?2021年黑龍江省哈爾濱三中高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）
一、選擇題（共12小題）.
1．已知i為虛數(shù)單位，則|1+2i|＝（　?。?br /> A． B． C．3 D．5
2．設(shè)全集為R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，，則A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|0＜x＜2} C．? D．{x|1≤x＜2}
3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上靠近B的三等分點(diǎn)，則＝（　　）

A． B． C． D．
4．等比數(shù)列{an}中，a2＝2，a5＝﹣16，則數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和為（　?。?br /> A．21 B．﹣11 C．﹣21 D．11
5．某程序框圖如圖所示，若輸入的a＝4，，則輸出的n＝（　?。?br />
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知命題p：?x∈R，x2+x﹣1＞0；命題q：?x∈R，2x＞3x，則下列命題中為真命題的是（　　）
A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）
7．將甲、乙等4名交警隨機(jī)分配到兩個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通，每個(gè)路口兩人，則甲和乙不在同一路口的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
8．設(shè)m、n是兩條不同的直線，α是平面，m、n不在α內(nèi)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）
A．m⊥α，n∥α，則m⊥n B．m⊥α，n⊥α，則m∥n
C．m⊥α，m⊥n，則n∥α D．m⊥n，n∥α，則m⊥α
9．筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用．假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)將筒車(chē)抽象為一個(gè)幾何圖形，如圖所示，圓O的半徑為4米，P0在水平面上，盛水筒M從點(diǎn)P0處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，OP0與水平面的所成角為30°，且2分鐘恰好轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，則盛水筒M距離水面的高度H（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式是（　?。?br /> A． B．
C． D．
10．若sinα+cosα＝，α∈（0，π），則＝（　?。?br /> A．﹣3 B． C． D．3
11．已知橢圓E與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且，過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F2做傾斜角為的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，且，則λ可以?。ā　。?br /> A．4 B．5 C．7 D．8
12．已知函數(shù)，若的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，則實(shí)數(shù)a取值范圍為（　　）
A． B．
C． D．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．直線l：x﹣y＝0與圓C：（x﹣1）2+y2＝1交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|＝　 　．
14．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件，則z＝2x+3y的最大值為　 　．
15．已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且直線PB與CD所成角的余弦值為，則四棱錐P﹣ABCD的外接球表面積為　 ?。?br /> 16．在△ABC中，記角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，面積為S，則的最大值為　 ?。?br /> 三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分
17．已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a，8，4a+1，前n項(xiàng)的和為Sn，Sk＝366．
（1）求a及k的值；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足，且{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn．
18．已知梯形BFEC如圖1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，沿AD將四邊形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如圖2所示的幾何體．
（1）求證：平面AEC⊥平面BDE；
（2）求六面體EFABCD的體積．

19．寧夏西海固地區(qū)，在1972年被聯(lián)合國(guó)糧食開(kāi)發(fā)署確定為最不適宜人類(lèi)生存的地區(qū)之一．為改善這一地區(qū)人民生活的貧困狀態(tài)，上世紀(jì)90年代，黨中央和自治區(qū)政府決定開(kāi)始吊莊移民，將西海固地區(qū)的人口成批地遷移到更加適合生活的地區(qū)．為了幫助移民人口盡快脫貧，黨中央作出推進(jìn)東西部對(duì)口協(xié)作的戰(zhàn)略部署，其中確定福建對(duì)口幫扶寧夏，在福建人民的幫助下，原西海固人民實(shí)現(xiàn)了快速脫貧，如表是對(duì)2016年以來(lái)近5年某移民村莊100位移民的年人均收入的統(tǒng)計(jì)：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代碼
1
2
3
4
5
人均年收入 （千元）
1.3
2.8
5.7
8.9
13.8
（1）現(xiàn)要建立y關(guān)于x的回歸方程，有兩個(gè)不同回歸模型可以選擇，模型一：，模型二：，即使畫(huà)出y關(guān)于x的散點(diǎn)圖，也無(wú)法確定哪個(gè)模型擬合效果更好，現(xiàn)用最小二乘法原理，已經(jīng)求得模型一的方程為．請(qǐng)你用最小二乘法原理，結(jié)合下面的參考數(shù)據(jù)及參考公式求出模型二的方程（計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）；
（2）用計(jì)算殘差平方和的方法比較哪個(gè)模型擬合效果更好，已經(jīng)計(jì)算出模型一的殘差平方和為．
附：參考數(shù)據(jù)：，其中．
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，．
20．已知平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足|MF1|+|MF2|＝4．記M的軌跡為曲線E．
（1）請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求E的方程；
（2）過(guò)F2做直線l交曲線E于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)O是線段F1F2的中點(diǎn)，點(diǎn)C滿(mǎn)足，求△ABC面積的最大值，并求出此時(shí)直線l的方程．
21．已知函數(shù)f（x）＝ex+sinx．
（1）求曲線f（x）在點(diǎn)（0，f （0））處的切線方程；
（2）令g（x）＝f（x）﹣ax﹣1，當(dāng)a∈[1，2）時(shí)，證明：函數(shù)g（x）有2個(gè)零點(diǎn)．
選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（2cosθ+3sinθ）＝8．
（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
[選修4-5：不等式選講]
23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣3|．
（1）求不等式f（x）≤x+3的解集；
（2）若f（x）的最小值為m，正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a+b+c＝m，求證：．


