一、單選題（每小題5分，共40分）
1. 在空間直角坐標系中，已知點，，則線段的中點坐標是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用中點坐標公式直接求解.
【詳解】因為點，，
所以線段的中點坐標是，即.
故選：D
2. 已知直線過點，且與直線平行，則的方程是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先設直線方程為，再把點代入即可求解
【詳解】設直線的方程為，
由點在直線上得：
，解得，
因此直線的方程為，
故選：D．
3. 若直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則（ ）
A. l∥αB. l⊥α
C. l?αD. l與α斜交
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知可推得，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，
所以，，所以.
故選：B.
4. 如圖，空間四邊形中，，，，點在線段上，且，點為中點，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意結(jié)合圖形，直接利用，即可求解.
【詳解】因為空間四邊形中，，，，點在線段上，且，點為中點，
所以，
所以.
故選：A
5. 已知直線：，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線的傾斜角為
B. 過點與直線平行的直線方程為
C. 向量是直線的一個方向向量
D. 若直線：，則
【答案】D
【解析】
【分析】求出直線的斜率可求得傾斜角，即可判斷A，由直線平行可設所求直線為，代點即可判斷B，由直線的方向向量可判斷C，由直線方程，得出直線的斜率，再由直線垂直時有，從而可判斷D.
【詳解】對于A：的斜率為，所以直線的傾斜角為，故A錯誤；
對于B：因為與直線平行的直線方程可設為，
又直線過點，有，解得，
故所求直線方程，故B錯誤；
對于C：因為直線的方向向量可為或，
所以直線的方向向量可為或，故C錯誤；
對于D：因為直線：與直線：的斜率分別為，，所以有，所以，故D正確；
故選：D.
6. 如圖，在長方體中，，，點在線段上，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)建空間直角坐標系，求，的坐標，應用空間向量夾角的坐標表示求與所成角的余弦值即可.
【詳解】如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，，
∴，.
∴，
∴異面直線與所成角的余弦值為.
故選：B
7. 唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開關(guān)兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求點關(guān)于直線對稱的點，再根據(jù)兩點之間線段最短，即可得解.
【詳解】
如圖，設關(guān)于直線對稱的點為，
則有，可得，可得，
依題意可得“將軍飲馬”的最短總路程為，
此時，
故選：B.
8. 已知直線和直線，則當與間的距離最短時，t的值為（）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行線之間的距離公式可求出關(guān)于的二次函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】解：
∵直線即為直線，∴直線直線．
∴與間的距離，當且僅當時取等號．
∴當與間的距離最短時，t的值為．
故答案選：B
二、多選題（每小題5分，共20分，漏選得2分，錯選多選得0分）
9. 已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. 向量，的夾角為D. 在方向上的投影是
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)坐標運算法則，依次求解各個選項，即可得到結(jié)果.
【詳解】A.∵∴，A正確；
B.，，錯誤；
C. ，所以夾角為；
D. 在方向上的投影為.
故選：AC.
10. 設直線，，其中實數(shù)，滿足，則（）
A. 與平行B. 與相交
C. 與的交點在圓上D. 與的交點在圓外
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)直線的斜截式方程知兩斜率相乘為是兩直線互相垂直，即相交，再利用聯(lián)立兩直線求出交點坐標，在找到關(guān)系即可得到答案.
【詳解】與不可能相等，，故與垂直即相交，故B正確；與的交點為，故與的交點在圓上.
故選：BC.
11. 已知點，，直線l的方程為，且與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值可以為（）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】CD
【解析】
【分析】首先判斷出直線經(jīng)過定點，根據(jù)兩點間的斜率公式，再結(jié)合圖形即可求出斜率的取值范圍，進而選出答案.
【詳解】因為，
所以，
由解得，所以直線經(jīng)過定點，
又因點，，在坐標系中畫出圖形
，
結(jié)合圖形可知直線與線段AB有公共點，則或，
，，
所以或，
所以值可以為1，2
故選：CD
12. 在四面體中，以下說法正確的有（）
A. 若，則可知
B. 若Q為△的重心，則
C. 若四面體各棱長都為2，M，N分別為PA，BC的中點，則
D. 若，，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】A：令，利用平面向量基本定理及向量加減、數(shù)乘的幾何意義，求之間含的線性關(guān)系，結(jié)合已知即可求；B：根據(jù)線段的空間位置及空間向量的加減、數(shù)乘運算，求的線性關(guān)系；C：由正四面體性質(zhì)求的長度即可；D：由題設有，利用空間向量數(shù)量積的運算律及空間向量的加減幾何含義求證結(jié)論.
【詳解】A：由，則在線段上，又，若，則，又，故，所以，即，正確；
B：若為的中點，，又，而，所以，又，則，整理得，正確；
C：由題設知：，即，且，故，錯誤；
D：若，，則，又，所以，整理得，故，正確.
故選：ABD
三、填空題（每小題5分，共20分）
13. 已知空間向量，且與垂直，則等于______.
【答案】4
【解析】
【分析】由與垂直，得到，由此能求出的值.
【詳解】因為，且與垂直，
所以，解得，
故答案為：4
14. 寫出截距相等且過點直線方程________.
【答案】或
【解析】
【分析】分直線過原點與不過原點兩種情況討論，過原點時，直接求出直線斜率即可得直線方程；不過原點時，設出直線方程，把點坐標代入即可求得直線方程
【詳解】當直線過原點時，則直線的斜率，故直線的方程為；
當直線不過原點時，設直線方程為，
把點代入，得，解得，
所以直線的方程為；
綜上所述，直線的方程為或.
