1．（5分）（2022?象山區(qū)校級一模）“m≥﹣1”是“m≥﹣2”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】利用充要條件的定義，可求得答案．
【解答過程】解：由m≥﹣1，可推出m≥﹣2成立，故m≥﹣1是m≥﹣2的充分條件，
由m≥﹣2不能夠推出m≥﹣1，故m≥﹣1是m≥﹣2的不必要條件，
綜上m≥﹣1是m≥﹣2的充分不必要條件，
故選：A．
2．（5分）（2022?聊城二模）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，則集合B中元素個數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解題思路】由集合B中元素滿足的條件，分類討論確定B中的元素，即可求解．
【解答過程】解：∵集合A＝{0，1，2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，
∴當a＝0，b＝0，1，2時，ab＝0，
當a＝1，b＝0，1，2時，ab＝0，1，2，
當a＝2，b＝0，1，2時，ab＝0，2，4，
∴集合B＝{0，1，2，4}，
∴集合B中元素個數(shù)為4．
故選：C．
3．（5分）（2022?南開區(qū)三模）設(shè)全集為U＝{1，2，3，4，5，6}，?UA＝{2，3，5}，B＝{2，5，6}，則A∩（?UB）＝（ ）
A．{1，4}B．{2，5}C．{6}D．{1，3，4，6}
【解題思路】根據(jù)已知條件，先求出A集合，再結(jié)合補集、交集的運算法則，即可求解．
【解答過程】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，?UA＝{2，3，5}，
∴A＝{1，4，6}，
∵U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，5，6}，
∴?UB＝{1，3，4}，
∴A∩（?UB）＝{1，4}．
故選：A．
4．（5分）（2022?興慶區(qū)校級二模）若全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＜3}，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．{3，4，5}B．{0，1，2}C．{0，1，2，3}D．{4，5}
【解題思路】由韋恩圖可知，陰影部分表示的集合為A∩（?UB），再利用集合的基本運算即可求解．
【解答過程】解：由韋恩圖可知，陰影部分表示的集合為A∩（?UB），
∵全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＜3}，
∴?RB＝{x|≥3}，
∴A∩（?RB）＝{3，4，5}，
故選：A．
5．（5分）（2022春?湖北月考）已知集合B＝{2，3，4，5}，C＝{﹣2，﹣1，4，5}，非空集合A滿足A?B，A?C，則符合條件的集合A的個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．7D．8
【解題思路】先求出B∩C，根據(jù)非空集合A滿足A?B，A?C，即可得出A．
【解答過程】解：由集合B＝{2，3，4，5}，C＝{﹣2，﹣1，4，5}，
B∩C＝{4，5}，
∵非空集合A滿足A?B，A?C，
∴A＝{4}，{5}，{4，5}．
∴符合條件的集合A的個數(shù)為3．
故選：A．
6．（5分）（2021秋?太原期末）已知命題“?x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（?94，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣2，+∞）
【解題思路】命題“?x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”為真命題 等價于a＞x2﹣3x在x∈[﹣1，1]上有解，構(gòu)造函數(shù)f（x）＝x2﹣3x求最大值代入極即可．
【解答過程】解：命題“?x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”為真命題 等價于a＞x2﹣3x在x∈[﹣1，1]上有解，
令f（x）＝x2﹣3x，x∈[﹣1，1]，則等價于a＞f（x）min＝f（1）＝﹣2，∴a＞﹣2，
