考點(diǎn)一　比例線段1.比例線段的定義在四條線段a,b,c,d中,如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比,即 (或a∶b=c∶d),那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段,簡稱比例線段.
3.黃金分割把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng),叫做把線段AB黃金分割,C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn).
考點(diǎn)二　平行線分線段成比例定理及推論1.三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例.2.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,截得的對應(yīng)線段成比例.
考點(diǎn)三　相似多邊形1.定義各角分別相等,各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比,相似比為1的兩個多邊形全等.2.性質(zhì)(1)相似多邊形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比相等;(2)相似多邊形周長的比等于相似比;(3)相似多邊形面積的比等于相似比的平方.
考點(diǎn)四　相似三角形1.定義三角分別相等,三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.2.判定(1)平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;(2)兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似;(3)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似;(4)三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似;(5)斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,兩直角三角形相似.
3.性質(zhì)(1)相似三角形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比相等;(2)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比;(3)相似三角形周長的比等于相似比;(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方.
4.相似三角形的應(yīng)用相似三角形的知識在實(shí)際生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用.這一應(yīng)用是建立在數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,通過求解數(shù)學(xué)問題達(dá)到解決實(shí)際問題的目的.(1)相似三角形的應(yīng)用主要有如下兩個方面:①利用相似三角形的性質(zhì)測量不能直接到達(dá)的河的寬度;②利用相似三角形的性質(zhì)計算不能直接測量的物體的高度.(2)解相似三角形實(shí)際問題的一般步驟:①審題;②構(gòu)建圖形;③利用相似解決問題.
方法指導(dǎo):1.與三角形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題解題步驟:(1)審題:通讀題干(結(jié)合圖形),第一時間鎖定采用的知識點(diǎn),如:通過題圖觀察是否含有已知角度數(shù),如果含有,考慮利用銳角三角函數(shù)解題;如果僅涉及三角形的邊長,則采用相似三角形的性質(zhì)解題.(2)篩選信息:由于實(shí)際問題文字閱讀量較大,因此篩選有效信息尤為關(guān)鍵.例如題干中的關(guān)鍵詞:視角→與相似三角形有關(guān)的等量角;距離→與三角形有關(guān)的邊長等,都是獲取與要求三角形有關(guān)的幾何量.
(3)構(gòu)造圖形:只要是與三角形有關(guān)的實(shí)際問題都會涉及圖形的構(gòu)造,若題干中給出了相應(yīng)的圖形,則可直接利用所給圖形進(jìn)行計算,必要時還需添加輔助線;若未給出圖形,則需要通過(2)中獲取的信息構(gòu)造幾何圖形進(jìn)行解題.(4)列關(guān)系式:當(dāng)出現(xiàn)相似三角形的實(shí)際應(yīng)用題時,通常采用的方法是列出比例式構(gòu)造方程求解;若出現(xiàn)銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題時,則利用直角三角形中銳角三角函數(shù)的表達(dá)式求解即可.
(5)檢驗(yàn):解題完畢后,可能會存在一些較為特殊的數(shù)據(jù),例如含有復(fù)雜的小數(shù)等.因此,要特別注意所求數(shù)據(jù)是否符合實(shí)際意義,同時還要注意題干中有無要求保留整數(shù)的條件.
2.在實(shí)際測量高度、寬度、距離等問題中,常結(jié)合視角知識構(gòu)造直角三角形,利用三角函數(shù)來解決問題,常見的構(gòu)造的基本圖形有如下幾種:(1)構(gòu)造一個直角三角形:
(2)構(gòu)造兩個直角三角形:①不同地點(diǎn)測量
考點(diǎn)五　位似變換與位似圖形1.定義取定一點(diǎn)O,把圖形上任意一點(diǎn)P對應(yīng)到射線OP(或它的反向延長線)上一點(diǎn)P',使得線段OP'與OP的比等于常數(shù)k(k>0),點(diǎn)O對應(yīng)到它自身,這種變換叫做位似變換,點(diǎn)O叫做位似中心,常數(shù)k叫做位似比,一個圖形經(jīng)過位似變換得到的圖形叫做與原圖形位似的圖形.注意:位似圖形是一種特殊的相似圖形,而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.
