知識導航
知識精講
考點1：銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值
1．銳角三角函數(shù)的概念
（1）銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).
（2）在△ABC中，∠C=90°,
∠A的正弦sin A= SKIPIF 1 < 0 ,∠A的余弦cs A= SKIPIF 1 < 0 ,∠A的正切tan A= SKIPIF 1 < 0 .
2．特殊角的三角函數(shù)值(填寫下表)

【例1】（2021·湖南）下列計算正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，算術(shù)平方根的定義，同底數(shù)冪乘法的計算法則分別計算即可．
【詳解】解：A、 SKIPIF 1 < 0 ，此選項正確；B、 SKIPIF 1 < 0 ，此選項錯誤；
C、 SKIPIF 1 < 0 ，此選項錯誤；D、 SKIPIF 1 < 0 ，此選項錯誤；故選：A．
【例2】如圖， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外接圓，CD是 SKIPIF 1 < 0 的直徑．若 SKIPIF 1 < 0 ，弦 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cs∠ABC的值．
【詳解】解：連接AD，如右圖所示，
∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD= SKIPIF 1 < 0 =8，
∴cs∠ADC= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，∵∠ABC=∠ADC，∴cs∠ABC的值為 SKIPIF 1 < 0 ，故選：A．
針對訓練
1． SKIPIF 1 < 0 的值等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)30°的正切值直接求解即可．
【詳解】解：由題意可知， SKIPIF 1 < 0 ，故選：A．
2．如圖，已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】在直角三角形中，銳角 SKIPIF 1 < 0 的正弦=銳角 SKIPIF 1 < 0 的對邊：直角三角形的斜邊，根據(jù)定義直接可得答案．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故答案為： SKIPIF 1 < 0
考點2：三角函數(shù)與圖形結(jié)合

【例3】如圖，點A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點上，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．sinB SKIPIF 1 < 0 B．sinC SKIPIF 1 < 0 C．tanB SKIPIF 1 < 0 D．sin2B+sin2C＝1
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理得出AB，AC，BC的長，進而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進而解答即可．
【詳解】解：由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，只有A錯誤．故選擇：A．
針對訓練
1．如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么sin∠ACB的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】如圖，過點A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解決問題．
【解析】如圖，過點A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC= SKIPIF 1 < 0 ，
∴sin∠ACH= SKIPIF 1 < 0 ，故選：D．
2．如圖所示，△ABC的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，則tanA的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．2 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根據(jù)三角函數(shù)的意義可求出tanA的值．
【解析】如圖，連接BD，由網(wǎng)格的特點可得，BD⊥AC，AD=2 SKIPIF 1 < 0 ，BD=
∴tanA= SKIPIF 1 < 0 ，故選：A．
考點3：解直角三角形
1．解直角三角形
（1）解直角三角形的概念
在直角三角形中,除直角外,一共有5個元素,即3條邊和2個銳角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程,叫做解直角三角形.
（2）直角三角形的解法
直角三角形的解法按除直角外已知2個元素的不同情況可大致分為四種類型:
① 已知一條直角邊和一個銳角(如a,∠A),其解法為:∠B=90°-∠A,c= SKIPIF 1 < 0 ;
② 已知斜邊和一個銳角(如c,∠A),其解法為:∠B=90°-∠A,a= SKIPIF 1 < 0 ;
③ 已知兩直角邊(如a,b),其解法為:c2=a2+b2,tan A= SKIPIF 1 < 0 ;
④ 已知斜邊和一直角邊(如c,a),其解法為:b2=c2-a2,sin A= SKIPIF 1 < 0 .

【例4】如圖是一架人字梯，已知 SKIPIF 1 < 0 米，AC與地面BC的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，則兩梯腳之間的距離BC為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 米B． SKIPIF 1 < 0 米C． SKIPIF 1 < 0 米D． SKIPIF 1 < 0 米
【答案】A
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)余弦的定義即可，得到答案．
【詳解】過點A作 SKIPIF 1 < 0 ，如圖所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故選：A．
【例5】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．有一個銳角為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若點 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上（不與點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合），且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或2
【分析】依據(jù)題意畫出圖形，分類討論，解直角三角形即可．
【詳解】解：情形1： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
情形2： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
情形3： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；故答案為： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或2．
針對訓練
1．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．60D．80
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，∴AB= SKIPIF 1 < 0 =80，故選D．
2．圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)求解．
【詳解】∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故選：A．
3．如圖，點C是以點O為圓心，AB為直徑的半圓上一點，連接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，則sin∠BOC的值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】如圖，過點C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面積法求出CH，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，過點C作CH⊥AB于H．
∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴OC＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ?AB?CH＝ SKIPIF 1 < 0 ?AC?BC，∴CH＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴sin∠BOC＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，故選：B．
考點4：解直角三角形
1．與解直角三角形有關(guān)的名詞、術(shù)語
（1）視角:視線與水平線的夾角叫做視角.
