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相似三角形的判定及性質(zhì)
考點(diǎn) 1 比例的相關(guān)概念及性質(zhì)
考點(diǎn) 2 平行線分線段成比例
考點(diǎn) 3 相似三角形的判定及性質(zhì)
1.定義:三個(gè)角分別相等,三條邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形,相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.2.性質(zhì)(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角⑤_________;?(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)⑥_________；?(3)相似三角形的周長(zhǎng)比等于⑦_(dá)________,面積比等于⑧__________.?
3.判定(1)⑨_________對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似;?(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且⑩ _______相等,兩三角形相似;?(3)三邊 ______________的兩三角形相似;?(4)兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,兩直角三角形相似.
考點(diǎn) 4 相似多邊形
1.定義:兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形,如果它們的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形,相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.2.性質(zhì)(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊 _____________;?(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)角_____________;?(3)相似多邊形的周長(zhǎng)比 __________________,相似多邊形的面積比等于_________________.?
1.定義:兩個(gè)圖形,它們不僅相似,而且經(jīng)過(guò)每對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的直線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行(或在同一條直線上).我們把這樣的兩個(gè)圖形稱為位似圖形.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)稱為位似中心.這時(shí)的相似比又稱位似比.2.性質(zhì):(1)兩個(gè)圖形是相似圖形;(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)同一點(diǎn),這一點(diǎn)為位似中心;(3)對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一條直線上;
(4)在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為中心,位似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于k或者-k;(5)位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于 _______.?3.畫位似圖形的步驟(1)確定位似中心;(2)確定原圖形中各頂點(diǎn)關(guān)于位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn);(3)按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn).
【易錯(cuò)提示】?jī)蓚€(gè)位似圖形的位似中心可能在圖形內(nèi)部,也可在圖形 外部、邊上或頂點(diǎn)上.?
1.已知圖(1)(2)中各有兩個(gè)三角形,其邊長(zhǎng)和角的度數(shù)已在圖上標(biāo)注,圖(2)中AB,CD交于O點(diǎn),對(duì)于各圖中的兩個(gè)三角形而言,下列說(shuō)法正確的是(　　)A.只有(1)相似　　B.只有(2)相似 C.都相似 D.都不相似
題型 1 相似三角形的判定與性質(zhì)
3.如圖,在Rt△ABC的直角邊AC上有一任意點(diǎn)P(不與點(diǎn)A,C重合),過(guò)點(diǎn)P作一條直線,將△ABC分成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形,則所得到的三角形與原三角形相似的直線最多有________條.?
4.某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在探究相似多邊形的問(wèn)題時(shí),他們提出了下面兩個(gè)觀點(diǎn):觀點(diǎn)一:將外面大三角形按圖(1)的方式向內(nèi)縮小,得到新三角形,它們對(duì)應(yīng)的邊間距都為1,則新三角形與原三角形相似.觀點(diǎn)二:將鄰邊為6和10的矩形按圖(2)的方式向內(nèi)縮小,得到新的矩形,它們對(duì)應(yīng)的邊間距都為1,則新矩形與原矩形相似.
請(qǐng)回答下列問(wèn)題:(1)你認(rèn)為上述兩個(gè)觀點(diǎn)是否正確?請(qǐng)說(shuō)明理由; (1)根據(jù)相似三角形的判定定理以及相似多邊形的定義來(lái)判定觀點(diǎn)一、二是否正確;
解:觀點(diǎn)一正確;觀點(diǎn)二不正確.理由:①如圖(1),連接DA并延長(zhǎng),交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O,∵△ABC和△DEF對(duì)應(yīng)的邊的距離都為1,∴AB∥DE,AC∥DF,∴∠FDO=∠CAO,∠ODE=∠OAB.
(2)如圖(3),已知△ABC,AC=6,BC=8,AB=10,將△ABC按圖(3)的方式向外擴(kuò)張,得到△DEF,它們對(duì)應(yīng)的邊間距都為1,求△DEF的面積.
解：如圖(3),延長(zhǎng)DA,EB交于點(diǎn)O,∵A到DE,DF的距離都為1,∴DA是∠FDE的平分線,同理,EB是∠DEF的平分線,∴點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心,
(2)首先根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠C是直角,求出△ACB的內(nèi)切圓半徑,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出△DEF的面積.