2.性質(zhì)兩個位似的圖形上每一對對應(yīng)點(diǎn)都與位似中心在一條直線上,并且新圖形與原圖形上對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.3.畫位似圖形的步驟(1)確定位似中心;(2)連接圖形各頂點(diǎn)與位似中心的線段(或延長線);(3)按位似比進(jìn)行取點(diǎn);(4)順次連接各點(diǎn),所得的圖形就是所求圖形.
答案:D2.如圖,若兩個四邊形相似,則∠α的度數(shù)是(　　)A.87°B.60°C.75°D.120°答案:A
3. 如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),DE與AC交于點(diǎn)F,若AB=6,∠B=60°,則AF的長為(　　)
A.3B.3.5 C.3 D.4
4.如圖,已知圖中的每個小方格都是邊長為1的小正方形,每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),若△ABC與△A1B1C1是位似圖形,且頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則位似中心的坐標(biāo)是　　　　　.?
5. 如圖,AB⊥BC于點(diǎn)B,CE⊥BC于點(diǎn)C,測得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,則河寬AB為　　　　　m.?
【例1】 如圖,在長為8 cm、寬為4 cm的矩形中,截去一個矩形,使得留下的矩形(圖中陰影部分)與原矩形相似,則留下矩形的面積是(　　) A.2 cm2B.4 cm2 C.8 cm2D.16 cm2
【例2】 如圖,在△ABC和△ADE中,∠ABC=∠ADE,∠BAD=∠CAE.(1)寫出圖中兩對相似三角形(不得添加字母和線);(2)請分別說明兩對三角形相似的理由.
解:(1)△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE.(2)①△ABC∽△ADE.理由:∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.又∠ABC=∠ADE,∴△ABC∽△ADE.
②△ABD∽△ACE.理由:∵△ABC∽△ADE,
又∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE.
變式訓(xùn)練如圖,△ABC是等邊三角形,CE是外角平分線,點(diǎn)D在AC上,連接BD并延長與CE交于點(diǎn)E.(1)求證:△ABD∽△CED;(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的長.
(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,∠ACF=120°.∵CE是外角平分線,∴∠ACE=60°,∴∠BAC=∠ACE.又∠ADB=∠CDE,∴△ABD∽△CED.
(2)解:作BM⊥AC于點(diǎn)M(如圖).∵AC=AB=6,
【例3】 如圖,△ABC與△A'B'C'是位似圖形,點(diǎn)O是位似中心,若OA=2AA',S△ABC=8,則S△A'B'C'=　　　　　.?
解析:位似圖形一定是相似圖形,并且對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.∵OA=2AA',
【例4】 問題背景:在某次活動課中,甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組于同一時刻在陽光下對校園中的一些物體進(jìn)行了測量,下面是他們通過測量得到的一些信息:甲組:如圖①,一根長為80 cm的竹竿直立于平地,測得其影長為60 cm.乙組:如圖②,測得學(xué)校旗桿的影長為900 cm.丙組:如圖③,測得校園景燈(燈罩視為球體,燈桿為圓柱體,其粗細(xì)忽略不計)的高度為200 cm,影長為156 cm.
任務(wù)要求:(1)請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度.(2)如圖③,設(shè)太陽光線NH與☉O相切于點(diǎn)M.請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息,求景燈燈罩的半徑.(提示:如圖③,景燈的影長等于線段NG的影長;需要時可采用等式1562+2082=2602)
(2)連接OM(圖略),設(shè)☉O的半徑為r cm.
∴GN=208 cm.在Rt△NGH中,根據(jù)勾股定理得NH2=1562+2082=2602,∴NH=260 cm.∵NH切☉O于M,∴OM⊥NH.∴∠OMN=∠HGN=90°.又∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN.
解得r=12.∴景燈燈罩的半徑是12 cm.

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