單選題：
1.圓C:x2+y2?4x+2y?4=0的圓心與半徑分別為( )
A. C(?2,1)，r=3B. C(?2,1)，r=9
C. C(2,?1)，r=3D. C(2,?1)，r=9
【答案】C
解：圓C的方程可化為(x?2)2+(y+1)2=32，可知圓心為C(2,?1)，半徑為r=3．
故選C．
2.已知直線x+ay?1=0與直線(a?1)x+ay+1=0平行，則實(shí)數(shù)a的值是
( )
A. 2或0B. 2C. 0D. ?2
【答案】B
解：當(dāng)a=0時(shí)，兩直線都為x=1，重合，故舍去；
當(dāng)a≠0時(shí)，由兩直線平行，得到?1a=?a?1a，解得a=2，
經(jīng)檢驗(yàn)，兩直線不重合，成立，
綜上，實(shí)數(shù)a的值是2．
故選B．
3.已知正四面體ABCD的棱長為a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則AE?AF的值為( )
A. a2B. 12a2C. 14a2D. 34a2
【答案】C
解：如圖所示，在正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，
AF=12AD，AE=12(AB+AC)，∴AE?AF=14(AD?AB+AD?AC)=14(a2cs60°+a2cs60°)=14a2．
4.已知{an}是等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，a2=2，a5=14，公比q等于公差d，b1=2，則b3為( )
A. ?12B. ?2C. 3D.
【答案】C
解：∵{an}是等比數(shù)列，a2=2，a5=14，
設(shè)等比數(shù)列的公比是q，
∴a5=a1?q4，a2=a1q
∴q=12，∴d=12，b3=b1+2d=3.
故選：C．
5.設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是C上一點(diǎn)，PF2⊥F1F2,∠PF1F2=300，則C的離心率為
( )
A. 66B. 13C. 12D. 33
【答案】D
解：|PF2|=x，
∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，
∴|PF1|=2x，|F1F2|= 3x，
又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c
∴2a=3x，2c= 3x，
∴C的離心率為：e=2c2a= 33．
故選D．
6.數(shù)列{an}，{bn}滿足an?bn=1，an=n2+3n+2，則{bn}的前10項(xiàng)之和等于
( )
A. 13B. 512C. 12D. 712
【答案】B
【解答】
解：∵an?bn=1，
∴bn=1n2+3n+2=1n+1n+2
∴S10=12×3+13×4+...+110×11+111×12
=(12?13)+(13?14)+...+(110?111)+(111?112)
=12?112=512，
故選B．
7.若雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)與直線3x+y=0沒有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為
( )
A. (0, 10)B. (1, 10)C. (1, 10]D. ( 10,+∞)
【答案】C
解：∵雙曲線的一條漸近線為y=?bax，
直線3x+y=0可化為y=?3x，
由題意可得?ba??3，即ba?3，
又∵ba= b2a2= c2?a2a2= e2?1?3，
∴? 10?e? 10，
又∵雙曲線離心率e>1，
∴雙曲線離心率e∈(1, 10]．
故選C．
8.如圖，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線l交于點(diǎn)C(點(diǎn)B位于A,C之間)且CB=3BF,AD⊥l于點(diǎn)D且AD=4，則OF等于
( )
A. 23B. 43C. 83D. 163
【答案】B
解：設(shè)BE⊥l于點(diǎn)E，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)G，
則BE=BF，又CB=3BF，
∴BC=3BE,CF=3GF，
又AD⊥l于點(diǎn)D且AD=4，
∴BE // AD，
∴AC=AD+CF=AD+3GF=3AD，
即3p=2AD=2×4，
∴p=83，
∴OF=43．
故選：B．
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.若1，a，b，c，16成等比數(shù)列，則
