新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題專練55隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體（含詳解）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題
1．某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)采訪了9位代表，得到的數(shù)據(jù)分別為36，36，37，37，40，43，43，44，44，若用樣本估計(jì)總體，年齡在( eq \x\t(x) －s， eq \x\t(x) ＋s)內(nèi)的人數(shù)占公司人數(shù)的百分比是(其中 eq \x\t(x) 是平均數(shù)，s為標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果精確到1%)( )
A.14% B．25% C．56% D．67%
2．某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是( )
A.56 B．60 C．120 D．140
3．演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評分.7個(gè)有效評分與9個(gè)原始評分相比，不變的數(shù)字特征是( )
A.中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差
4．[2022·全國乙卷(文)，4]分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動時(shí)長(單位：h)，得如下莖葉圖：
則下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長的樣本中位數(shù)為7.4
B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長的樣本平均數(shù)大于8
C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值大于0.4
D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值大于0.6
5．某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：
則下面結(jié)論中不正確的是( )
A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少
B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上
C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍
D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半
6．[2022·全國甲卷(文)，2]某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：
則( )
A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%
B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%
C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差
D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
7．(多選)[2021·新高考Ⅰ卷]有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數(shù)，則( )
A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同
B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同
D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
8．甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則( )
A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)
B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)
C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差
D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差
9．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：
根據(jù)上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 eq \(y,\s\up6(^)) ＝6.3x＋ eq \(a,\s\up6(^)) ，下列說法正確的是( )
A．回歸直線 eq \(y,\s\up6(^)) ＝6.3x＋ eq \(a,\s\up6(^)) 必經(jīng)過樣本點(diǎn)(2，19)，(6，44)
B．這組數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)中心( eq \(x,\s\up6(－)) ， eq \(y,\s\up6(－)) )未必在回歸直線 eq \(y,\s\up6(^)) ＝6.3x＋ eq \(a,\s\up6(^)) 上
C．回歸系數(shù)6.3的含義是廣告費(fèi)用每增加1萬元，銷售額實(shí)際增加6.3萬元
D．據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為7萬元時(shí)銷售額約為50.9萬元
二、填空題
10．已知一組數(shù)據(jù)4，2a，3－a，5，6的平均數(shù)為4，則a的值是________．
11．某電子商務(wù)公司對10 000名網(wǎng)絡(luò)購物者2021年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3，0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．
(1)直方圖中的a＝________；
(2)在這些購物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為________．
12．在一容量為5的樣本中，數(shù)據(jù)均為整數(shù)，已測出其平均數(shù)為10，但墨水污損了兩個(gè)數(shù)據(jù)，其中一個(gè)數(shù)據(jù)的十位數(shù)字1未被污損，即9，10，11，1■，■，那么這組數(shù)據(jù)的方差s2可能的最大值是________．
[能力提升]
13．[2023·重慶南開中學(xué)月考]今年入夏以來，我市天氣反復(fù)，降雨頻繁．如圖統(tǒng)計(jì)了上個(gè)月前15天的氣溫，以及相對去年同期的氣溫差(今年氣溫－去年氣溫，單位：攝氏度)，以下判斷錯誤的是( )
A．今年每天氣溫都比去年同期的氣溫高
B．今年的氣溫的平均值比去年同期的氣溫的平均值低
C．去年8～11號氣溫持續(xù)上升
D．今年8號氣溫最低
14．(多選)[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則( )
A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)
B．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)
C．x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差
D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差
15．已知一組正數(shù)x1，x2，x3的方差s2＝ eq \f(1,3) (x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) －12)，則數(shù)據(jù)x1＋1，x2＋1，x3＋1的平均數(shù)為________．
16．已知樣本容量為200，在樣本的頻率分布直方圖中，共有n個(gè)小矩形，若中間一個(gè)小矩形的面積等于其余(n－1)個(gè)小矩形面積和的 eq \f(1,3) ，則該組的頻數(shù)為________．
專練55 隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體
1．C 因?yàn)?eq \(x,\s\up6(－)) ＝ eq \f(36＋36＋37＋37＋40＋43＋43＋44＋44,9) ＝40，
s2＝ eq \f(1,9) (16＋16＋9＋9＋0＋9＋9＋16＋16)＝ eq \f(100,9) ，即s＝ eq \f(10,3) ，年齡在( eq \(x,\s\up6(－)) －s， eq \(x,\s\up6(－)) ＋s)即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(110,3)，\f(130,3))) 內(nèi)的人數(shù)為5，所以所求百分比為 eq \f(5,9) ≈0.56＝56%，故選C.
