一、單選題
1．設集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知是復數(shù)，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．設等差數(shù)列的前項和為，已知，則（ ）
A．150B．140C．130D．120
4．向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
5．已知圓，直線，則下列說法正確的是（ ）
A．直線過定點
B．直線與圓一定相交
C．若直線平分圓的周長，則
D．直線被圓截得的最短弦的長度為
6．2023年8月至10月貴州榕江舉辦了“超級星期六”全國美食足球友誼賽.已知第一賽季的第一個周六（8月26日）共報名了貴州貴陽烤肉隊等3支省內(nèi)和遼寧東港草莓隊等3支省外美食足球代表隊.根據(jù)賽程安排，在8月26日舉行三場比賽，每支球隊都要參賽，且省內(nèi)代表隊不能安排在同一場，則比賽的安排方式有（ ）
A．6種B．9種C．18種D．36種
7．將函數(shù)的圖像先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖像上的每個點的縱坐標不變，橫坐標都變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖像.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知是定義在上的偶函數(shù)，且也是偶函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．設樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，則（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為11
10．已知，且，則（ ）
A．B．
C．D．
11．在三棱錐中，平面，平面內(nèi)動點的軌跡是集合.已知且在棱所在直線上，，則（ ）
A．動點的軌跡是圓
B．平面平面
C．三棱錐體積的最大值為3
D．三棱錐外接球的半徑不是定值
三、填空題
12．已知，則 ．
13．已知一個圓臺的上?下底面半徑分別為1和3，高為.若圓臺內(nèi)有一個球，則該球體積的最大值為 .（球的厚度可忽略不計）
14．設分別為橢圓的左?右焦點，為橢圓的上頂點，直線與橢圓的另一個交點為.若，則橢圓的離心率為 .
四、解答題
15．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值.
16．如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，.
(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
17．猜燈謎，是我國獨有的民俗文娛活動，是從古代就開始流傳的元宵節(jié)特色活動.每逢農(nóng)歷正月十五傳統(tǒng)民間都要把謎語寫在紙條上并貼在彩燈上供人猜.在一次猜燈謎活動中，若甲?乙兩名同學分別獨立競猜，甲同學猜對每個燈謎的概率為，乙同學猜對每個燈謎的概率為.假設甲?乙猜對每個燈謎都是等可能的，試求：
(1)甲?乙任選1個獨立競猜，求甲?乙恰有一人猜對的概率；
(2)活動規(guī)定：若某人任選2個進行有獎競猜，都猜對則可以在箱中參加抽取新春大禮包的活動，中獎概率是；沒有都猜對則在箱中參加抽取新春大禮包的活動，中獎概率是，求甲同學抽中新春大禮包的概率；
(3)甲?乙各任選2個獨立競猜，設甲?乙猜對燈謎的個數(shù)之和為，求的分布列與數(shù)學期望.
18．已知雙曲線的方程為，虛軸長為2，點在上.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過原點的直線與交于兩點，已知直線和直線的斜率存在，證明：直線和直線的斜率之積為定值；
(3)過點的直線交雙曲線于兩點，直線與軸的交點分別為，求證：的中點為定點.
19．英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設，根據(jù)以上信息，并結合高中所學的數(shù)學知識，解決如下問題.
(1)證明：；
(2)設，證明：；
(3)設，若是的極小值點，求實數(shù)的取值范圍.
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)交集的定義，即可求解.
【詳解】由集合，得.
故選：B
2．A
【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算公式，即可化解求值.
【詳解】由可知，.
故選：A
3．D
【分析】由條件求出等差數(shù)列的首項和公差，再代入前項和公式，即可求解.
【詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差為，
則，解得：，
所以.
故選：D
4．C
【分析】代入投影向量公式，即可求解.
【詳解】向量在向量上的投影向量為.