故選：D．
7．（5分）（2021秋?贛州期末）已知p：|x|≤1，q：x＜a，若￢q是￢p的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）
【解題思路】由p：|x|≤1解得x∈[﹣1，1]，￢q是￢p的充分不必要條件?p是q的充分不必要條件，可知[﹣1，1]?（﹣∞，a），以此可解決此題．
【解答過程】解：由p：|x|≤1解得x∈[﹣1，1]，
￢q是￢p的充分不必要條件?p是q的充分不必要條件，
可知[﹣1，1]?（﹣∞，a），∴a＞1．
故選：C．
8．（5分）（2021秋?沙依巴克區(qū)校級期末）下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）
①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；
②命題“?x∈R，x2+1＜0”是全稱量詞命題；
③命題“?x∈R，x2+2x+1≤0”的否定為“?x∈R，x2+2x+1≤0”；
④命題“a＞b是ac2＞bc2的必要條件”是真命題．
A．0B．1C．2D．3
【解題思路】根據(jù)存在量詞命題、全稱量詞命題的概念，命題否定的求法，分析選項，即可得答案．
【解答過程】解：對于①：命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題，故①錯誤；
對于②：命題““?x∈R，x2+1＜0”是全稱量詞命題；故②正確；
對于③：命題p：?x∈R，x2+2x+1≤0，則￢p：?x∈R，x2+2x+1＞0，故③錯誤；
對于④：ac2＞bc2，∴c2≠0，即c2＞0，所以不等式兩邊同除以c2便得到a＞b，
∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要條件；④正確；
即正確的有2個，
故選：C．
二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
9．（5分）（2020秋?如皋市期末）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，則A∩B＝?的一個充分不必要條件是（ ）
A．m≤﹣2B．m＜﹣2C．m＜2D．﹣4＜m＜﹣3
【解題思路】根據(jù)充分不必要條件與集合包含關(guān)系之間的聯(lián)系即可求解．
【解答過程】解：設(shè)A∩B＝?的一個充分不必要條件是p，p對應(yīng)的集合為C，
當A∩B＝?時，m+1≤﹣1，解得m≤﹣2，所以C?（﹣∞，﹣2]
因此滿足條件的選項為B，D．
故選：BD．
10．（5分）（2021秋?遼源期末）下列存在量詞命題中，為真命題的是（ ）
A．?x∈Z，x2﹣2x﹣3＝0
B．至少有一個x∈Z，使x能同時被2和3整除
C．?x∈R，|x|＜0
D．有些自然數(shù)是偶數(shù)
【解題思路】選項A：解出方程的解即可判斷；選項B：舉特例如6即可判斷求解；選項C：根據(jù)絕對值的應(yīng)用即可判斷；選項D：舉特例如2，4，即可判斷．
【解答過程】解：選項A：因為方程x2﹣2x﹣3＝0的兩根為3和﹣1，所以x∈Z，故A正確；
選項B：因為6能同時被2和3整除，且6∈Z，故B正確；
選項C：根據(jù)絕對值的意義可得|x|≥0恒成立，不存在x滿足|x|＜0，故C錯誤；
選項D：2，4等既是自然數(shù)又是偶數(shù)，故D正確；
故選：ABD．
11．（5分）設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足A?B?I，則下列各式中正確的是（ ）
A．（?IA）∪B＝IB．（?IA）∪（?IB）＝I
C．A∩（?IB）＝?D．（?IA）∩（?IB）＝?IB
【解題思路】先畫出韋恩圖，據(jù)圖判斷各答案的正確性，或者利用特殊元素法．
【解答過程】解一：∵A、B、I滿足A?B?I，先畫出文氏圖，
根據(jù)韋恩圖可判斷出A、C、D都是正確的，
解二：設(shè)非空集合A、B、I分別為A＝{1}，
B＝{1，2}，I＝{1，2，3}且滿足A?B?I．
根據(jù)設(shè)出的三個特殊的集合A、B、I可判斷出A、C、D都是正確的，
故選：ACD．
12．（5分）（2021秋?遼寧月考）已知集合A＝{x|﹣7＜x＜﹣3}，B＝{x|a﹣5＜x＜1﹣2a}，下列說法正確的是（ ）
