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一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為b2-4ac
一元二次方程根與系數(shù)的關系
一元二次方程定義及一般形式
一元二次方程的四種解法
一元二次方程的應用題目類型
1.一元二次方程定義及一般形式
考點 1 一元二次方程及其解法
2.一元二次方程的四種解法
(x±m(xù))2=n(n≥0)
【易錯提示】對于方程兩邊含有相同因式的一元二次方程,應將方程化為一般式求解,不能直接約去公因式,從而丟根.例如,一元二次方程x(x-3)=x,不能兩邊同時約去x,否則會造成漏解.?
考點 2 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系
考點 3 一元二次方程的應用
題型 2 一元二次方程根的判別式
題型 3 一元二次方程的應用
題型 1 一元二次方程的解法
2.(2022·石家莊長安區(qū)一模)用配方法解方程x2-4x+2=0,下列配方正確的是(　　) A.(x-2)2=6 B.(x+2)2=2 C.(x-2)2=-2 D.(x-2)2=2 3.(原創(chuàng)題)已知實數(shù)x滿足(x2-3x)2-2(x2-3x)-15=0,則代數(shù)式2x2-6x+1的值是(　　) A.11 B.-9 C.11或-9 D.-7或9
4.(原創(chuàng)題)解下列方程.(1)2x2-9x+9=0;　　 (2)3x2+14x-5=0.
1.(2022·石家莊模擬)若m+n+2=0,則關于x的一元二次方程x2-mx+n-1=0的根的情況為(　　)A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.無法確定
2.m☆n=mn2-mn-1.例如:4☆2=4×22-4×2-1=7,則方程1☆x=0的根的情況為(　　)A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根D.只有一個實數(shù)根
(1)當方程是一元二次方程時,二次項系數(shù)k≠0,利用根的判別式Δ≥0,得到關于k的不等式,進而解出k的取值范圍.(2)若k=0,方程為一元一次方程,一定有實數(shù)根.
滿分指導(1)判斷根的情況時必須先將方程化為一般形式;(2)利用根的判別式可以判斷一元二次方程根的情況,也可以由方程根的情況確定方程中字母系數(shù)的取值情況.
1.(原創(chuàng)題)某污水處理廠為響應環(huán)保政策,改進設備提高污水處理能力.一月份處理污水2 000萬噸,其中月平均增長率相同,第一季度共處理污水7 800萬噸.若設月平均增長率是x,那么可列出的方程是(　　)A.2 000(1+x)2=7 800B.2 000+2 000(1+x)+2 000(1+x)2=7 800C.2 000(1+2x)=7 800D.2 000+2 000(1+x)+2 000(1+2x)=7 800
2. 核心素養(yǎng)·模擬觀念 (原創(chuàng)題)如圖,某小區(qū)有一塊長為18米、寬為6米的矩形空地,計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地,它們的面積之和為60平方米,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道.若設人行道的寬度為x米,則可以列出關于x的方程是　　　　　　　　.?
(18-3x)(6-2x)=60
3.(原創(chuàng)題)如圖,學校要用長24米的籬笆圍成一個長方形生物園ABCD,EF是ABCD內(nèi)用籬笆做成的豎直隔斷.為了節(jié)約材料,場地的一邊CD借助原有的一面墻,墻長為12米,長方形生物園ABCD的面積為45平方米,求長方形場地的一邊AD的長.?
解:設AD長為x米,則AB長為(24-3x)米,根據(jù)題意得x(24-3x)=45.化簡得x2-8x+15=0.解得x1=3,x2=5.當x=3時,24-3x=15>12(不符合題意,舍去);當x=5時,24-3x=9.答:長方形場地ABCD的一邊AD的長為5米.
4.某花圃用花盆培育某種花苗,經(jīng)過實驗發(fā)現(xiàn)每盆的盈利與每盆的株數(shù)構(gòu)成一定的關系.每盆植入3株時,平均單株盈利3元;以同樣的栽培條件,若每盆增加1株,平均單株盈利就減少0.5元.要使每盆的盈利達到10元,每盆應該植多少株?

每盆的盈利能不能達到11元?能達到,求出每盆多少株;假如不能,說出原因.
解:設每盆花苗增加x株,則每盆花苗有(x+3)株,平均單株盈利為(3-0.5x)元.由題意得(x+3)(3-0.5x)=10.化簡,整理,得x2-3x+2=0.解這個方程,得x1=1,x2=2,則3+1=4,3+2=5.答:每盆應該植4株或者5株.
滿分指導一元二次方程的根通常有兩個,在解決實際問題時,有時要根據(jù)具體情況進行取舍,通常舍掉負值的那個根.
解:設每盆的盈利能達到11元,則(x+3)(3-0.5x)=11.化簡,得x2-3x+4=0.Δ=(-3)2-4×1×4=-7a2+c2,則關于x的方程ax2+bx+c=0根的情況是(　　)A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根D.有一根為0
提分要點1.首先化簡已知不等式,得到關于a,b,c的不等式.2.將化簡不等式的結(jié)果,代入判別式中,求出該方程根的數(shù)量.3.要注意,一元二次方程二次項系數(shù)不為0.

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