故選：C
5．B
【分析】根據(jù)方程的形式，聯(lián)立方程，即可求定點，判斷A，再根據(jù)定點與圓的關系，判斷直線與圓的位置關系，判斷B，根據(jù)直線平分圓的周長，可得直線與圓的關系，判斷C，當定點為弦的中點時，此時弦長最短，結合弦長公式，即可求解.
【詳解】A.聯(lián)立，得，不管為何值，直線恒過點，故A錯誤；
B.，所以點在圓內(nèi)，即直線與圓一定相交，故B正確；
C. 若直線平分圓的周長，在直線過圓心，，得，故C錯誤；
D.當定點為弦的中點時，此時弦長最短，
此時圓心到弦所在直線的距離，
則弦長，故D錯誤.
故選：B
6．D
【分析】首先理解題意，再結合組合數(shù)公式，即可求解.
【詳解】由題意可知，每支省內(nèi)的足球隊都要和省外一支球隊比賽一場，則有種方法.
故選：D
7．B
【分析】首先求函數(shù)的解析式，再根據(jù)，代入函數(shù)的解析式，結合正弦導函數(shù)的圖像和性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由三角函數(shù)的圖像變換規(guī)律可知，，
，，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，且，
得.
故選：B
8．D
【分析】首先根據(jù)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，再由函數(shù)也是偶函數(shù)，變形求得函數(shù)的解析式，并求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求解不等式.
【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，所以，則，
又因為函數(shù)也是偶函數(shù)，所以，得，
因為為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以為減函數(shù)，
令，得，
所以時，，在上單調(diào)遞減，
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，即，得或，
所以不等式的解集為.
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據(jù)，得到，從而求得函數(shù)的解析式.
9．ABD
【分析】根據(jù)樣本的平均數(shù)，中位數(shù)，方差和百分位數(shù)公式，即可求解.
【詳解】A.，，故A正確；
B.，根據(jù)中位數(shù)的定義可知，，故B正確；
C.時，，則，故C錯誤；
D.，數(shù)據(jù)，，樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第6個數(shù)據(jù)，即為11，故D正確.
故選：ABD
10．ABCD
【分析】首先結合選項變形，再根據(jù)基本不等式，即可判斷選項.
【詳解】A.，當時，等號成立，故A正確；
B.，當時，等號成立，故B正確；
C.，故C正確；
D.，當時等號成立，故D正確 .
故選：ABCD
11．ABC
【分析】首先底面建坐標系，利用軌跡法求得點的軌跡，點也在軌跡圓上，再根據(jù)幾何關系，以及體積公式，外接球的半徑問題，利用數(shù)形結合，即可求解.
【詳解】A.因為，所以在平面內(nèi)，以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，如圖，
設，，，
由知，，化簡為，即點的軌跡為圓，故A正確；
B. 根據(jù)以上證明可知，點和在圓與軸的兩個交點，如上圖，由條件可知，點在圓上，
則，而平面，平面,所以，
所以是二面角的平面角，則平面平面，故B正確；
C.當點到的距離為2時，此時的面積最大，此時最大面積是,
則三棱錐體積的最大值為，故C正確；
D.由以上證明可知，，且，如圖，
取的中點，作平面，且，
所以，
所以三棱錐外接球的半徑是定值，故D錯誤.
故選：ABC
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是理解題意，并在底面建立坐標系，求點的軌跡，后面的選項就會迎刃而解.
12．/
【分析】先利用二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關系的平方關系構造齊次分式，再分子分母同時除以轉化為正切的運算.
【詳解】因為，
所以.
故答案為：.
13．
【分析】首先假設球與下底面和側面相切，根據(jù)幾何關系和計算，能證明求與上底面也相切，由此可以求得球的半徑，即可求得球的體積的最大值.
【詳解】當球與下底面和側面相切，如圖，
圓臺及其內(nèi)切球的軸截面如圖所示，
由題意可知，設分別梯形的上下底的中點，連結，
如圖，作，交于點，點為側面的切點，
則，則，，
則，
因為，所以，且,
所以球與上底面也相切，故內(nèi)切球的半徑為，此時為圓臺內(nèi)的最大的球，
內(nèi)切球的體積.