從下向上看,叫做仰角;
從上往下看,叫做俯角.
（2）方位角:目標方向線與正北方向線順時針時的夾角.
（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡度(或坡比),記作i= SKIPIF 1 < 0 .坡面與水平面的夾角(α),叫做坡角.

【例6】如圖，在一次數(shù)學實踐活動中，小明同學要測量一座與地面垂直的古塔 SKIPIF 1 < 0 的高度，他從古塔底部點 SKIPIF 1 < 0 處前行 SKIPIF 1 < 0 到達斜坡 SKIPIF 1 < 0 的底部點 SKIPIF 1 < 0 處，然后沿斜坡 SKIPIF 1 < 0 前行 SKIPIF 1 < 0 到達最佳測量點 SKIPIF 1 < 0 處，在點 SKIPIF 1 < 0 處測得塔頂 SKIPIF 1 < 0 的仰角為 SKIPIF 1 < 0 ，已知斜坡的斜面坡度 SKIPIF 1 < 0 ，且點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一平面內(nèi)，小明同學測得古塔 SKIPIF 1 < 0 的高度是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)勾股定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是得到結(jié)論．
【詳解】解：過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 斜坡的斜面坡度 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A．
【例7】小明和小華約定一同去公園游玩，公園有南北兩個門，北門A在南門B的正北方向，小明自公園北門A處出發(fā)，沿南偏東 SKIPIF 1 < 0 方向前往游樂場D處；小華自南門B處出發(fā)，沿正東方向行走 SKIPIF 1 < 0 到達C處，再沿北偏東 SKIPIF 1 < 0 方向前往游樂場D處與小明匯合（如圖所示），兩人所走的路程相同．求公園北門A與南門B之間的距離．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】作 SKIPIF 1 < 0 于E， SKIPIF 1 < 0 于F，易得四邊形BCFE是矩形，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)題意得到 SKIPIF 1 < 0 ，求得x的值，然后根據(jù)勾股定理求得AE和BE，進而求得AB．
【詳解】解：如圖，作 SKIPIF 1 < 0 于E， SKIPIF 1 < 0 于F，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四邊形BCFE是矩形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
答：公園北門A與南門B之間的距離約為 SKIPIF 1 < 0 ．
方法技巧
解直角三角形的應(yīng)用問題的有關(guān)要點
（1）應(yīng)用范圍：
通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關(guān)測量問題，
如：測不易直接測量的物體的高度、河寬等，解此類問題關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度.
（2）一般步驟
① 將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）.
② 根據(jù)題目的已知條件選用適當?shù)匿J角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學問題的答案，再轉(zhuǎn)化為實際問題的答案.
針對訓練
1．如圖，建筑物 SKIPIF 1 < 0 上有一高為 SKIPIF 1 < 0 的旗桿 SKIPIF 1 < 0 ，從D處觀測旗桿頂部A的仰角為 SKIPIF 1 < 0 ，觀測旗桿底部B的仰角為 SKIPIF 1 < 0 ，則建筑物 SKIPIF 1 < 0 的高約為_____ SKIPIF 1 < 0 （結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，從而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再在 SKIPIF 1 < 0 中，利用正切三角函數(shù)解直角三角形即可得．
【詳解】解：由題意得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，且符合題意，
即建筑物 SKIPIF 1 < 0 的高約為 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
2．王剛同學在學習了解直角三角形及其應(yīng)用的知識后，嘗試利用所學知識測量河對岸大樹AB的高度，他在點C處測得大樹頂端A的仰角為 SKIPIF 1 < 0 ，再從C點出發(fā)沿斜坡走 SKIPIF 1 < 0 米到達斜坡上D點，在點D處測得樹頂端A的仰角為 SKIPIF 1 < 0 ，若斜坡CF的坡比為 SKIPIF 1 < 0 （點 SKIPIF 1 < 0 在同一水平線上）．
（1）求王剛同學從點C到點D的過程中上升的高度；
（2）求大樹AB的高度（結(jié)果保留根號）．
【答案】（1）2米；（2） SKIPIF 1 < 0 米
【分析】（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；
（2）延長AD交CE于點G，解Rt△GDH、Rt△CDH，求出GH、CH，得到GC，再說明AB=BC，在△ABG中，利用正切的定義求出AB即可．
【詳解】解：（1）過D作DH⊥CE于H，如圖所示：
在Rt△CDH中， SKIPIF 1 < 0 ，∴CH=3DH，∵CH2+DH2=CD2，∴（3DH）2+DH2=（ SKIPIF 1 < 0 ）2，
解得：DH=2或-2（舍），∴王剛同學從點C到點D的過程中上升的高度為2米；
（2）延長AD交CE于點G，設(shè)AB=x米，由題意得，∠AGC=30°，
∴GH= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，∵CH=3DH=6，∴GC=GH+CH= SKIPIF 1 < 0 +6，
在Rt△BAC中，∠ACB=45°，∴AB=BC，∴tan∠AGB= SKIPIF 1 < 0 ，
解得：AB= SKIPIF 1 < 0 ，即大樹AB的高度為 SKIPIF 1 < 0 米．
3．我市的前三島是眾多海釣人的夢想之地．小明的爸爸周末去前三島釣魚，將魚竿 SKIPIF 1 < 0 擺成如圖1所示．已知 SKIPIF 1 < 0 ，魚竿尾端A離岸邊 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．海面與地面 SKIPIF 1 < 0 平行且相距 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如圖1，在無魚上鉤時，海面上方的魚線 SKIPIF 1 < 0 與海面 SKIPIF 1 < 0 的夾角 SKIPIF 1 < 0 ，海面下方的魚線 SKIPIF 1 < 0 與海面 SKIPIF 1 < 0 垂直，魚竿 SKIPIF 1 < 0 與地面 SKIPIF 1 < 0 的夾角 SKIPIF 1 < 0 ．求點O到岸邊 SKIPIF 1 < 0 的距離；