A．不存在實數(shù)a使得A?B
B．當a＝4時，B?A
C．當B?（?RA）時，a的取值范圍是a≥2
D．當2＜a＜3時，B?A
【解題思路】當a＝﹣10時可判斷選項A錯誤；當a＝4時，化簡B＝?，故選項B正確；由B?（?RA）知A∩B＝?，從而分三類討論解不等式即可；由2＜a＜3知B＝?，故選項D正確．
【解答過程】解：當a＝﹣10時，B＝{x|﹣15＜x＜21}，
故A?B，故選項A錯誤；
當a＝4時，B＝{x|﹣1＜x＜﹣7}＝?，
故B?A，故選項B正確；
∵B?（?RA），∴A∩B＝?，
∴a﹣5≥1﹣2a或﹣3≤a﹣5＜1﹣2a或a﹣5＜1﹣2a≤﹣7，
解得，a≥2，故選項C正確；
∵2＜a＜3，
∴a﹣5＞1﹣2a，∴B＝?，
B?A，故選項D正確；
故選：BCD．
三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
13．（5分）（2021秋?薌城區(qū)校級期末）命題“?x∈R，x≥1或x＞2”的否定是 ?x∈R，x＜1 ．
【解題思路】根據(jù)含有量詞的命題的否定，即可得到命題的否定．
【解答過程】解：特稱命題的否定是全稱命題，
∴命題“?x∈R，x≥1或x＞2”的等價條件為：“?x∈R，x≥1”，
∴命題的否定是：?x∈R，x＜1．
故答案為：?x∈R，x＜1．
14．（5分）（2021秋?溫州校級期中）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，則 （?RA）∩B＝ {2＜x＜3或7≤x＜10} ．若A?C，則a的取值范圍是 a≥7 ．
【解題思路】由A及全集R求出A的補集，找出A補集與B的交集即可；根據(jù)A為C的子集，確定出a的范圍即可．
【解答過程】解：∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，
∴?RA＝{x|x＜3或x≥7}，
∴（?RA）∩B＝{2＜x＜3或7≤x＜10}，
∵A?C，
∴a的范圍是a≥7，
故答案為：{2＜x＜3或7≤x＜10}；a≥7.
15．（5分）（2021秋?西寧期末）已知集合A＝{y|y＝x2?32x+1，x∈[34，2]}，B＝{x|x+m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為 (?∞，?34]∪[34，+∞) ．
【解題思路】直接利用充分條件和必要條件，恒成立問題，不等式的解法的應(yīng)用求出參數(shù)m的值．
【解答過程】解：對于集合A＝{y|y＝x2?32x+1，x∈[34，2]}，
故y=(x?34)2+716，由于x∈[34，2]，所以716≤y≤2．
由于“x∈A”是“x∈B”的充分條件，
所以m2≥（1﹣x）max恒成立；
即m2≥916，
整理得m的取值范圍為m∈(?∞，?34]∪[34，+∞)．
故答案為：(?∞，?34]∪[34，+∞)．
16．（5分）（2021?順義區(qū)二模）已知全集為U，P?U，定義集合P的特征函數(shù)為fP(x)=1，x∈P0，x∈CUP，對于A?U，B?U，給出下列四個結(jié)論：
①對?x∈U，有f?UA(x)+fA(x)=1；
②對?x∈U，若A?B，則fA（x）≤fB（x）；
③對?x∈U，有fA∩B（x）＝fA（x）?fB（x）；
④對?x∈U，有fA∪B（x）＝fA（x）+fB（x）．
其中，正確結(jié)論的序號是 ①、②、③ ．
【解題思路】利用特殊值法，先設(shè)出特殊的集合U，A，B，然后再驗證判斷四個命題的真假即可得出答案．
【解答過程】解：利用特殊值法進行求解．
設(shè)U＝{1，2，3}，A＝{1}，B＝{1，2}．那么：
對于①有fA（1）＝1，fA（2）＝0，fA（3）＝0，f?UA（1）＝0，f?UA（2）＝1，f?UA（3）＝1．可知①正確；
對于②有fA（1）＝1＝fB（1），fA（2）＝0＜fB（2）＝1，fA（3）＝fB（3）＝0可知②正確；
對于③有fA（1）＝1，fA（2）＝0，fA（3）＝0，fB（1）＝1，fB（2）＝1，fB（3）＝0，fA∩B（1）＝1，fA∩B（2）＝0，fA∩B（3）＝0．可知③正確；
對于④有fA（1）＝1，fA（2）＝0，fA（3）＝0，fB（1）＝1，fB（2）＝1，fB（3）＝0，fA∪B（1）＝1，fA∪B（2）＝1，fA∪B（3）＝0可知．④不正確；
故答案為：①、②、③．
四．解答題（共6小題，滿分70分）