( )
A. a=2B. b=4C. c=8D. ac=16
【答案】BD
解：因?yàn)閎2=1×16，且b與首項(xiàng)1同號(hào)，所以b=4，
因?yàn)閍，c同號(hào)，且ac=16a2=4c2=4×6，所以a=2c=8或a=?2c=?8．
故選BD．
10.過點(diǎn)P(2,4)引圓(x?1)2+(y?1)2=1的切線，則切線的方程為( )
A. x=?2B. x=2C. 4x?3y+4=0D. 4x+3y?4=0
【答案】BC
解：據(jù)題意，知圓(x?1)2+(y?1)2=1的圓心為(1,1)，半徑r=1．
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為x=2，符合題意；
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y?4=k(x?2)，即kx?y+4?2k=0，
再根據(jù)圓心(1,1)到切線的距離等于半徑，可得k?1+4?2k 1+k2=1，求得k=43，
故此時(shí)切線方程為4x?3y+4=0 ．
綜上可得，圓的切線方程為4x?3y+4=0 ，或x=2，
故選BC．
11.已知曲線M:x2csθ+y2sinθ=1(02 無解，錯(cuò)誤．
12.如圖，P1是一塊半徑為1的圓形紙板，在P1的左下端剪去一個(gè)半徑為12的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個(gè)更小半圓(其直徑為前一個(gè)剪掉半圓的半徑)得圖形P3，P4，?，Pn，?，記紙板Pn的周長為Ln，面積為Sn，則下列說法正確的是( )
A. L3=74π+12B. S3=1132π
C. Ln=π[2?(12)n?1]+(12)n?1D. Sn+1=Sn?π22n+1
【答案】ABD
解：根據(jù)圖形生成的規(guī)律可知，
，，，故A正確；
，，，故B正確；
根據(jù)題意可知，圖形Pn中被剪去的最小的半圓的半徑為(12)n?1，
所以當(dāng)，
故C錯(cuò)誤；
根據(jù)題意可知，圖形Pn+1中被剪去的最小的半圓的半徑為(12)n，
，故D正確．
故選ABD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知直線l過點(diǎn)P(2,?1)，在x軸和y軸上的截距分別為a，b，且滿足a=3b，則直線l的方程為_________________________________。
【答案】x+3y+1=0或x+2y=0
【解析】解：設(shè)直線l 的斜率為k，所以直線方程為：y=k(x?2)?1．
由題意可知a=2+1k，b=?2k?1，因?yàn)閍=3b，所以-2?1k=6k+3，
解得k=?12或k=?13，
故所求的直線l的方程為：x+3y+1=0或x+2y=0．
故答案為：x+3y+1=0或x+2y=0．
14．已知數(shù)列為遞減數(shù)列，其前項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】①當(dāng)時(shí)，，
②當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，，數(shù)列遞減，
綜上所述，若使為遞減數(shù)列，只需滿足，即，
解得，
故答案為：.
15.已知拋物線C：y ?2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為2的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸的上方)，則|AF||BF|=________．
【答案】 5+32
解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由F(1,0)可得直線AB的方程為y=2x?2，
聯(lián)立方程y2=4x,y=2x?2后整理為x2?3x+1=0，
解得x1= 5+32，x2=3? 52，且有x1x2=1．
由拋物線的定義，有|AF||BF|=x1+1x2+1=x1+x1x2x2+1=x1= 5+32．
16.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E是側(cè)面BB1C1C內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，若點(diǎn)E滿足D1E⊥CE；則BE的最小值為________．
【答案】 5?1
