因為，所以，所以．
依題意，所以為等邊三角形．由拋物線的定義，得，所以．
所以，所以．即到的距離為2．故選B．
8．D 【解析】因為，
兩邊同時求導可得：，即，
關于對稱，同時，則關于對稱．
為奇函數(shù)，則，即，
關于對稱，同時，則關于對稱，
由關于對稱得，，由關于對稱得
故，
故周期為6；同理的周期也為6，
．故選D．
9．ACD 【解析】當時，，解得；
當時，，解得；
當時，，解得或舍去．
綜上可知，實數(shù)的值為或或．故選：ACD．
10.AD 【解析】對A，當時，曲線方程為，所以曲線表示的圖形是一個焦點在軸上的橢圓，故A正確；
對B，當時，曲線方程為，所以曲線表示的圖形是一個焦點在軸上的雙曲線，且焦距為，故B錯誤；
對C，當時，曲線表示的圖形是一個方程為的圓，故C錯誤；
對D，當或時，，所以曲線表示的圖形為雙曲線，故D正確．
11．AD 【解析】由復數(shù)相等知：，有，A正確；
若，，有，B錯誤；
若時，，C錯誤；
令，則為圓，而表示圓上的點到的最大距離，
所以，正確．故答案選：AD．
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．41
13．2 【解析】設，由題意可知，，，
整理得，點的軌跡方程為，其圖形是以為圓心，以2為半徑的圓，
而圓的圓心坐標為，半徑為1，可得兩圓的圓心距為2，大于，小于，
則動點的軌跡與圓的位置關系是相交．故公切線的條數(shù)為2．
14． 【解析】由題意知
當時，，時，，
令，則；當時，．
當時，，令，則或4；令，則或2；
由此可作出函數(shù)的圖象如圖：
由于方程恰有四個不同的實數(shù)解，分別記為，
故的圖象與直線有4個不同的交點，由圖象可知，
不妨設，則，且關于對稱，所，
又即，則，，
故，由于在上單調(diào)遞增，故，
所以，故的取值范圍是．故答案為：．
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．【解析】（1），
由正弦定理得，，
，
，；
（2），①，又，②，
由①，②可得，而，所以的周長為．
16．【解析】（1）由題意，因為四邊形為菱形，所以．
連接．因為，所以為等邊三角形，從而．
在中，是的中點，所以．
因為平面，平面，所以．
，平面，平面，平面，
平面．又平面，平面平面
（2）法一：幾何法：由題意及（1）得，
在平面中，過點作，垂足為，連接．
因為平面，平面，所以．
又，平面，平面，所以平面．又平面，所以，從而是二面角的平面角．
在中，，，所以．
在中，，，所以．
在中，，，
所以二面角的平面角的正弦值為．
法二：向量法建系．
17．【解析】（1），所以，
所以，又因為，即切點的坐標為，
所以曲線在點處的切線方程為，
即．
（2）證明：解法1：隱零點解法．
要證明，只需證明，
設，則，設，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為，，所以函數(shù)在上有唯一零點，且，
因為，所以，即，當時，，在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，
故，．綜上可知，．
解法2：切線不等式放縮．
18．【解析】（1）由過點，且它的虛軸的端點與焦點的距離為，
所以即則所求的雙曲線的方程為．
（2）因為直線過點，所以，由，，得：
等腰三角形底邊上的高的大小為，
又到直線的距離等于等腰三角形底邊上的高，則，
即，則．
（3）設，，由得：，
恒成立，則，，
又，即，則，，即，則，
又關于坐標原點的對稱點為，
則．
則所求的面積為．
19．【解析】（1）記“消費者甲第次獲勝”為事件，則，
；
（2）由題意得，
則，則，
，又，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；可知，
故，
從而，
因為表示前次游戲中平均獲勝的次數(shù)，若要獲得禮券，則有，
當為偶數(shù)時，有，①
當為奇數(shù)時，有，②
又由①②得，或10，故平均至少要玩9輪游戲才有可能獲獎．題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
C
D
D
B
B
D
ACD
AD
AD

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