教學基本信息
課題
萬有引力與宇宙航行復習
學科
物理
學段： 高一第三學段
年級
高一
教材
書名： 普通高中教科書《物理》必修第二冊
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 7 月
教學目標及教學重點、難點
【教學目標】
整體回顧萬有引力定律形成過程
落實自轉情境中的重力、公轉情境中的向心力
落實牛頓第二定律在本章的綜合應用
【難點】1.重力的概念及相關拓展
2.雙星問題
3.衛(wèi)星變軌問題
【重點】自轉情境、公轉情境的基本規(guī)律
教學過程(表格描述)
教學環(huán)節(jié)
主要教學活動
設置意圖
環(huán)節(jié)一 回顧科學歷程
環(huán)節(jié)二：兩個情境
環(huán)節(jié)三：拓展學習
環(huán)節(jié)四：總結
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同學們，大家好，我是北京市第十四中學的李老師。本節(jié)課，我們來復習必修二第七章，萬有引力與宇宙航行。
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伴隨著生產力的發(fā)展，人類對自然的探索，從腳下的地球，轉向神秘的天空。回顧引力定律的形成歷史，可謂群星璀璨：
托勒密的地心說，哥白尼的日心說，第谷的天才觀測，開普勒為天空立法，笛卡爾的數(shù)學演繹，伽利略的運動基本概念，惠更斯的向心力公式，胡克的引力與距離平方成反比，在不斷發(fā)展的理論呼喚下，牛頓，發(fā)出時代最強音，用萬有引力定律揭秘宇宙、統(tǒng)一天地萬物。哈雷彗星的按時回歸，卡文迪什測出引力常數(shù)，都為萬有引力定律提供了直接證據(jù)。
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首先，我們對這段科學歷程進行整體回顧。
1665年倫敦發(fā)生鼠疫，學校停課，23歲的大學生牛頓有了更多的思考，發(fā)展了前人對行星運動的研究成果，結合牛頓運動定律，通過演繹推理，得出太陽和行星之間的引力公式。通過月地檢驗，逐步將引力公式推廣為萬有引力定律。
卡文迪什測定引力常數(shù)，給定律提供了最直接的證據(jù)，也賦予定律實用價值。
定律在天文學上的成就：稱量地球質量、計算中心天體質量、牛頓的小迷弟哈雷，利用定律準確預測了彗星的回歸周期、先計算后觀察發(fā)現(xiàn)了海王星，它因此被稱為筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星。在定律的指引下，科學家提出宇宙速度的概念，人類開始探秘宇宙，發(fā)射人造衛(wèi)星、在人航天器。下面我們來回顧幾個重要環(huán)節(jié)：
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1．繼承、發(fā)展
牛頓曾說過，如果說我所看的比笛卡爾更遠一點,那是因為站在巨人肩上的緣故
牛頓的成就可以說是集前人之大成，他在伽利略、開普勒、惠更斯、胡克等人的工作基礎上，將表面看來“互不聯(lián)系”的力學知識，用數(shù)學演繹把它們統(tǒng)一起來，揭示了天地萬物之間的引力定律，最終建立了牛頓力學。
下面我們回顧一下開普勒三定律！
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望遠鏡問世之前最優(yōu)秀的觀測家第谷，他畢生追求實測數(shù)據(jù)的精密性，堅持肉眼觀測行星運動20年。第谷去世后，在他的觀測資料基礎上，開普勒用自己的數(shù)學天賦，又研究了20年，提煉出描述行星運動的三定律
第一定律：行星軌道不是完美的圓而是橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。軌道橢圓非常接近圓，中學階段一般按行星繞太陽做勻速圓周運動處理。第二定律：行星與太陽的連線，在相等時間內掃過的面積相等。即行星離太陽越遠，速度越小。第三定律：所有行星的軌道半長軸的三次方跟它公轉周期的二次方的比都相等，即a的3次方比T的平方等于k。
開普勒回答了行星怎樣運動，被稱為天空立法者，牛頓，則回答了行星為什么這樣運動。
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2．推理論證：牛頓演繹推理太陽和行星間的引力
太陽對行星的引力提供行星的向心力，F(xiàn)等于mr乘括號2π比T的平方開普勒第三定律r的三次方比T的的平方等于k，聯(lián)立方程約去T得到F等于4π的平方k乘m比r的平方，即F與行星的質量成正比，與行星到太陽距離的平方成反比
太陽和行星互相吸引，地位相當，所以行星對太陽的引力與太陽的質量成正比，與行星到太陽的距離的平方成反比