參考答案
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知i為虛數(shù)單位，則|1+2i|＝（　　）
A． B． C．3 D．5
解：∵i為虛數(shù)單位，則|1+2i|＝＝，
故選：B．
2．設(shè)全集為R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，，則A∩B＝（　?。?br /> A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|0＜x＜2} C．? D．{x|1≤x＜2}
解：∵A＝{y|0＜y＜2}，B＝{x|x2﹣1≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥1}，
A∩B＝{x|1≤x＜2}．
故選：D．
3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上靠近B的三等分點(diǎn)，則＝（　?。?br />
A． B． C． D．
解：＝＝＝．
故選：C．
4．等比數(shù)列{an}中，a2＝2，a5＝﹣16，則數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和為（　?。?br /> A．21 B．﹣11 C．﹣21 D．11
解：根據(jù)題意，等比數(shù)列{an}中，其公比為q，
若a2＝2，a5＝﹣16，則q3＝＝﹣8，則q＝﹣2，
則a1＝＝﹣1，
則S6＝＝21，
故選：A．
5．某程序框圖如圖所示，若輸入的a＝4，，則輸出的n＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
解：第一次執(zhí)行循環(huán)體后，a＝3，b＝1，滿(mǎn)足退出循環(huán)的條件；
第二次執(zhí)行循環(huán)體后，n＝2,a＝，b＝3，不滿(mǎn)足退出循環(huán)的條件；
第三次執(zhí)行循環(huán)體后，n＝3，a＝，b＝9，滿(mǎn)足退出循環(huán)的條件．
故輸出n值為3．
故選：B．
6．已知命題p：?x∈R，x2+x﹣1＞0；命題q：?x∈R，2x＞3x，則下列命題中為真命題的是（　?。?br /> A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）
解：∵判別式△＝1﹣4（﹣1）＝5＞0，∴?x∈R，x2+x﹣1＞0不成立，即命題p是假命題，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，2﹣1＞3﹣1，即命題q：?x∈R，2x＞3x，是真命題，
則（￢p）∨q是真命題，其余為假命題，
故選：C．
7．將甲、乙等4名交警隨機(jī)分配到兩個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通，每個(gè)路口兩人，則甲和乙不在同一路口的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
解：將甲、乙等4名交警隨機(jī)分配到兩個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通，每個(gè)路口兩人，
基本事件總數(shù)n＝＝6,
甲和乙不在同一路口包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝＝4,
則甲和乙不在同一路口的概率為P＝＝＝．
故選：C．
8．設(shè)m、n是兩條不同的直線，α是平面，m、n不在α內(nèi)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．m⊥α，n∥α，則m⊥n B．m⊥α，n⊥α，則m∥n
C．m⊥α，m⊥n，則n∥α D．m⊥n，n∥α，則m⊥α
解：對(duì)于A，若m⊥α，則m垂直α內(nèi)的所有直線，又n∥α，則α內(nèi)有直線與n平行，則m⊥n，故A正確；
對(duì)于B，若m⊥α，n⊥α，由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得m∥n，故B正確；
對(duì)于C，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，又n?α，∴n∥α，故C正確；
對(duì)于D，若m⊥n，n∥α，則m∥α或m與α相交或m?α，而m?α，則m∥α或m與α相交，故D錯(cuò)誤．
故選：D．
9．筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用．假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)將筒車(chē)抽象為一個(gè)幾何圖形，如圖所示，圓O的半徑為4米，P0在水平面上，盛水筒M從點(diǎn)P0處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，OP0與水平面的所成角為30°，且2分鐘恰好轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，則盛水筒M距離水面的高度H（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式是（　　）
A． B．
C． D．
解：以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的水平直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
∵∠x(chóng)OP0＝30°＝，∴OM在 t（s） 內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角為，
∴以x軸為始邊，以O(shè)M為終邊的角為，
則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4sin()，
∴點(diǎn)M距水面的高度H（m）表示為時(shí)間 t（s） 的函數(shù)是H＝4sin()+2，
故選：A．