17．（10分）（2021秋?廣平縣校級期中）判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：
（1）?x∈N，x3＞x2；
（2）所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0；
（3）?x0∈R，x02﹣x0+1≤0；
（4）存在一個四邊形，它的對角線互相垂直．
【解題思路】（1）全稱命題，為假命題．（2）全稱命題，為假命題．（3）特稱命題，假命題．（4）特稱命題真命題．
【解答過程】解：（1）全稱命題，當x＝0時，結(jié)論不成立，所以為假命題．命題的否定：?x∈N，x3≤x2
（2）全稱命題，所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0或5；為假命題．命題的否定：存在可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字不都是0；
（3）特稱命題，x02﹣x0+1=(x0?12)2+34≥34，所以結(jié)論不成立，為假命題．命題的否定：?x∈R，x2﹣x+1＞0．
（4）特稱命題，菱形的對角線互相垂直，真命題．命題的否定：任意的四邊形，它的對角線不互相垂直．
18．（12分）（2021秋?龍海市校級期中）已知p：A＝{x||2x+1|≤3 }，q：B＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．
【解題思路】由p：|2x+1|≤3?﹣2≤x≤1，由￢p是￢q的充分不必要條件，可得q是p的充分不必要條件，分類討論即可得出．
【解答過程】解：由p：|2x+1|≤3?﹣2≤x≤1，由q可得：1﹣m≤x≤1+m，
因為￢p是￢q的充分不必要條件，
所q是p的充分不必要條件，
當m＜0，此時1﹣m＞1+m，m＜0．
當m≥0時，1﹣m≤x≤1+m，且﹣2≤1﹣m，且1+m≤1，解得m＝0．
∴m≤0．
19．（12分）設(shè)A＝{a+2b||a2﹣2b2|＝1，a，b∈Z}，現(xiàn)有以下三個條件：
甲：x∈A且y∈A
乙：xy∈A
丙：1x∈A
求證：甲分別是乙和丙的充分條件．
【解題思路】根據(jù)元素之間的關(guān)系，利用充分條件的定義進行推理即可．
【解答過程】解：設(shè)x＝a+2b，y＝c+2d，則|a2﹣2b2|＝1，a，b∈Z，|c2﹣2d2|＝1，c，d∈Z
則xy＝（a+2b）（c+2d）＝（ac+2bd）+2（bc+ad），
∵（ac+2bd）2﹣2（bc+ad）2＝（a2﹣2b2）（c2﹣2d2），a，b，c，d∈Z，
∴|（ac+2bd）2﹣2（bc+ad）2|＝|（a2﹣2b2）（c2﹣2d2）|＝1，a，b，c，d∈Z，
即xy∈A，
1x=1a+2b=a?2ba2?2b2=aa2?2b2?2?(ba2?2b2)，
∵|a2﹣2b2|＝1，
∴若a2﹣2b2＝1，則1x=a?2b∈A，
若a2﹣2b2＝﹣1，則1x=?a+2b∈A，
∴甲分別是乙和丙的充分條件．
20．（12分）（2022?欽南區(qū)校級開學(xué)）集合A＝{x|x＝3n+1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n+2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n+3，n∈Z}
（1）若c∈C，是否存在a∈A，b∈B，使c＝a+b成立？
（2）對于任意a∈A，b∈B，是否一定有（a+b）∈C？請證明你的結(jié)論．
【解題思路】根據(jù)已知條件知：若a∈A，b∈B，則一定存在n1，n2∈z，使得a＝3n1+1，b＝3n2+1，所以a+b＝3（n1+n2）+3．而集合M的元素需滿足：x＝6n+3＝3?2n+3，顯然n1+n2不一定等于2n，所以不一定有a+b＝c且c∈C．
【解答過程】解：（1）∵a∈A，b∈B；
∴分別存在n1，n2∈z使得：a＝3n1+1，b＝3n2+2；
∴a+b＝3（n1+n2）+3；
而集合M中的條件是：x＝6n+3＝3?2n+3，
∴n1+n2＝2n，存在a∈A，b∈B，使c＝a+b成立；
（2）要使a+b∈C，則n1+n2＝2n，這顯然不一定；
∴不一定有a+b＝c且c∈C．
21．（12分）（2021秋?西城區(qū)校級期中）給定數(shù)集A．若對于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，則稱集合A為閉集合．