根據(jù)牛頓第三定律，F(xiàn)=F′，綜合可得，太陽和行星間的引力與太陽和行星的質量乘積成正比，與行星到太陽的距離的平方成反比。寫成等式就是F等于G大Mm比r的平方。
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2．推理論證：深入思考后，牛頓還進行了著名的月地檢驗！
假設地球對月球的引力等于月球的向心力；則a月等于GM地比r的平方假設地球對蘋果的引力等于蘋果的重力，則g等于GM地比R的平方；4式比2式得g比a月等于r的平方比大R的平方！這樣化簡后，只要驗證5式成立，則假設的1式、3式成立！牛頓的時代已經(jīng)比較精確的測定重力加速度、地球半徑、月地距離、月球公轉的周期，帶入后計算結果符合預期。同學們，課后 大家一定要拿起筆和計算器，親自體驗這一偉大的驗證！
月地檢驗的成功，表明建立在行星運動基礎上的引力公式，適用于月球和地球、地球和樹上的蘋果！牛頓進一步提出：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量的乘積成正比、與它們之間距離的平方成反比，即F等于Gm1m2比r的平方。
牛頓沒能測得引力常數(shù)，不能算出引力大小，一百多年后，卡文迪什用扭秤裝置測出引力常數(shù)G等于六點六七乘十的負十一次方牛頓米的平方每千克的平方，G是如此之小，注定萬有引力具有宏觀性，通常情況下，萬有引力非常小，只有在巨大的天體間，或天體與物體間，它的存在才有實際意義。
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二、兩個基本情境
無論是牛頓的月地檢驗，還是后續(xù)探秘宇宙，都涉及到兩個基本情境：1物體隨地球自轉；2物體繞中心天體公轉，包括行星繞恒星，衛(wèi)星或航天器繞行星；下面來具體分析
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（一）自轉 1.地面參考系-重力
如圖，物體靜止在光滑水平地面，此時物體受重力和水平地面對物體的支持力。根據(jù)二力平衡，在地表測得的重力G等于N
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2．地心參考系-向心力
在地面參考系靜止的物體，以地心為參考系，物體隨地球自轉做勻速圓周運動。這時物體受到支持力和引力（注意不是重力是引力）
根據(jù)牛頓第二定律，引力和支持力的合力等于向心力，指向地軸。軌道半徑等于物體到地軸的距離，越靠近兩極，軌道半徑越小，向心力也越小。在兩極r等于0，向心力等于0；在赤道，r等于大R，向心力最大，等于mω的平方乘R。
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3．兩極處的重力：
在地心參考系，物體做勻速圓周運動，支持力和引力的合力等于向心力，兩極自轉半徑等于0，支持力等于引力。
在地面參考系，物體靜止，測出的重力G等于N，綜上可得，兩極處的重力等于引力，方向指向地心。
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4．赤道處的重力
在地心參考系物體受力如圖，引力減支持力等于向心力。赤道處自轉半徑最大，則N等于引力減最大向心力。
在地面參考系，重力等于支持力，赤道處重力等于引力減最大向心力。接下來，我們算算最大向心力有多大
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以1千克的物體為例：將地球半徑和自轉周期帶入，物體隨地球自轉的向心力，最大約為0.034牛，帶入引力常數(shù)、地球質量、地球半徑，物體受到的引力約為9.8牛。赤道處，向心力最大約占引力的千分之三點四。
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向心力相對于引力可忽略，赤道處，重力非常接近引力，方向指向地心。
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5．一般位置的重力
在地心參考系，引力與支持力合成向心力，如圖做出平行四邊形，引力指向地心，向心力指向地軸，支持力與引力不在一條直線上。
在地面參考系，重力與支持力等大反向，做出重力如圖。一般位置隨地球自轉的向心力小于引力的千分之三點四。向心力可忽略，重力非常接近于引力。
重力方向叫豎直向下，一般并不指向地心。我們在地面測出來的重力，是地球對物體的引力在地表引發(fā)的可感知、可測量的效果力！
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6．地表的重力加速度，根據(jù)重力的大小，可得重力加速度的大小。
地球是個鴨蛋形，赤道半徑比兩極半徑略大,同一物體在赤道上受到的引力最小，但需要的向心力最大，可見，赤道處的重力加速度g最小，兩極g最大，越靠近兩極g越大。山頂離地心的距離比山腳略遠，所以山頂?shù)闹亓铀俣纫脖壬侥_略小。