2．D 由頻率分布直方圖知，200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，則這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為200×0.7＝140.
3．A 記9個(gè)原始評分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的順序排列)，易知e為7個(gè)有效評分與9個(gè)原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A.
4．C 對于A選項(xiàng)，將甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長的樣本從小到大排列，其樣本容量為16，中間兩個(gè)樣本為7.3和7.5，所以中位數(shù)為 eq \f(7.3＋7.5,2) ＝7.4，所以A不符合題意．對于B選項(xiàng)，(方法一)乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長的樣本平均數(shù)為 eq \f(1,16) ×(6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)≈8.5，所以B不符合題意．(方法二)由乙的樣本可知，小于8的樣本有6.3，7.4，7.6，其他樣本均大于8.又因?yàn)?eq \f(10.1＋6.3,2) >8， eq \f(9.8＋7.4,2) >8， eq \f(9.3＋7.6,2) >8，所以乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長的樣本平均數(shù)大于8，所以B正確．對于C選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長大于8的樣本有8.1，8.2，8.4，8.6，9.2，9.4，共6個(gè)，則甲同學(xué)周課外運(yùn)動時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值為 eq \f(6,16) ＝ eq \f(3,8) 0.6，所以D不符合題意．故選C.
5．A 設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a，則建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a，由題圖可得下表：
根據(jù)上表可知B、C、D均正確，A不正確，故選A.
6．B 由統(tǒng)計(jì)圖可知，講座前這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率分別為65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.對于A項(xiàng)，將這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此這10個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第5個(gè)與第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)，為 eq \f(70%＋75%,2) ＝72.5%＞70%，A錯誤．對于B項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可知，講座后這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率分別為90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以講座后這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的平均數(shù)為 eq \f(1,10) ×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正確．對于C項(xiàng)，講座后這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的方差s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(后)) ＝ eq \f(1,10) ×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝ eq \f(42.25,10 000) ，所以標(biāo)準(zhǔn)差s后＝6.5%.講座前這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的平均數(shù)為 eq \f(1,10) ×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以講座前這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的方差為s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(前)) ＝ eq \f(1,10) ×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝ eq \f(142.25,10 000) ，所以標(biāo)準(zhǔn)差s前≈11.93%.所以s前＞s后，C錯誤．對于D項(xiàng)，講座前問卷答題的正確率的極差為95%－60%＝35%，講座后問卷答題的正確率的極差為100%－80%＝20%，D錯誤．故選B.
7．CD A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均數(shù)不相同，錯誤；
B：若第一組中位數(shù)為xi，則第二組的中位數(shù)為yi＝xi＋c，顯然不相同，錯誤；
C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正確．
D：由極差的定義知：若第一組的極差為xmax－xmin，則第二組的極差為ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故極差相同，正確．
故選CD.
8．C 甲的平均數(shù)是 eq \f(4＋5＋6＋7＋8,5) ＝6，中位數(shù)是6，極差是4，方差是 eq \f(（－2）2＋（－1）2＋02＋12＋22,5) ＝2；乙的平均數(shù)是 eq \f(5＋5＋5＋6＋9,5) ＝6，中位數(shù)是5，極差是4，方差是 eq \f(（－1）2＋（－1）2＋（－1）2＋02＋32,5) ＝ eq \f(12,5) ，比較可得選項(xiàng)C正確．
9．D 由表格中的數(shù)據(jù)可得 eq \(x,\s\up6(－)) ＝ eq \f(2＋3＋4＋5＋6,5) ＝4，
eq \(y,\s\up6(－)) ＝ eq \f(19＋25＋34＋38＋44,5) ＝32，
將點(diǎn)( eq \(x,\s\up6(－)) ， eq \(y,\s\up6(－)) )的坐標(biāo)代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程得6.3×4＋ eq \(a,\s\up6(^)) ＝32，
解得 eq \(a,\s\up6(^)) ＝6.8，
所以回歸方程為 eq \(y,\s\up6(^)) ＝6.3x＋6.8.