（Ⅰ）判斷集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}是否為閉集合，并給出證明；
（Ⅱ）若集合A，B為閉集合，則A∪B是否一定為閉集合？請說明理由；
（Ⅲ）若集合A，B為閉集合，且A?R，B?R．證明：（A∪B）?R．
【解題思路】（Ⅰ）根據(jù)新定義進行判斷，顯然4+4＝8?A，所以A不為閉集合和利用定義證明；
（Ⅱ）先依據(jù)新定義判斷出結(jié)論，再根據(jù)定義說明理由；
（Ⅲ）直接證明比較困難，因此運用反證法證明．
【解答過程】解：（I）因為4∈A，但是4+4＝8?A，所以，A不為閉集合；
任取a，b∈B，設(shè)a＝3m，b＝3n，m，n∈Z，
則a+b＝3m+3n＝3（m+n）且m+n∈Z
所以a+b∈B，
同理，a﹣b∈B，故B為閉集合． （4分）
（II）結(jié)論：不一定．
令A(yù)＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}，
則由（I）可知，A，B為閉集合，但2，3∈A∪B，2+3＝5?A∪B，
因此，A∪B不為閉集合． （6分）
（III）證明：（反證）若A∪B＝R．則因為A?R，存在a∈R且a?A，故a∈B．
同理，因為B?R，存在b∈R且b?B，故b∈A．
因為a+b∈R＝A∪B，所以，a+b∈A或a+b∈B．
若a+b∈A，則由A為閉集合，a＝（a+b）﹣b∈A，與a?A矛盾．
若a+b∈B，則由B為閉集合，b＝（a+b）﹣a∈B，與b?B矛盾．
綜上，存在c∈R，使得c?（A∪B）． （10分）
22．（12分）（2021秋?臨沂期中）在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件；③A∩B＝?這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題．
問題：已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}．
（1）當a＝2時，求A∪B；A∩（?RB）；
（2）若______，求實數(shù)a的取值范圍．
【解題思路】（1）根據(jù)集合的基本運算即可求解．
（2）根據(jù)題意，建立條件關(guān)系即可求出實數(shù)a的取值范圍．
【解答過程】解：（1）當a＝2時，集合A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，
∴?RB＝{x|x＞3或x＜﹣1}，
所以A∪B＝{x|﹣1≤x≤5}；A∩（?RB）＝{x|3＜x≤5}．
（2）若選擇①，A∪B＝B，則A?B，
當A＝?時，a﹣1＞2a+1解得a＜﹣2，
當A≠?，又A?B，B＝{x|﹣1≤x≤3}，
所以a?1≤2a+1a?1≥?12a+1≤3，解得0≤a≤1，
所以實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪[0，1]．
若選擇②，x∈A是x∈B的充分不必要條件，則A?B，
當A＝?時，a﹣1＞2a+1解得a＜﹣2，
當A≠?，又A?B，B＝{x|﹣1≤x≤3}，
則a?1≤2a+1a?1≥?12a+1＜3或a?1≤2a+1a?1＞?12a+1≤3，解得0≤a≤1，
所以實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪[0，1]．
若選擇③，A∩B＝?，
當A＝?時，a﹣1＞2a+1解得a＜﹣2，
當A≠?，又A∩B＝?，
則a?1≤2a+1a?1＞3或2a+1＜?1，解得a＞4，
所以實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．

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高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義練習(xí)專題4.13 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)全章綜合測試卷-提高篇（教師版）：

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