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從實測數(shù)據(jù)看，重力加速度，在赤道最小，等于9點七八零，在北極最大，等于九點八三二，g隨緯度升高而增大，但差別非常小。
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7．重力的應用，如圖，重力方向豎直向下，一般略微偏離地心，但最多不超過0.1°，水平面與豎直面垂直，一般也略微偏離地球的切面，這就是說，建筑物的地基必須定位在水平面上，如果定位在地球的切面上，實際上是建在斜坡上，影響安全。
物體實際受到的引力，引發(fā)了效果力-重力，地球自轉太慢，可以忽略自轉影響，重力等于地球對物體的引力。在月地檢驗中，地表的重力加速度g等于GM比R的平方稱量地球的質量M等于gR的平方比大G，都是由此得來的。
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8．假如地球轉動變快：
如果地球的轉動變快，根據(jù)方程1，兩極重力不受影響，根據(jù)方程2，赤道處向心力增加，重力減小，除兩極外，其它地區(qū)的重力也會不同程度的變小。
如果地球的轉動很快，赤道處的物體受到的支持力等于0：物體對赤道表面壓力為零，物體處于完全失重狀態(tài)，引力等于向心力，物體的受力和運動情況都與近地衛(wèi)星相同。此時順著自轉方向輕輕一推，物體就會一去不回，所以地球已經(jīng)達到了因自轉而瓦解的臨界狀態(tài)
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（二）公轉
以人造地球衛(wèi)星為例：衛(wèi)星受地球引力；衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律，引力等于向心力。
將向心力展開等于ma、mv的平方比r、mω的平方乘r、mr乘括號2π比T的平方，可以推出一般衛(wèi)星的加速度、線速度、角速度、周期。
天文學上用比較容易測量的周期，來求中心天體的質量，和4式的推導方法相同。
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1．一般衛(wèi)星：引力提供向心力，軌道平面過地心，越遠的衛(wèi)星加速度越小，越遠的衛(wèi)星線速度越小，越遠的衛(wèi)星，角速度越小，越遠越慢。
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2．近地衛(wèi)星 第一宇宙速度
近地衛(wèi)星是指軌道在地表附近的衛(wèi)星，計算時軌道半徑可近似取地球半徑。
根據(jù)引力等于向心力，地表附近的引力又等于重力，展開方程可以推出近地衛(wèi)星線速度的兩個表達式v等于根號下GM比R，或v等于根號下gR。
近地衛(wèi)星的線速度是發(fā)射人造衛(wèi)星成功的最小速度，也叫第一宇宙速度或環(huán)繞速度。根據(jù)衛(wèi)星“越遠越慢”的特點，第一宇宙速度也是衛(wèi)星在圓軌道上運行的 最大速度。
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3．同步衛(wèi)星
同步衛(wèi)星又稱地球靜止軌道衛(wèi)星，是指保持與地面相對靜止的衛(wèi)星。
旗桿上的旗子，與地面保持相對靜止，隨地球自轉的軌道圓周平行于赤道平面，旗子的軌道也可能如圖2或圖3所示，所有與地球同步旋轉的物體運動軌道與赤道平面平行
衛(wèi)星的軌道圓心在地心。所以，同步衛(wèi)星的軌道只能在赤道平面內。
同步衛(wèi)星的周期確定，所以它的高度和軌道半徑也是確定的。綜上所述，同步衛(wèi)星具有在赤道平面內的唯一軌道。列出方程，利用周期，可以推出同步衛(wèi)星的半徑等于三次根號下GMT的平方比4π的平方。
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小結：自轉情境，地球自轉可忽略，重力等于引力；
公轉情境，引力等于向心力；
物體實際受到的力是地球對物體的引力；重力和向心力都是效果力；
以上情境對應規(guī)律要熟練掌握，但不需要背誦二級結論，具體問題中，我們還是從研究對象的受力和運動兩個角度出發(fā)，通過牛頓第二定律建立力和運動的聯(lián)系
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２０２０年5月,北斗三號最后一顆組網(wǎng)衛(wèi)星，將在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，該衛(wèi)星屬地球靜止軌道衛(wèi)星。北斗衛(wèi)星全球導航系統(tǒng)組網(wǎng)將全面建成，并提供全球服務。