故答案為：或.
15. 在棱長為2的正方體中，O為平面的中心，E為BC的中點，則點O到直線的距離為________.
【答案】
【解析】
【分析】如圖，以為原點建系，利用向量法即可求出答案.
【詳解】解：如圖，以為原點建系，
則，
則，
則，
又，所以，
所以點O到直線的距離為.
故答案為：.
16. 已知直線與圓交于A、B兩點，直線垂直平分弦AB，則a的值為______．
【答案】4
【解析】
【分析】由題意可得直線與垂直，可求出的值，再由直線垂直平分弦AB，可得直線過圓心，可求出.
【詳解】因為直線與垂直，
所以，得，
由，得，則圓心為，
因為直線垂直平分弦AB，
所以直線過圓心，
所以，解得，
故答案為：4
四、解答題（共70分）
17. 已知空間向量，，．
（1）若，求；
（2）若與相互垂直，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)空間向量共線公式列式求參即可；
（2）根據(jù)空間向量垂直數(shù)量積為0列式求參即可.
【小問1詳解】
，
，，
即，且，，解得；
【小問2詳解】
，，
又，解得．
18. 已知三個頂點是
（1）求邊上的垂直平分線的直線方程；
（2）求的面積
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可得BC的中點和BC的斜率，由垂直關(guān)系可得垂直平分線的斜率，由點斜式可得方程，化為一般式即可；
（2）由（1）得BC的方程，可得A到BC的距離，再求得BC的長度，代入三角形的面積公式可得答案．
【詳解】（1），，則所求直線的斜率為：
又的中點的坐標為，所以邊的上的中垂線所在的直線方程為：；
（2）直線的方程為：，則點到直線
的距離為：，，.
【點睛】本題考查直線的一般式方程和三角形的面積，及點到直線的距離，屬于基礎(chǔ)題．
19. 已知圓經(jīng)過點和，且圓心在直線上．
（1）求圓的方程；
（2）過點作圓的切線，求切線方程．
【答案】（1）；
（2）和
【解析】
【分析】（1）設圓心，由半徑可構(gòu)造方程求得，由此得到圓心和半徑，進而得到圓的方程；
（2）當切線斜率存在時，假設切線方程，利用圓心到直線距離可構(gòu)造方程求得，由此可得切線方程；當過直線斜率不存在時，是圓的切線；綜合可得切線方程.
【小問1詳解】
圓心在直線上，可設圓心，
，解得：，則圓心，
圓的半徑，
圓的方程為；
【小問2詳解】
當切線的斜率存在時，設過點的切線方程為，即，
圓心到直線的距離，解得：，
切線方程為，即；
當直線斜率不存在時，直線方程為：，圓心到直線的距離是，是圓的切線；
綜上所述：過點的圓的切線方程為和.
20. 平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為.
（1）求的長；
（2）求異面直線與夾角的余弦值.
【答案】（1）AC1的長為；（2）AC與BD1夾角的余弦值為．
【解析】
【詳解】試題分析：（1）記＝a，＝b，＝c，并將其作為一組基底，利用空間向量的基本定理表示出，然后利用向量的模長計算公式及數(shù)量積的運算律即可求解；（2）利用向量夾角求兩條異面直線夾角，但注意向量夾角為銳角或直角時兩者相等，當向量夾角為鈍角時，兩者互補．
試題解析：（1）記＝a，＝b，＝c，
則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝．
||2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴||＝，即AC1的長為．
（2）＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，
·＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．
∴cs〈，〉＝＝．
∴AC與BD1夾角的余弦值為．
考點：利用向量作為工具求線段長及異面直線的夾角問題．
21. 如圖，在直三棱柱中，.
（1）若為中點，求證：平面平面；
（2）若二面角的大小為60°，求的長.
【答案】（1）證明詳見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量證明平面，根據(jù)面面垂直的判定即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)二面角的大小，求出兩個平面的法向量，用夾角公式解決.
【詳解】（1）如圖，
以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系. 則，，，，，
即，
；
又，∴ 平面.
又平面，根據(jù)面面垂直的判定定理，
∴ 平面平面.
（2）設，則，，
設平面的法向量為.
則由取，得
又平面的法向量為，則由，解得，于是
22. 已知直線與圓交于兩點．
（1）求出直線恒過定點的坐標
（2）求直線的斜率的取值范圍
（3）若為坐標原點，直線的斜率分別為，試問是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）為定值.
【解析】
【分析】（1）將直線方程整理后可得方程組，解方程組可求得定點坐標；
（2）設直線方程，利用圓心到直線距離小于半徑可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；
（3）可設直線方程，與圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式，由整理可得定值.
【詳解】（1）將直線方程整理為：，
令，解得：，直線恒過定點；
（2）設直線斜率為，由（1）可知：直線方程可設為：，即；
圓方程可整理為，則其圓心，半徑，
直線與圓交于兩點，圓心到直線距離，
即，解得：，即直線斜率的取值范圍為；
（3）設，
當時，與圓僅有一個交點，不合題意，，
則直線，可設直線方程為，
由得：，由（2）知：；
，，
，
為定值.
【點睛】思路點睛：本題考查直線與圓中的定值問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺罅勘硎境身f達定理的形式，通過韋達定理代入整理，消去變量即可得到定值.

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