1.設(shè)集合A={1,3,5,6}，B={2,3,5,8}，則A∩B=( )
A. {1,2,3,5,6,8}B. {3,5}C. {1,3}D. {2,8}
2.若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2，則z=( )
A. 1+iB. 1?iC. 2+2iD. 2?2i
3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2+a8=14，a15=27，則S12=( )
A. 150B. 140C. 130D. 120
4.向量a=(6,2)在向量b=(2,?1)上的投影向量為( )
A. (2,?1)B. (1,?12)C. (4,?2)D. (3,1)
5.已知圓C：(x?1)2+(y?2)2=9，直線l：m(x+y+1)+y?x=0，m∈R，則下列說法正確的是( )
A. 直線l過定點(?1,?1)B. 直線l與圓C一定相交
C. 若直線l平分圓C的周長，則m=?4D. 直線l被圓C截得的最短弦的長度為 3
6.2023年8月至10月貴州榕江舉辦了“超級星期六”全國美食足球友誼賽.已知第一賽季的第一個周六(8月26日)共報名了貴州貴陽烤肉隊等3支省內(nèi)和遼寧東港草莓隊等3支省外美食足球代表隊.根據(jù)賽程安排，在8月26日舉行三場比賽，每支球隊都要參賽，且省內(nèi)代表隊不能安排在同一場，則比賽的安排方式有( )
A. 6種B. 9種C. 18種D. 36種
7.將函數(shù)f(x)=sinx的圖像先向右平移π3個單位長度，再把所得函數(shù)圖像上的每個點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼?ω(ω>0)倍，得到函數(shù)g(x)的圖像.若函數(shù)g(x)在(?π2,0)上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是( )
A. (0,16]B. (0,13]C. (0,12]D. (0,1]
8.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f′(x)+ex也是偶函數(shù)，若f(a)>f(2a?1)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. (?∞,1)B. (1,+∞)
C. (13,1)D. (?∞,13)∪(1,+∞)
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.設(shè)樣本數(shù)據(jù)1，3，5，6，9，11，m的平均數(shù)為x?，中位數(shù)為x0，方差為s2，則( )
A. 若x?=6，則m=7
B. 若m=2024，則x0=6
C. 若m=7，則s2=11
D. 若m=12，則樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為11
10.已知a>0，b>0，且a+b=2，則( )
A. 2a+2b?2 2B. 1a+1b?2
C. lg2a+lg2b?1D. a2+b2?2
11.在三棱錐P?ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AB=3，平面ABC內(nèi)動點D的軌跡是集合M={D||DA|=2|DB|}.已知C，Di∈M且Di在棱AB所在直線上，i=1，2，則( )
A. 動點D的軌跡是圓
B. 平面PCD1⊥平面PCD2
C. 三棱錐P?ABC體積的最大值為3
D. 三棱錐P?D1D2C外接球的半徑不是定值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知tanα=2，則1sin2α= ______．
13.已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，高為2 3.若圓臺內(nèi)有一個球，則該球體積的最大值為______.(球的厚度可忽略不計)
14.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，B為橢圓C的上頂點，直線BF1與橢圓C的另一個交點為A.若AF2?BF2=0，則橢圓C的離心率為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinC= 3ccsA．
(1)求角A；
(2)若a=2，求△ABC面積的最大值．
16.(本小題15分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=AD=2AB=2．
(1)證明：平面PCD⊥平面PAD；
(2)求平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值．
17.(本小題15分)
猜燈謎，是我國獨有的民俗文娛活動，是從古代就開始流傳的元宵節(jié)特色活動.每逢農(nóng)歷正月十五傳統(tǒng)民間都要把謎語寫在紙條上并貼在彩燈上供人猜.在一次猜燈謎活動中，若甲、乙兩名同學(xué)分別獨立競猜，甲同學(xué)猜對每個燈謎的概率為23，乙同學(xué)猜對每個燈謎的概率為12.假設(shè)甲、乙猜對每個燈謎都是等可能的，試求：
(1)甲、乙任選1個獨立競猜，求甲、乙恰有一人猜對的概率；
(2)活動規(guī)定：若某人任選2個進(jìn)行有獎競猜，都猜對則可以在A箱中參加抽取新春大禮包的活動，中獎概率是23；沒有都猜對則在B箱中參加抽取新春大禮包的活動，中獎概率是14，求甲同學(xué)抽中新春大禮包的概率；
(3)甲、乙各任選2個獨立競猜，設(shè)甲、乙猜對燈謎的個數(shù)之和為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
18.(本小題17分)
已知雙曲線C的方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，虛軸長為2，點A(?4,?1)在C上．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過原點O的直線與C交于S，T兩點，已知直線AS和直線AT的斜率存在，證明：直線AS和直線AT的斜率之積為定值；
(3)過點(0,1)的直線交雙曲線C于P，Q兩點，直線AP，AQ與x軸的交點分別為M，N，求證：MN的中點為定點．
19.(本小題17分)
英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：
ex=1+x+x22!+x33!+?+xnn!+?