解：在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中可建立如圖空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)Ex,2,z，D10,0,2，C0,2,0，
所以D1E=(x,2,z?2)，CE=x,0,z，
因?yàn)镈1E⊥CE，
所以D1E?CE=0?x2+z(z?2)=0?x2+(z?1)2=1，
故BE= (2?x)2+(2?2)2+(0?z)2= x2?4x+4+z2，
因?yàn)閤2+z?12=1，
所以令x=csθ,z=1+sinθ，
代入上式得：|BE|= cs2 θ?4cs θ+4+(1+sin θ)2
= 2sin θ?4cs θ+6
= 2 5sin (θ?φ)+6,
其中tan φ=2,(φ∈(0,π2))，
所以 6?2 5?|BE|? 6+2 5即 5?1?|BE|? 5+1
因此BE的最小值為 5?1，
另也可以用x2+(z?1)2=1的幾何意義，用圓的概念來判斷
四、解答題：本題共6小題，共72分。
17.(本小題12分)
已知?ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A2,2，B3,?1，C5,3．
(1)求?ABC的外接圓方程；
(2)求?ABC的面積．
解：(1)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，
則將A2,2，B3,?1，C5,3三點(diǎn)代入可得{4+4+2D+2E+F=0+1+3D?E+F=025+9+5D+3E+F=0,
D=?8，E=?2，F(xiàn)=12，
所以所求圓的方程為x2+y2?8x?2y+12=0．
(1)由題意得AB= (2?3)2+2??12= 10，
kAB=2??12?3=?3，
所以AB:y?2=?3(x?2)，
即3x+y?8=0，
點(diǎn)C到直線AB的距離為
d=3×5+3×1?8 32+12= 10，
所以SΔABC=12× 10× 10=5．
18.(本小題12分)
已知數(shù)列{an}滿足an=2an?1+1(n∈N?,n≥2)，且a1=1，bn=an+1．
(1)求a2，a3，并證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an+bn}的前10項(xiàng)和T10．
【答案】證明：(1)a2=2a1+1=3；a3=2a2+1=7，
∵當(dāng)n≥2時(shí)，an=2an?1+1，∴an+1=2an?1+2=2(an?1+1)，
∴bnbn?1=2，b1=a1+1=2，∴數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．
(2)bn=b1?2n?1=2n，an=bn?1=2n?1，an+bn=2n+1?1，
T10=(22+23+?+211)?10
=22(1?210)1?2?10
=212?14
=4082．
19.【答案】解：(1)由拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=?p2，則?p2=?12，則p=1，
∴拋物線方程為：y2=2x；
(2)證明：設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，由y=k(x?2)y2=2x，消去y整理得k2x2?2(2k2+1)x+4k2=0，
∴x1x2=4，由y12=2x1，y22=2x2，兩式相乘，得(y1y2)2=4x1x2，
注意到y(tǒng)1，y2異號(hào)，所以y1y2=?4，
則OM?ON=x1x2+y1y2=0，
∴OM⊥ON．
20.【答案】解：(1)
當(dāng)n=1時(shí)，4S1=a12+2a1+1，∴a1=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn=an2+2an+1n∈N?，…①，4Sn?1=an?12+2an?1+1n∈N?，…②
①?②得：4an=an2?an?12+2an?2an?1，即：an+an?1an?an?1?2=0．
∵an>0，∴an?an?1=2
∴an是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，∴an=2n?1；
(2)由(1)可知bn=2n?1?2n，則
Tn=1×21+3×22+...+2n?12n，…①
兩邊同乘2得：2Tn=1×22+3×23+?+(2n?1)2n+1，…②
①?②得：?Tn=21+2×22+?+2×2n?(2n?1)2n+1
=2+81?2n?11?2?(2n?1)2n+1=?6?(2n?3)?2n+1，
∴Tn=(2n?3)2n+1+6．
21.(本小題12分)