對于A選項(xiàng)，當(dāng)x＝2時(shí)， eq \(y,\s\up6(^)) ＝6.3×2＋6.8＝19.4，A選項(xiàng)錯誤；
對于B選項(xiàng)，這組數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)中心( eq \(x,\s\up6(－)) ， eq \(y,\s\up6(－)) )必在回歸直線 eq \(y,\s\up6(^)) ＝6.3x＋ eq \(a,\s\up6(^)) 上，B選項(xiàng)錯誤；
對于C選項(xiàng)，回歸系數(shù)6.3的含義是廣告費(fèi)用每增加1萬元，銷售額約增加6.3萬元，C選項(xiàng)錯誤；
對于D選項(xiàng)，當(dāng)x＝7時(shí)， eq \(y,\s\up6(^)) ＝6.3×7＋6.8＝50.9，
所以據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為7萬元時(shí)銷售額約為50.9萬元，D選項(xiàng)正確．故選D.
10．2
解析：由平均數(shù)公式可得 eq \f(4＋2a＋（3－a）＋5＋6,5) ＝4，解得a＝2.
11．(1)3 (2)6 000
解析：(1)0.1×(0.2＋0.8＋1.5＋2.0＋2.5＋a)＝1，解得a＝3.
(2)消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者的頻率為0.1×(3.0＋2.0＋0.8＋0.2)＝0.6，所以所求購物者的人數(shù)為0.6×10 000＝6 000.
12．32.8
解析：設(shè)這組數(shù)據(jù)的最后兩個(gè)數(shù)據(jù)為10＋x，y(x∈N，x≤9)
∵9＋10＋11＋10＋x＋y＝10×5＝50，
∴x＋y＝10，∴y＝10－x.
∴s2＝ eq \f(1,5) [1＋0＋1＋x2＋(y－10)2]＝ eq \f(1,5) (2＋2x2).
∵x≤9，∴當(dāng)x＝9時(shí)，s2取得最大值32.8.
13．A 由圖可知，1號溫差為負(fù)值，所以今年1號氣溫低于去年同期的氣溫，故選項(xiàng)A不正確；除6，7號，今年氣溫略高于去年同期的氣溫外，其他日子，今年氣溫都低于去年同期的氣溫，所以今年的氣溫的平均值比去年同期的氣溫的平均值低，選項(xiàng)B正確；今年8～11號氣溫上升，但是氣溫差逐漸下降，說明去年8～11號氣溫持續(xù)上升，選項(xiàng)C正確；由圖可知，今年8號氣溫最低，選項(xiàng)D正確．故選A.
14．BD 取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，則x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于2，標(biāo)準(zhǔn)差為0，x1，x2，…，x6的平均數(shù)等于3，標(biāo)準(zhǔn)差為 eq \r(\f(22,3)) ＝ eq \f(\r(66),3) ，故A，C均不正確；根據(jù)中位數(shù)的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進(jìn)行排列，中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數(shù)是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，與x1，x2，…，x6的中位數(shù)相等，故B正確；根據(jù)極差的定義，知x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差，故D正確．綜上，選BD.
15．3
解析：∵s2＝
＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) －2\(x,\s\up6(－))（x1＋x2＋x3）＋3\(x,\s\up6(－))2))
＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) －3\(x,\s\up6(－))2)) ，
又s2＝ eq \f(1,3) (x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) －12)，
∴3 eq \(x,\s\up6(－)) 2＝12，∴ eq \(x,\s\up6(－)) ＝2.
∴x1＋1，x2＋1，x3＋1的平均數(shù)為 eq \f(x1＋x2＋x3＋3,3) ＝3.
16．50
解析：設(shè)除中間一個(gè)小矩形外的(n－1)個(gè)小矩形面積的和為P，則中間一個(gè)小矩形面積為 eq \f(1,3) P，P＋ eq \f(1,3) P＝1，P＝ eq \f(3,4) ，則中間一個(gè)小矩形的面積等于 eq \f(1,3) P＝ eq \f(1,4) ，200× eq \f(1,4) ＝50，即該組的頻數(shù)為50.
廣告費(fèi)用x(萬元)
2
3
4
5
6
銷售額y(萬元)
19
25
34
38
44
種植收入
第三產(chǎn)業(yè)收入
其他收入
養(yǎng)殖收入
建設(shè)前
經(jīng)濟(jì)收入
0.6a
0.06a
0.04a
0.3a
建設(shè)后
經(jīng)濟(jì)收入
0.74a
0.56a
0.1a
0.6a

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