其中n!=1×2×3×4×?×n，e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828?.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)f(x)=ex?e?x2,g(x)=ex+e?x2，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，解決如下問題．
(1)證明：ex?1+x；
(2)設(shè)x∈(0,+∞)，證明：f(x)x0?π6ω+2kπω≤?π25π6ω+2kπω≥0，(k∈Z)，
解得00，∴2a+2b≥2 2a?2b=2 2a+b=2 22=4，當(dāng)且僅當(dāng)2a=2b，即a=b=1時，等號成立，故A錯誤；
對于B，∵a>0，b>0，
∴1a+1b=12(a+b)(1a+1b)=12(2+ba+ab)≥12(2+2 ba?ab)=2，當(dāng)且僅當(dāng)ba=ab，即a=b=1時，等號成立，故B正確；
對于C，∵a>0，b>0，∴ab≤(a+b2)2=1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時，等號成立，
∴l(xiāng)g2a+lg2b=lg2ab≤lg21=0，故C錯誤；
對于D，∵a>0，b>0，∴ab≤(a+b2)2=1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時，等號成立，
∴a2+b2=(a+b)2?2ab=4?2ab≥4?2=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時，等號成立，故D正確．
故選：BD．
利用基本不等式可判斷ABD，利用對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式可判斷C．
本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
11.【答案】ABC
【解析】解：對于A，因為AB=3，所以在平面ABC內(nèi)，以AB所在直線為x軸，
以線段AB的中垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則A(?32,0),B(32,0),D(x,y)，由|DA|=2|DB|知，
(x+32)2+y2=2 (x?32)2+y2，化簡可得(x?52)2+y2=4，即點D的軌跡為圓，故A正確；
對于B，根據(jù)以上證明可知，點D1和D2是圓(x?52)2+y2=4與x軸的兩個交點，如上圖，
由條件可知，點C在圓上，
則∠D1CD2=90°，又PC⊥平面ABC，D1C，D2C?平面ABC，
所以PC⊥D1C，PC⊥D2C，
所以∠D1CD2是二面角D1?PC?D2的平面角，則平面PCD1⊥平面PCD2，故B正確；
對于C，當(dāng)點C到AB的距離為2時，此時△ABC的面積最大，此時最大面積是12×3×2=3，
則三棱錐P?ABC體積的最大值為13×3×3=3，故C正確；
對于D，由以上證明可知，∠D1CD2=90°，且D1D2=4，如圖，
取D1D2的中點M，作OM⊥平面CD1D2，且OM=32，
所以R=OC= CM2+OM2= 22+94=52，
所以三棱錐P?D1D2C外接球的半徑是定值52，故D錯誤．
故選：ABC．
首先在底面建坐標(biāo)系，利用軌跡法求得點D的軌跡，點C也在軌跡圓上，再根據(jù)幾何關(guān)系，以及體積公式，外接球的半徑問題，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解．
本題考查了錐體體積的有關(guān)計算，多面體與球體內(nèi)切外接問題，判斷面面是否垂直，立體幾何中的軌跡問題，屬于難題．
12.【答案】54
【解析】解：∵tanα=2，則1sin2α=cs2α+sin2α2sinαcsα=1+tan2α2tanα=1+44=54，
故答案為：54．
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式，化簡所給的式子，可得結(jié)果．
本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．
13.【答案】4 3π
【解析】解：畫出圓臺的軸截面，要使球的體積最大，則球需要與AD，CD，BC相切，設(shè)圓O的半徑為R，則OE=OF，
作OG⊥AB，BH⊥CD，
因為圓臺高為2 3，
所以BH=2 3，CH=CE?BG=3?1=2，
所以BC= BH2+CH2= 12+4=4，
又因為OE⊥CD，OF⊥BC，所以△OCE?△OCF，
所以CF=EC=3，
所以BF=BC?CF=1，
又OQ=2 3?R，
且OB2=BG2+OG2=OF2+BF2，
即(2 3?R)2+1=R2+12，
解得R= 3，
所以球體積的最大值為43π( 3)3=4 3π．
故答案為：4 3π．
根據(jù)題意，作出圓臺軸截面，分析可知，當(dāng)球與AD，CD，BC相切時，其體積最大，再結(jié)合條件求得球的半徑，即可得到結(jié)果．
本題考查了球的體積的最值計算，屬于中檔題．
14.【答案】 55
【解析】解：易得F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，B(0,b)，則F1B方程為y=bc(x+c)，
與橢圓聯(lián)立y=bc(x+c)x2a2+y2b2=1，得c2x2+a2(x+c)2=a2c2，
化簡得(a2+c2)x2+2a2cx=0，解得x=0或x=?2a2ca2+c2，故A(?2a2ca2+c2,?b3a2+c2)，
則kBF2=?bc，kAF2=b33a2c+c3，
∵AF2?BF2=0，∴AF2⊥BF2，∴kBF2?kAF2=?1，