如圖，C，D分別是直徑AB=2的半圓O上的點(diǎn)，且滿足BC=CD=DA，△PAB為等邊三角形，且與半圓O所成二面角的大小為90°，E為PA的中點(diǎn)．
(1)求證：DE//平面PBC；
(2)在弧AB上是否存在一點(diǎn)F，使得直線PF與平面DEB所成角的正弦值為3147？若存在，求出點(diǎn)F到平面DEB的距離；若不存在，說明理由．
【答案】解：(1)證明：設(shè)G為AB的中點(diǎn)，連接OG，則OG⊥AB，
因?yàn)椤鱌AB為等邊三角形，O為AB中點(diǎn)，所以PO⊥AB，
又平面PAB與半圓O所成二面角的大小為90°，平面PAB與半圓O所在的平面的交線為AB，
則PO⊥平面ABC，
以O(shè)為原點(diǎn)，OG，OB，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則D 32,?12,0，E0,?12, 32，P0,0, 3，B0,1,0，C 32,12,0，
DE=? 32,0, 32，PB=0,1,? 3，PC= 32,12,? 3，
設(shè)平面PBC的法向量為n=x,y,z，
所以n·PB=y? 3z=0n·PC= 32x+12y? 3z=0,
取n=1, 3,1，
因?yàn)镈E·n=? 32×1+0× 3+ 32×1=0，所以DE⊥n，
又DE?平面PBC，所以DE//平面PBC；
(2)設(shè)平面DEB的法向量為m=x′,y′,z′，
DE=? 32,0, 32，DB=? 32,32,0，
所以m·DE=? 32x′+ 32z′=0m·DB=? 32x′+32y′=0，取m= 3,1, 3，
因?yàn)閳AO的方程為x2+y2=1，設(shè)，
PF=csθ,sinθ,? 3，
設(shè)直線PF與平面DEB所成角為α，則，
則，則θ=?π3，
所以F12,? 32,0，BF=12,? 32?1,0，
故在弧AB?上存在一點(diǎn)F，使得直線PF與平面DEB所成角的正弦值為314 7，
點(diǎn)F到平面DEB的距離為
BF·mm= 32? 32?1 7= 77．
22.(本小題12分)
在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為 33，焦距為2．
(1)求橢圓C的方程；
(2)動(dòng)直線l:y=mx? 52交橢圓于A、B兩點(diǎn)，D是橢圓C上一點(diǎn)，直線OD的斜率為n，且mn=12.T是線段OD延長線上一點(diǎn)，且DT=2 2115AB，⊙T的半徑為DT，OP，OQ是⊙T的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，求∠QOP的最大值．
【答案】解：(1)由題意得 2c=2 ， c=1 ，
又 ∵e=ca= 33 ， ∴a= 3 ， ∴b= 2 ，
∴ 橢圓方程為： x23+y22=1 ．
(2)
設(shè) Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，
聯(lián)立 x23+y22=1y=mx? 52 ，得 8+12m2x2?12 5mx?9=0 ，
Δ=720m2+368+12m2=1152m2+288>0 ，
x1+x2=3 5m3m2+2 ， x1x=?912m2+8 ，
|AB|= 1+m2x1?x2= 1+m2? Δ8+12m2= 1+m2? 1152m2+2888+12m2= 1+m2?3 8m2+22+3m2
r=2 2115|AB|=2 2115? 1+m2?3 8m2+22+3m2 ，
n=12m ， ∴ 直線 OD 的方程為： y=12mx ，
聯(lián)立 x23+y22=1y=12mx 得 x2=24m28m2+3 ， y2=68m2+3 ，
|OD|= x2+y2= 24m2+68m2+3 ，
sin∠QOP2=rr+|OD|=11+|OD|r ，
ODr= 24m2+68m2+32 215? 1+m2? 8m2+22+3m2=5 714?2+3m2 8m2+3? m2+1 ，
令 2+3m2=t ， m2=13t?2 ，且 t>2 ， 1t∈0,12
則 ODr=15 714?t 8t?7t+1=15 714?t 8t2+t?7=15 714?1 ?7t2+1t+8
=15 714?1 ?71t?1142+1575196≥15 714?1415 7=1
當(dāng)且僅當(dāng) 1t=114 ， t=14 ，即 2+3m2=14 ， m=±2 時(shí)等號(hào)成立，
sin∠QOP2≤12 ，因此 ∠QOP2≤π6 ，
∴∠QOP 的最大值為 π3 ，
綜上所述， ∴∠QOP 的最大值為 π3 ，此時(shí) m=±2 ．

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