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練習1月球繞地球的運動可視為勻速圓周運動，月球軌道半徑約為地球半徑R的60倍，周期約為27天。根據(jù)以上信息，用R表示出同步衛(wèi)星的軌道半徑。
月球和同步衛(wèi)星都是地球的衛(wèi)星，根據(jù)引力等于向心力可推出r和T的關系式
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這個式子告訴我們，繞同一中心天體的行星群或衛(wèi)星群，都有類似的“開普勒第三定律” ：r的三次方比T的平方都是常數(shù)，中心天體的質量會影響常數(shù)的大小。
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r月的3次方比T月的平方等于r同的3次方比T同的平方，將月球半徑和周期帶入可推出r同約等于六點七R，這個結果，與實際相符：同步衛(wèi)星的軌道半徑約為四萬兩千三百千米,地球平均半徑為六千三百七十八千米。
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練習2將地球視為半徑為R的球體，物體1放在赤道上隨地球自轉，物體2是一顆近地衛(wèi)星，物體3是軌道半徑為r的同步衛(wèi)星，求它們運動的向心加速度之比。
求比值類問題，我們一般先找比較對象的相同點，再找不同點。
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用綠色的圓表示同步衛(wèi)星的軌跡，黃色虛線表示自轉物體的軌跡；它們的運動周期都與地球自轉周期相等，只是半徑不同根據(jù)a等于ω的平方乘r，a1比a3等于大R比小r
右圖中綠色的圓表示同步衛(wèi)星的軌跡，黃色實線表示近地衛(wèi)星的軌跡；它們都是衛(wèi)星，只是軌道半徑不同。引力等于向心力，a等于GM比r的平方，a2比a3等于小r的平方比大R的平方。
有了加速度的比，我們還可以比較線速度和角速度，課下,大家試試吧！
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2016年9月15日，天宮二號空間實驗室在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射成功。在實驗室中一切物體都處在完全失重狀態(tài)：物體將飄在空中，液滴呈絕對球形，宇航員站著睡覺和躺著睡覺感覺一樣，走路務必小心，食物要做成牙膏似的糊狀……
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練習3．若實驗室繞地球做勻速圓周運動，請你證明：人相對于實驗室靜止時，處于完全失重狀態(tài)。
以實驗室和人為研究對象，二者都繞地球做勻速圓周運動，合力等于向心力實驗室受到地球的引力等于向心力，得1式，
人，引力和支持力的合力等于向心力，帶入1式得N=0，即人處于完全失重狀態(tài)。
同理，各個器官，如大腦、心臟都處于完全失重狀態(tài)！在空間站中，宇航員長期處于失重狀態(tài)，會帶來不適。
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練習4科學家設想 建造一種環(huán)形空間站，圓環(huán)繞中心勻速旋轉，宇航員在旋轉倉內可以感受到與他在地面時相同大小的支持力。已知：地表重力加速度為g，圓環(huán)半徑為r，求旋轉倉轉動的角速度大小。
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由題意研究對象為宇航員。就像月球，一邊繞地球運動，一邊與地球一起繞太陽運動，宇航員也同時參與了兩個圓周運動：
左圖中，宇航員繞地球圓周運動的向心力，由地球引力提供。
右圖中，宇航員隨旋轉倉轉動的向心力，由支持力N提供，N等于地表重力：可得ω等于根號下g比r
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三、拓展學習 本部分內容供基礎較好的同學選擇性學習。
1．雙星問題。(1)兩顆靠得很近的天體，離其他天體非常遙遠，靠相互引力一起以連線上某一點為圓心分別作圓周運動，從而保持兩者之間的距離不變,這樣的天體稱為“雙星”。若觀測到某雙星的周期為T ，間距為L。求它們的總質量。
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首先來分析雙星的受力和運動：如圖，彼此的引力提供對方的向心力。若m2繞圓心運動一段圓弧，設半徑為r2，沿著半徑方向由m1提供向心力，所以m1必然運動到圓心對面，如圖，兩顆星體的連線始終過公共圓心，任意時間內轉過的圓心角相等，所以兩顆星體的角速度相等，周期相等。二者軌跡是同心圓。