（2）如圖2，在有魚上鉤時，魚竿與地面的夾角 SKIPIF 1 < 0 ，此時魚線被拉直，魚線 SKIPIF 1 < 0 ，點O恰好位于海面．求點O到岸邊 SKIPIF 1 < 0 的距離．（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】（1）8.1m；（2）4.58m
【分析】（1）過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，構(gòu)建 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值求出BE,AE;再用 SKIPIF 1 < 0 求出BF，在 SKIPIF 1 < 0 中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值求出FC，用 SKIPIF 1 < 0 ;
（2）過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，構(gòu)建 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，根據(jù)53°和AB的長求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在 SKIPIF 1 < 0 中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．
【詳解】
（1）過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 到岸邊的距離為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即點 SKIPIF 1 < 0 到岸邊的距離為 SKIPIF 1 < 0 ．
專題28 銳角三角函數(shù)與運用
考點1：銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值
1．如圖，在平面直角坐標系內(nèi)有一點P（3，4），連接OP，則OP與x軸正方向所夾銳角α的正弦值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】作PM⊥x軸于點M，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．
【詳解】解：作PM⊥x軸于點M，∵P（3，4），∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故選：D
2．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，若將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使點B落在點 SKIPIF 1 < 0 的位置，連接B SKIPIF 1 < 0 ，過點D作DE⊥ SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點E，則 SKIPIF 1 < 0 的長為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用已知條件求得 SKIPIF 1 < 0 ,設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 都表示出含有 SKIPIF 1 < 0 的代數(shù)式，利用 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)值求得 SKIPIF 1 < 0 ，繼而求得 SKIPIF 1 < 0 的值
【詳解】
設(shè) SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 由題意： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形 SKIPIF 1 < 0 ∴∠CBF=90°-60°=30°，
SKIPIF 1 < 0 DE⊥ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 設(shè) SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故選A
3．計算： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】-3
【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，絕對值的意義，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式等運算法則計算即可．【詳解】
解：原式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
考點2：三角函數(shù)與圖形結(jié)合
4．如圖，在 SKIPIF 1 < 0 的正方形網(wǎng)格圖中，已知點A、B、C、D、O均在格點上，其中A、B、D又在 SKIPIF 1 < 0 上，點E是線段 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點．則 SKIPIF 1 < 0 的正切值為________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由題意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根據(jù)三角函數(shù)可進行求解．
【詳解】解：由題意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∵∠BAE=∠BDC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故答案為 SKIPIF 1 < 0 ．
5．如圖所示，∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則sin∠AOB的值是 ．
【分析】如圖，連接AB．證明△OAB是等腰直角三角形即可解決問題．
【解析】如圖，連接AB．
∵OA＝AB，OB＝2，∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB，故答案為．
如圖,△ABC的三個頂點在正方形網(wǎng)格的格點上,則tan A的值是 ( )

A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】如圖，作BD⊥AC交AC的延長線于點D,利用三角函數(shù)的定義可知tan A= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
故選A.
