一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）
1．（5分）（2023下·黑龍江哈爾濱·高一?？茧A段練習(xí)）下列命題：
①若|a|=|b|，則a=b；
②a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b
③若a∥b,b∥c，則a∥c；
④若A?B?C?D是不共線的四點(diǎn)，則AB=DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件.
其中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解題思路】根據(jù)向量共線的概念依次判斷各選項(xiàng)即可得答案
【解答過程】解：對(duì)于①，若|a|=|b|，則模相等，方向不一定相同，故錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)a=?b時(shí)也滿足|a|=|b|且a∥b，故錯(cuò)誤；
對(duì)于③，當(dāng)b=0時(shí)，滿足a∥b,b∥c，但a∥c不一定成立；
對(duì)于④，若A?B?C?D是不共線的四點(diǎn)，則AB=DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件，正確.
故真命題的個(gè)數(shù)是1個(gè).
故選：B.
2．（5分）（2023下·安徽亳州·高一亳州二中?？计谥校┮阎猠1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，AB=4e1+2e2，BC=?e1+λe2，CD=e1+1?λe2，且A，C，D三點(diǎn)共線，則λ=（ ）
A．12B．2C．4D．14
【解題思路】根據(jù)已知求出AC=3e1+λ+2e2.根據(jù)已知可得AC,CD共線，進(jìn)而得出AC=μCD，代入向量整理得出方程組3?μ=0λ+2?μ+μλ=0，求解即可得出答案.
【解答過程】由已知可得，AC=AB+BC=3e1+λ+2e2，CD=e1+1?λe2.
因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以AC,CD共線，
則?μ∈R，使得AC=μCD，
即3e1+λ+2e2=μe1+μ1?λe2，
整理可得3?μe1+λ+2?μ+μλe2=0.
因?yàn)閑1，e2不共線，
所以有3?μ=0λ+2?μ+μλ=0，解得λ=14μ=3.
故選：D.
3．（5分）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）向量a=（1,3），b=3x?1,x+1，c=5,7，若a+b∥a+c，且c=ma+nb，則m+n的值為（ ）
A．2B．52C．3D．72
【解題思路】先利用平面向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示求出x=1，再利用向量的坐標(biāo)表示得到關(guān)于m、n的方程組進(jìn)行求解.
【解答過程】由題意，得a+b=3x,x+4 ，a+c=6,10，
因?yàn)閍+b∥a+c，所以30x=6x+24，解得x=1，
則c=ma+nb=m,3m+2n,2n=m+2n,3m+2n=5,7，
即m+2n=53m+2n=7，解得m=1n=2，故m+n=3.
故選：C.
4．（5分）（2023上·天津東麗·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，若AD=4，BD=2，點(diǎn)M為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，則AM?BC?MD的最大值為（ ）

A．169B．214C．6D．10
【解題思路】利用平面向量的線性表示和數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解.
【解答過程】根據(jù)題意可得，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，
所以∠CFB=∠AEC=∠BDA=120°，
又因?yàn)锳D=4,BD=2，
所以BF=CE=AD=4,BD=DF=CF=EF=AE=DE=2，
設(shè)EM=λEC0≤λ≤1,則MC=1?λEC，
所以MD=ME+ED=ED?EM=ED?2λEF，
AM?BC=AC+CM?AC?AB=CM+AB =2λ?1EF+2ED?DF，
所以AM?BC?MD=2λ?1EF+2ED?DF?ED?2λEF
=?4λλ?1EF2+2λ?1ED?EF?4λEF?ED+2ED2+2λDF?EF?DF?ED
=?16λλ?1+4λ?1?8λ+8+4λ+2
=?16λ2+16λ+6=?16λ?122+10，
令fλ=?16λ?122+10，
當(dāng)λ∈0,12單調(diào)遞增，λ∈12,1單調(diào)遞減，
當(dāng)λ=12，AM?BC?MD取最大值為10.
故選：D.
5．（5分）（2023上·天津武清·高三?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，BD=13BC，E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)CE=xCA+yCB，則2x+3y+xyxy的最小值是（ ）
A．10B．4C．7D．13
【解題思路】由已知條件結(jié)合平面向量基本定理可得x+32y=1，x>0,y>0，則2x+3y+xyxy=2y+3x+1=2y+3xx+32y+1，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可得答案.
【解答過程】因?yàn)锽D=13BC，所以CB=32CD，
因?yàn)镃E=xCA+yCB，所以CE=xCA+32yCD，
因?yàn)锳,D,E三點(diǎn)共線，所以x+32y=1，x>0,y>0，
2x+3y+xyxy=2y+3x+1=2y+3xx+32y+1
=2xy+3+3+9y2x+1=7+2xy+9y2x≥7+22xy?9y2x=13，
當(dāng)且僅當(dāng)2xy=9y2xx+32y=1，即x=12y=13時(shí)取等.
故選：D.
6．（5分）（2023下·上海青浦·高一?？茧A段練習(xí)）已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）若a2tanB=b2tanA，則△ABC是等腰三角形；
（2）若sinA=csB，則△ABC是直角三角形；
（3）若csAcsBcsC0，所以B∈0,π2，
所以A+B=π2或A=B+π2，故（2）錯(cuò)誤；
△ABC中，csAcsBcsC

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