若(1)平行四邊形、(2)菱形、(3)正方形、(4)正五邊形都向外擴(kuò)張,得到新的圖形,它們對(duì)應(yīng)的邊間距都為1,則新圖形與原圖形相似的是________.?
1.(2022·武安模擬)如圖,△ABC與△DEF是位似圖形,點(diǎn)O為位似中心,已知BO：OE=2：1,則△ABC與△DEF的面積比是(　　)A.2：1 B.3：1 C.4：1 D.5：1
2.(2022·邯鄲模擬)如圖,在正方形網(wǎng)格中,△ABC和△DEF相似,則關(guān)于位似中心與相似比敘述正確的是(　　)A.位似中心是點(diǎn)B,相似比是2：1B.位似中心在點(diǎn)G,H之間,相似比為2：1C.位似中心在點(diǎn)G,H之間,相似比為1：2D.位似中心是點(diǎn)D,相似比是2：1
3.(2022·河北模擬)如圖,以點(diǎn)O為位似中心,把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'B'C',以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)A.△ABC∽ A'B'C'B.點(diǎn)C,O,C'在同一直線上C.AO：AA'=1：2D.AB∥A'B'
4.如圖,△ABC與△A ' B ' C '關(guān)于點(diǎn)C(-1,0)位似,且相似比為1：3,已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為a,則點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)為(　　)A.3a-1 B.-3a-1 C.-3a+4 D.-3a-4 由B,C 的坐標(biāo)分析出這兩點(diǎn)間的水平距離,利用相似比推出B',C 兩點(diǎn)的水平距離,結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)確定出B'的橫坐標(biāo).

如圖,△ABC,點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)B 的橫坐標(biāo)為m,若△A'B'C'與△ABC關(guān)于點(diǎn)A位似,且相似比為2：1,符合條件的三角形有_______個(gè),點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)為_________________.?
此題考查位似變換,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),根據(jù)相似比定義,利用對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心的水平距離之比等于相似比列出方程是解題的關(guān)鍵.
5.如圖,方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上.(1)判斷△ABC和△DEF是否相似,并說(shuō)明理由;
(2)以點(diǎn)E為位似中心,在位似中心的同側(cè)畫出△EDF的一個(gè)位似△ED1F1,使得它與△EDF的相似比為2：1;
解：延長(zhǎng)ED到點(diǎn)D1,ED1=2ED,延長(zhǎng)EF到點(diǎn)F1,使EF1=2EF,連接D1F1,則△ED1F1為所求,如圖.
(3)求△ABC與△ED1F1的面積比.
（2013~2022）
1.(2021·河北8題3分)圖1是裝了液體的高腳杯示意圖(數(shù)據(jù)如圖),用去一部分液體后如圖2所示,此時(shí)液面AB=(　　)A.1 cm　　 B.2 cm　　 C.3 cm　 　D.4 cm
2.(2017·河北7題3分)若△ABC 的每條邊長(zhǎng)增加各自的10%得△A'B'C',則∠B'的度數(shù)與其對(duì)應(yīng)角∠B 的度數(shù)相比(　　)A.增加了10% B.減少了10%C.增加了(1+10%) D.沒有改變
3.(2016·河北15題2分)如圖,△ABC 中,∠A=78°,AB=4,AC=6.將△ABC 沿圖示中的虛線剪開,剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是(　　)
提分要點(diǎn)判斷三角形相似:(1)已知一組角相等時(shí),可考慮另一組角是否相等,或分析夾它的兩組邊是否成比例;(2)已知兩組邊成比例時(shí),可考慮其夾角是否相等.
4.(2014·河北13題3分)在研究相似問(wèn)題時(shí),甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下:
甲:將邊長(zhǎng)為3,4,5的三角形按圖1的方式向外擴(kuò)張,得到新三角形,它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1,則新三角形與原三角形相似.
對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）A.兩人都對(duì) B.兩人都不對(duì) C.甲對(duì),乙不對(duì) D.甲不對(duì),乙對(duì)
乙:將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴(kuò)張,得到新的矩形,它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1,則新矩形與原矩形不相似.
5.(2022·河北18題3分)如圖是釘板示意圖,每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)的小正方形頂點(diǎn),釘點(diǎn)A,B 的連線與釘點(diǎn)C,D的連線交于點(diǎn)E,則(1)AB 與CD是否垂直?__________(填“是”或“否”);?(2)AE =___________.?

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