即?bc?b33a2c+c3=?1，
∴b4?3a2c2?c4=0，即(a2?c2)2?3a2c2?c4=0，
化簡得a4?5a2c2=0，故c2a2=15，
∴e= 55．
故答案為： 55．
求得直線F1B方程為y=bc(x+c)，進(jìn)而求得點A的坐標(biāo)，利用AF2?BF2=0，可得?bc?b33a2c+c3=?1，求解可得橢圓C的離心率．
本題考查橢圓的性質(zhì)，考查率心率的求法，考查了邏輯推理和運算能力，屬中檔題．
15.【答案】解：(1)因為asinC= 3ccsA，
所以由正弦定理得sinAsinC= 3sinCcsA，
又C∈(0,π)，sinC≠0，
所以sinA= 3csA，
即tanA= 3，
又A∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)因為a=2，A=π3，
由余弦定理，得csA=b2+c2?a22bc=12，
所以b2+c2?4=bc，
由基本不等式知b2+c2?2bc，
于是bc=b2+c2?4?2bc?4?bc?4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時等號成立，
所以△ABC的面積S=12bcsinA= 34bc? 34×4= 3，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時，面積S取得最大值 3．
【解析】(1)利用正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知等式可得tanA= 3，結(jié)合A∈(0,π)，可求A的值；
(2)由余弦定理，基本不等式可求bc?4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時等號成立，進(jìn)而利用三角形的面積公式即可求解．
本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，基本不等式以及三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
16.【答案】(1)證明：因為PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，所以PA⊥CD．
因為底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD．
又PA∩AD=A，AD，PA?平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
又因為CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．
(2)解：以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,2,0)，P(0,0,2)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，
所以PC=(1,2,?2),BC=(0,2,0),CD=(?1,0,0)．
設(shè)平面PCD的一個法向量為m=(x2,y2,z2)，則
m?PC=0,m?CD=0?x1+2y1?2z1=0,?x1=0.，取y2=1，則x2=0，z2=1，
可得平面PCD的一個法向量為m=(0,1,1)．
設(shè)平面PBC的一個法向量為n=(x1,y1,z1)，則
n?PC=0,n?BC=0?x1+2y1?2z1=0,2y1=0.，取x1=2，則y1=0，z1=1，
可得平面PBC的一個法向量為n=(2,0,1)．
設(shè)平面PBC與平面PCD的夾角為θ，則
csθ=|cs|=|n?m||n||m|=1 5× 2= 1010，
所以平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值為 1010．
【解析】(1)由題意可得PA⊥CD，AD⊥CD，可證CD⊥平面PAD，進(jìn)而可證結(jié)論；
(2)以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PBC的一個法向量與平面PCD的一個法向量，利用向量的夾角公式可求得平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值．
本題考查面面垂直的證明，考查面面角的余弦值的求法，考查運算求解能力，屬中檔題．
17.【答案】解：設(shè)A=“甲猜對一個燈謎”，B=“乙猜對一個燈謎”，
則P(A)=23,P(B)=12，
(1)由題意可知，甲、乙恰有一人猜對的事件為AB?+A?B，
所以P(AB?+A?B)=P(AB?)+P(A?B)=P(A)P(B?)+P(A?)P(B)=23×12+13×12=12，
即甲、乙恰有一人猜對的概率為12；
(2)設(shè)C=“甲猜對兩道題”，D=“甲中獎”，
則P(D)=P(C)P(D|C)+P(C?)P(D|C?)=(23)2×23+[1?(23)2]×14=827+536=47108，
所以甲同學(xué)抽中新春大禮包的概率47108；
(3)由(1)知P(A)=23,P(B)=12，
由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，4，
P(X=0)=(13)2×(12)2=136，
P(X=1)=C21×23×13×(12)2+C21×12×12×(13)2=19+118=16，
P(X=2)=(23)2×(12)2+(13)2×(12)2+C21×23×13×C21×12×12=1336，
P(X=3)=C21×23×13×(12)2+C21×12×12×(23)2=13，
P(x=4)=(23)2×(12)2=19．
所以X的分布列為：
所以E(X)=0×136+1×16+2×1336+3×13+4×19=8436=73．