對兩個星體，引力等于向心力，注意引力公式中的引力距離是二者的間距L。根據(jù)圖景，r1+r2等于L。約去1式中的m1、2式中的m2，得方程4、5，4式5式相加，提取公因式，將3式帶入6式消除未知數(shù)r1、r2即可求解雙星的總質量！
小結：雙星的特點：引力提供彼此運動的向心力，二者繞公共圓心轉動的周期相等，二者之間的間距等于半徑之和，通過牛頓第二定律建立力和運動的聯(lián)系
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(2)若忽略其它星球的影響，將月球和地球看成雙星，求地球繞公共圓心運動的軌道半徑。已知地球和月球的質量，二者間距。
二者的向心力相等，得方程二，根據(jù)r1+r2等于L，得到r1表達式，帶入數(shù)據(jù)計算可得，r1等于514km，不到地球半徑的十二分之一，公共圓心很接近地心，一般近似認為月球繞地心做圓周運動。
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2．衛(wèi)星變軌問題
（1）如圖所示，一顆人造衛(wèi)星原來在近地圓軌道1繞地球運行，在P點變軌后進入橢圓軌道2運動。比較衛(wèi)星在軌道1和軌道2的P點的速度大小、加速度大小。
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引力提供的是實際向心力，故在軌道1和軌道2上的P點，加速度a1等于a2。
mv的平方比r是運動需要的向心力，在軌道2的P點衛(wèi)星開始遠離地心，實際提供的向心力小于運動需要的mv的平方比r時，物體將做離心運動。
在軌道2的P點，引力小于mv2的平方比r；在軌道1做勻速圓周運動，引力等于mv1的平方比r。對比二式得，v1小于v2
衛(wèi)星在圓周軌道通過加速，軌道將變?yōu)闄E圓軌道，衛(wèi)星可以飛的離地球更遠。
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（２）若衛(wèi)星在近地點P與地球中心的距離為r１ ，在遠地點Q與地球中心的距離為r2 。求衛(wèi)星在近地點和遠地點的線速度大小之比、加速度大小之比。
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題目涉及橢圓軌道的運動快慢，根據(jù)開普勒第二定律，衛(wèi)星在PQ兩點，經(jīng)過相等的一小段時間?t，衛(wèi)星與地心連線掃過的面積相等，因時間?t較小，掃過的形狀近似為以r1、r2為半徑的扇形，根據(jù)扇形面積公式，約去二分之一，得v1乘?t乘r1等于v2乘?t乘r2，故v1比v2等于r2比r1
近地點和遠地點的引力提供加速度，得a等于GM比r的平方，故a1比a2等于r2的平方比r1的平方。
小結：為了節(jié)省燃料，發(fā)射衛(wèi)星，一般先進入低軌道1，再通過加速，進入橢圓軌道2，在橢圓軌道2的遠地點，再次加速，進入高軌道3。雖然兩次加速，但在2軌道遠離地球過程中損失的動能更大，在3軌道運行的速度比1軌道小,符合衛(wèi)星越遠越慢的特點
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四課堂小結：1．萬有引力定律是如何形成的？
2．萬有引力定律有哪些應用？
3．本單元有哪些典型情境？
如果你能準確回答上述問題，恭喜你形成了自己的知識庫！
同學們，我們花費了大量的時間學習新知識，通過復習我們能減少遺忘，通過總結，我們能用少量時間提升整體認識，大家一定要重視復習和總結！
幻燈片 43
今天的內容,就到這里。希望對大家有幫助！同學們，再見！
通過按時間軸回顧先關科學家及在行星運動中主要貢獻，引入課題
一、科學歷程
1.繼承、發(fā)展
開普勒三定律
2.推理論證：牛頓演繹推理太陽和行星間的引力
月地檢驗
二、兩個基本情境
一.自轉
1.地面參考系-重力
2.地心參考系-向心力
3.兩極處的重力：
4.赤道處的重力
最大向心力
4.赤道處的重力
5.一般位置的重力
6.地表的重力加速度
不同位置g的值
7.重力的應用
8.假如地球轉動變快
二.公轉
1.一般衛(wèi)星
2.近地衛(wèi)星
第一宇宙速度
3.同步衛(wèi)星
小結
北斗衛(wèi)星
全球導航系統(tǒng)
練習1
練習2
天宮二號空間實驗室與完全失重
練習3.
練習4
三、拓展學習
1.雙星問題
地月系統(tǒng)
2.衛(wèi)星變軌問題
四課堂小結
結束語

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4 宇宙航行

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