考點3：解直角三角形
7．如圖是凈月潭國家森林公園一段索道的示意圖．已知A、B兩點間的距離為30米， SKIPIF 1 < 0 ，則纜車從A點到達B點，上升的高度（BC的長）為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 米B． SKIPIF 1 < 0 米C． SKIPIF 1 < 0 米D． SKIPIF 1 < 0 米
【答案】A
【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜邊AB，求∠BAC的對邊，選擇∠BAC的正弦，列出等式即可表示出來．
【詳解】在Rt△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，故選：A．
8．如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．過點D作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為E，則 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】首先根據(jù)題目中的 SKIPIF 1 < 0 ，求出ED的長度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四邊形的性質(zhì)，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面積法求出BF的長，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴△ADE為直角三角形，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 , 解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ,
又∵AB=12,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ,
過點B作BF⊥CE，垂足為F,如圖
在△EBC中：S△EBC= SKIPIF 1 < 0 ;
又∵S△EBC SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
在Rt△BFC中， SKIPIF 1 < 0 ,故填： SKIPIF 1 < 0 ．
9．如圖， SKIPIF 1 < 0 的頂點 SKIPIF 1 < 0 的坐標分別是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則頂點A的坐標是_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 的坐標求得 SKIPIF 1 < 0 的長度, SKIPIF 1 < 0 ， 利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，求得 SKIPIF 1 < 0 的長度，即點 SKIPIF 1 < 0 的橫坐標，易得 SKIPIF 1 < 0 軸，則 SKIPIF 1 < 0 的縱坐標即 SKIPIF 1 < 0 的縱坐標．
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 的坐標分別是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 軸 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
考點4：解直角三角形的運用
10．如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD．其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，斜坡AB長8m．則斜坡CD的長為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】過點A作AE⊥BC于點E，過D作DF⊥BC于點F，則四邊形AEFD是矩形，由AB=8可求出AE，從而DF可知，進而可求出CD的長．
【詳解】解：過點A作AE⊥BC于點E，過D作DF⊥BC于點F，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵AD//BC∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴則四邊形AEFD是矩形，∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中，AB=8， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 故選：B．
11．數(shù)學活動小組為測量山頂電視塔的高度，在塔的橢圓平臺遙控無人機．當無人機飛到點P處時，與平臺中心O點的水平距離為15米，測得塔頂A點的仰角為30°，塔底B點的俯角為60°，則電視塔的高度為_________米．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)題意可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后分別在 SKIPIF 1 < 0 中在 SKIPIF 1 < 0 中，利用銳角三角函數(shù)求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即電視塔的高度為 SKIPIF 1 < 0 米．故答案為： SKIPIF 1 < 0
12．如圖，甲樓高21m，由甲樓頂看乙樓頂?shù)难鼋鞘?5°，看乙樓底的俯角是30°，則乙樓高度約為_________ m（結(jié)果精確到1m， SKIPIF 1 < 0 ）．
【答案】57
【分析】根據(jù)題意畫出下圖： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分別為點 SKIPIF 1 < 0 、點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足為點 SKIPIF 1 < 0 ，可得四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，繼而得到 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后在 SKIPIF 1 < 0 中，求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意畫出下圖： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分別為點 SKIPIF 1 < 0 、點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足為點 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即乙樓高度約為57 SKIPIF 1 < 0 ．
13．某市跨江大橋即將竣工，某學生做了一個平面示意圖（如圖），點A到橋的距離是40米，測得∠A＝83°，則大橋BC的長度是 ___米．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：sin83°≈0.99，cs83°≈0.12，tan83°≈8.14）
【答案】326
【分析】根據(jù)正切的定義即可求出BC．
【詳解】解：在Rt△ABC中，AC=40米，∠A=83°， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （米）故答案為：326
14．某校數(shù)學社團開展“探索生活中的數(shù)學”研學活動，準備測量一棟大樓 SKIPIF 1 < 0 的高度．如圖所示，其中觀景平臺斜坡 SKIPIF 1 < 0 的長是20米，坡角為 SKIPIF 1 < 0 ，斜坡 SKIPIF 1 < 0 底部 SKIPIF 1 < 0 與大樓底端 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 為74米，與地面 SKIPIF 1 < 0 垂直的路燈 SKIPIF 1 < 0 的高度是3米，從樓頂 SKIPIF 1 < 0 測得路燈 SKIPIF 1 < 0 項端 SKIPIF 1 < 0 處的俯角是 SKIPIF 1 < 0 ．試求大樓 SKIPIF 1 < 0 的高度．
（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】96米
【分析】延長AE交CD延長線于M，過A作AN⊥BC于N，則四邊形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由銳角三角函數(shù)定義求出EM、DM的長，得出AN的長，然后由銳角三角函數(shù)求出BN的長，即可求解．
【詳解】延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意得， SKIPIF 1 < 0 ，∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
答：大樓 SKIPIF 1 < 0 的高度約為96米.
三角函數(shù)
30°
45°
60°
sin a
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
cs a
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
tan a
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0

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