【解析】(1)設(shè)A=“甲猜對一個燈謎”，B=“乙猜對一個燈謎”，則P(A)=23,P(B)=12，再利用獨立事件的概率乘法公式求解；
(2)利用條件概率公式求解；
(3)易知甲、乙猜對燈謎的個數(shù)之和X的可能取值為0，1，2，3，4，再利用獨立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，得到X的分布列，進(jìn)而求出E(X)的值．
本題主要考查了獨立事件的概率乘法公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題．
18.【答案】解：(1)∵虛軸長2b=2，∴b=1．
又∵點A(?4,?1)在雙曲線上，
∴16a2?1b2=1，解得a=2 2，
故雙曲線C的方程為x28?y2=1．
(2)證明：設(shè)S(x0,y0)，則T(?x0,?y0)，
∴kAS?kAT=y0+1x0+4??y0+1?x0+4=1?y0216?x02，
∵S(x0,y0)在雙曲線C上，∴x028?y02=1?1?y02=2?x028，
于是kAS?kAT=1?y0216?x02=2?x02816?x02=18，
∴直線AS和直線AT的斜率之積為定值，定值是18．
(3)證明：設(shè)直線PQ的方程為y=kx+1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
聯(lián)立y=kx+1,x2?8y2=8?(1?8k2)x2?16kx?16=0，
則Δ=(?16k)2?4(1?8k2)×(?16)=64?256k2>0，
x1x2=?161?8k2，x1+x2=16k1?8k2①，
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1②，
y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k(x1+x2)+2=21?8k2③，
直線AP的方程為y=y1+1x1+4(x+4)?1，令y=0，得點M的橫坐標(biāo)為xM=x1+4y1+1?4，
同理可得點N的橫坐標(biāo)為xN=x2+4y2+1?4，
∴xM+xN=x1+4y1+1+x2+4y2+1?8
=x1y2+x2y1+x1+x2+4(y1+y2)+8(y1+1)(y2+1)?8
=x1(kx2+1)+x2(kx1+1)+x1+x2+4(y1+y2)+8y1y2+y1+y2+1?8
=2kx1x2+2(x1+x2)+4(y1+y2)+8y1y2+y1+y2+1?8．
將①②③式代入上式，并化簡得到xM+xN=8+8(1?8k2)2+2(1?8k2)?8=?4，
∴MN的中點的橫坐標(biāo)為x=xM+xN2=?2，
故MN的中點是定點(?2,0)．
【解析】(1)根據(jù)已知可得a，b的值，從而可得雙曲線的方程；
(2)設(shè)S(x0,y0)，則T(?x0,?y0)，利用兩點的斜率公式計算kAS?kAT，由點S在雙曲線上可得kAS?kAT為定值；
(3)設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直線PQ的方程為y=kx+1，與雙曲線方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，求出直線AP的方程，令y=0，可得點M的橫坐標(biāo)，同理可得點N的橫坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡xM+xN為定值，即可得證．
本題主要考查雙曲線的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與雙曲線的綜合，考查運算求解能力，屬于難題．
19.【答案】證明：(1)設(shè)h(x)=ex?x?1，則h′(x)=ex?1>0?x>0，
所以h(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增．
因此h(x)?h(0)=0，即ex?1+x．
證明：(2)ex=1+x+x22!+x33!+x44!+x55!+?+xnn!+?，①
于是e?x=1?x+x22!?x33!+x44!?x55!+?+(?1)nxnn!+?，②
由①②得，
f(x)=ex?e?x2=x+x33!+x55!+?+x2n?1(2n?1)!+?，
g(x)=ex+e?x2=1+x22!+x44!+?+x2n?2(2n?2)!+?，
所以f(x)x=1+x23!+x45!+?+x2n?2(2n?1)!+?
0；當(dāng)x0時，F(xiàn)?(x)=ex?e?x2>0，
F″(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，
F″(lna)=elna+e?lna2?a=12(a+1a)?a=12(1a?a)

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這是一份2023-2024學(xué)年貴州省安順市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析），共19頁。

2022-2023學(xué)年貴州省安順市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含詳細(xì)答案解析）：

這是一份2022-2023學(xué)年貴州省安順市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含詳細(xì)答案解析），共14頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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