時(shí)量：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．若，則的最小值是（ ）
A．2B．
C．D．3
3．已知3、4、5、7、五個(gè)數(shù)據(jù)，均值，若再增加2、8兩個(gè)數(shù)后，這七個(gè)數(shù)據(jù)的均值和方差應(yīng)該是（ ）
A．5，2B．5，3
C．5，4D．6，2
4．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
★5．設(shè)，且，若能被13整除，則的可能取值為（ ）
A．0B．1
C．11D．12
★6．甲、乙兩人要在一排7個(gè)空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有（ ）
A．6種B．12種
C．15種D．30種
7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．若，，則到的距離等于（ ）
A．1B．2
C．3D．4
8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，滿足，且為奇函數(shù)，記，其導(dǎo)函數(shù)為，則（ ）
A．0B．1
C．D．2
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）
9．且，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．
C．D．
★10．關(guān)于曲線，下列敘述正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，曲線表示的圖形是一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓
B．當(dāng)時(shí)，曲線表示的圖形是一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且焦距為4
C．當(dāng)時(shí)，曲線表示的圖形是一個(gè)橢圓
D．當(dāng)或時(shí)，曲線表示的圖形是雙曲線
11．下列命題中正確的是（ ）
A．若，，則
B．若復(fù)數(shù)滿足，則
C．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則
D．若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
★12．已知等差數(shù)列中，，，若在數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使得新數(shù)列也是一個(gè)等差數(shù)列，則新數(shù)列的第41項(xiàng)為______．
13．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡與圓的公切線的條數(shù)為______．
14．已知函數(shù)若方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，分別記為，則的取值范圍是______．
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（本題滿分13分）
在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．
（1）求角的大??；
（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．
16．（本題滿分15分）
如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，為的中點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的平面角的正弦值．
17．（本題滿分15分）
已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求證：．
18．（本題滿分17分）
設(shè)分別是雙曲線的左、右兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與的右支交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，且它的虛軸的端點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為．
（1）求雙曲線的方程．
（2）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；
（3）設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，求面積的值．
19．（本題滿分17分）
某商場(chǎng)擬在周末進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：該游戲進(jìn)行10輪，若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，并且游戲結(jié)束；否則繼續(xù)游戲，直至10輪結(jié)束．已知該游戲第一次獲勝的概率是，若上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是，若上一次失敗則下一次成功的概率是．記消費(fèi)者甲第一次獲勝的概率為，數(shù)列的前項(xiàng)和，且的實(shí)際意義為前次游戲中平均獲勝的次數(shù)．
（1）求消費(fèi)者甲第2次獲勝的概率；
（2）證明：為等比數(shù)列；并估計(jì)要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲獎(jiǎng)．
長(zhǎng)郡中學(xué)2024年高二寒假作業(yè)檢測(cè)
數(shù)學(xué)參考答案
一、二、選擇題
1．B 【解析】，，，故選B．
2．D 【解析】由題意，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故的最小值為3．故選D．
3．C 【解析】因?yàn)?、4、5、7、五個(gè)數(shù)據(jù)，均值，所以，故，則七個(gè)數(shù)據(jù)的均值為，七個(gè)數(shù)據(jù)的方差為．故選C．
4．D 【解析】設(shè)，則，，從而．故選D．
5．D 【解析】當(dāng)能被13整除時(shí)，，能被13整除，且能被13整除，
也能被13整除，因此能被整除時(shí)可取值12，故選D．
6．B 【解析】一排共有7個(gè)座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有5個(gè)空座．
要求每人左右均有空座，
在5個(gè)空座的中間4個(gè)空中插入2個(gè)座位讓兩人就坐，即有種坐法．故選B．
7．B 【解析】取的中點(diǎn)，連結(jié)．過作于點(diǎn)，則，
又因?yàn)?，所以，所以?br>依題意，所以為等邊三角形．由拋物線的定義，得，所以．
所以，所以．即到的距離為2．故選B．
8．D 【解析】因?yàn)椋?br>兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：，即，
關(guān)于對(duì)稱，同時(shí)，則關(guān)于對(duì)稱．
為奇函數(shù)，則，即，
關(guān)于對(duì)稱，同時(shí)，則關(guān)于對(duì)稱，
由關(guān)于對(duì)稱得，，由關(guān)于對(duì)稱得
故，
故周期為6；同理的周期也為6，
．故選D．
9．ACD 【解析】當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得或舍去．
綜上可知，實(shí)數(shù)的值為或或．故選：ACD．
10.AD 【解析】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，所以曲線表示的圖形是一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，所以曲線表示的圖形是一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且焦距為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，當(dāng)時(shí)，曲線表示的圖形是一個(gè)方程為的圓，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，當(dāng)或時(shí)，，所以曲線表示的圖形為雙曲線，故D正確．
11．AD 【解析】由復(fù)數(shù)相等知：，有，A正確；
若，，有，B錯(cuò)誤；
若時(shí)，，C錯(cuò)誤；
令，則為圓，而表示圓上的點(diǎn)到的最大距離，
所以，正確．故答案選：AD．
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．41
13．2 【解析】設(shè)，由題意可知，，，
整理得，點(diǎn)的軌跡方程為，其圖形是以為圓心，以2為半徑的圓，
而圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，可得兩圓的圓心距為2，大于，小于，
則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是相交．故公切線的條數(shù)為2．
14． 【解析】由題意知
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
令，則；當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，令，則或4；令，則或2；
由此可作出函數(shù)的圖象如圖：
由于方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，分別記為，
故的圖象與直線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知，
不妨設(shè)，則，且關(guān)于對(duì)稱，所，
又即，則，，
故，由于在上單調(diào)遞增，故，
所以，故的取值范圍是．故答案為：．
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．【解析】（1），
由正弦定理得，，
，
，；
（2），①，又，②，
由①，②可得，而，所以的周長(zhǎng)為．
16．【解析】（1）由題意，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以?br>連接．因?yàn)椋詾榈冗吶切?，從而?br>在中，是的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>，平面，平面，平面，
平面．又平面，平面平面
（2）法一：幾何法：由題意及（1）得，
在平面中，過點(diǎn)作，垂足為，連接．
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，平面，平面，所以平面．又平面，所以，從而是二面角的平面角．
在中，，，所以．
在中，，，所以．
在中，，，
所以二面角的平面角的正弦值為．
法二：向量法建系．
17．【解析】（1），所以，
所以，又因?yàn)?，即切點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即．
（2）證明：解法1：隱零點(diǎn)解法．
要證明，只需證明，
設(shè)，則，設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，所以函?shù)在上有唯一零點(diǎn)，且，
因?yàn)?，所以，即，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
故，．綜上可知，．
解法2：切線不等式放縮．
18．【解析】（1）由過點(diǎn)，且它的虛軸的端點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為，
所以即則所求的雙曲線的方程為．
（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，由，，得：
等腰三角形底邊上的高的大小為，
又到直線的距離等于等腰三角形底邊上的高，則，
即，則．
（3）設(shè)，，由得：，
恒成立，則，，
又，即，則，，即，則，
又關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，
則．
則所求的面積為．
19．【解析】（1）記“消費(fèi)者甲第次獲勝”為事件，則，
；
（2）由題意得，
則，則，
，又，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；可知，
故，
從而，
因?yàn)楸硎厩按斡螒蛑衅骄@勝的次數(shù)，若要獲得禮券，則有，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，①
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，②
又由①②得，或10，故平均至少要玩9輪游戲才有可能獲獎(jiǎng)．題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
C
D
D
B
B
D
ACD
AD
AD

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