故答案為：
14．/
【分析】依據(jù)題意求出點坐標，利用所給條件構造齊次方程求解離心率即可.
【詳解】
由題意得，，，則，
直線的斜率為，即，聯(lián)立方程組，，
可得，而，
故，代入直線中得，故,
可得，由題意得，
可得，化簡得，
即，化簡得，
同除得，且，解得.
故答案為：
15．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，將邊化為角，根據(jù)三角函數(shù)值，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結果，寫出余弦定理，再結合基本不等式和三角形的面積公式，即可求解.
【詳解】（1）由正弦定理，得，
又，所以，
即.
又，所以.
（2）由余弦定理，得，
所以.
由基本不等式知，
于是.
當且僅當時等號成立.
所以的面積，
當且僅當時，面積取得最大值.
16．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理，轉化為證明平面，即可證明；
（2）以點為原點建立空間直角坐標系，分別求平面與平面的法向量，代入二面角的向量公式，即可求解.
【詳解】（1）證明：因為底面底面，
所以.
因為底面是矩形，所以.
又，且平面，所以平面.
又因為平面，所以平面平面.
（2）以為原點，所在直線為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則.
所以.
設平面的法向量為，則
，則
取，得.
設平面的法向量為，則
，則
取，得.
設平面與平面的夾角為，則
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
17．(1)
(2)
(3)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得；
（2）根據(jù)全概率概率公式計算可得；
（3）依題意可得的可能取值為，，，，，求出所對應的概率，即可得到分布列與數(shù)學期望.
【詳解】（1）設“甲猜對一個燈謎”，“乙猜對一個燈謎”，則
因為甲?乙恰有一人猜對的事件為，
所以
，
所以，甲?乙恰有一人猜對的概率為.
（2）設“甲猜對兩道題”，“甲中獎”，
則
，
所以，甲同學抽中新春大禮包的概率.
（3）由（1）知，.
易知甲?乙猜對燈謎的個數(shù)之和的可能取值為，，，，.
則，
，
，
，
，
所以的分布列為
因此，的數(shù)學期望
18．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)虛軸長和點坐標聯(lián)立方程組可得，，可求得雙曲線的方程為；
（2）設出兩點坐標，寫出斜率表達式，聯(lián)立雙曲線方程化簡計算可得證明；
（3）設直線的方程為，求出直線與軸的交點分別為的坐標，聯(lián)立直線和雙曲線方程利用韋達定理化簡即可得出證明.
【詳解】（1）因為虛軸長，所以.
又因為點在雙曲線上，所以，
解得.
故雙曲線的方程為.
（2）證明：如下圖所示：
設，則
所以
因為在雙曲線上，所以，可得；
于是，
所以直線和直線的斜率之積為定值，定值是.
（3）證明：設，直線的方程為，如下圖所示：
聯(lián)立，消去整理可得①
則
所以②
③
直線的方程為，令，得點的橫坐標為；
同理可得點的橫坐標為；
所以
將①②③式代入上式，并化簡得到
所以的中點的橫坐標為，
故的中點是定點.
19．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）首先設，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉化為求函數(shù)的最值問題；
（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可證明；
（3）分和兩種情況討論，求出在附近的單調(diào)區(qū)間，即可求解.
【詳解】（1）設，則.
當時，：當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因此，，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
（3），則
，設，
由基本不等式知，，當且僅當時等號成立.
所以當時，，所以在上單調(diào)遞增.
又因為是奇函數(shù)，且，
所以當時，；當時，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因此，是的極小值點.
下面證明：當時，不是的極小值點.
當時，，
又因為是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增,
所以當時，.
因此，在上單調(diào)遞減.
又因為是奇函數(shù)，且，
所以當時，；當時，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因此，是的極大值點，不是的極小值點.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】關鍵點點睛：第三問是本題的難點，關鍵是分和兩種情況，利用導數(shù)判斷附近的單調(diào)性.
0
1
2
3
4

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