10．若sinα+cosα＝，α∈（0，π），則＝（　?。?br /> A．﹣3 B． C． D．3
解：因?yàn)閟inα+cosα＝，
所以sin2α+cos2α＝sin2α+（﹣sinα)2＝1，可得25sin2α﹣5sinα﹣12＝0，解得sinα＝，或﹣,
因?yàn)棣痢剩?，π），
解得sinα＝，cosα＝﹣＝﹣,
則＝＝＝＝＝﹣3．
故選：A．
11．已知橢圓E與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且，過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F2做傾斜角為的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，且，則λ可以取（　?。?br /> A．4 B．5 C．7 D．8
解：設(shè)橢圓E的方程為+＝1(a＞b＞0),
雙曲線的焦點(diǎn)F1(﹣,0),F2(,0),
可得a2﹣b2＝3,
，即PF1⊥PF2,
設(shè)|PF1|＝m,|PF2|＝n,則m+n＝2a,|m﹣n|＝2,m2+n2＝12,
可得4a2＝12+4＝16,解得a＝2,b＝1,
則橢圓的方程為+y2＝1,
過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F2做傾斜角為的直線方程為y＝x﹣1,
聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y可得7x2﹣8x＝0,
解得x1＝0,x2＝,
可得交點(diǎn)為(0,﹣1),(,),
可得|AB|＝＝,
|AF2|＝＝2或＝,
則λ＝＝或8,
故選：D．
12．已知函數(shù)，若的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，則實(shí)數(shù)a取值范圍為（　?。?br /> A． B．
C． D．
解：函數(shù)，
作出f（x）的圖象，
令f（x）＝t，那么F（x）轉(zhuǎn)化為g（t）＝t2﹣2at+
要使t2﹣2at+＝0零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，
結(jié)合f（x）的圖象，可知0＜t1≤1，0＜t2＜1，
或t1＞2且t2＞2或0＜t1≤1且t2＞2．
令g（t）＝t2﹣2at+，
根據(jù)二次函數(shù)根的分布，
可得或或，
即或或，
解得：．
故選：D．

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．直線l：x﹣y＝0與圓C：（x﹣1）2+y2＝1交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|＝　?。?br /> 解：圓C的圓心坐標(biāo)為C（1，0），半徑r＝1，
圓心到直線x﹣y＝0的距離d＝，
∴|AB|＝2．
故答案為：．
14．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件，則z＝2x+3y的最大值為　15?。?br /> 解：由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立，解得A（3，3），
由z＝2x+3y，得y＝，由圖可知，當(dāng)直線y＝過(guò)A時(shí)，
直線在y軸上的截距最大，z有最大值為15，
故答案為：15．
15．已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且直線PB與CD所成角的余弦值為，則四棱錐P﹣ABCD的外接球表面積為　6π　．
解：如圖，

∵側(cè)棱PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，
∵AB∥CD，∴∠PBA為直線PB與CD所成角，則cos∠PBA＝，
在Rt△PAB中，由AB＝2，cos∠PBA＝，
得PB＝，則PA＝＝，
則外接球的半徑為R＝OA＝＝＝．
∴四棱錐P﹣ABCD的外接球表面積為．
故答案為：．
16．在△ABC中，記角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，面積為S，則的最大值為　?。?br /> 解：根據(jù)題意，在△ABC中，
＝＝，
又由a2+c2≥2ac，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)等號(hào)成立，
則＝≤＝，
設(shè)t＝，變形可得4tcosB+sinB＝12t，
則有sin（B+θ）＝1，tanθ＝4t，
又由sin（B+θ）≤1，則≥1，
解可得t≤，當(dāng)其僅當(dāng)cosB＝時(shí)等號(hào)成立．
則有≤＝≤，即的最大值為，
故答案為：．
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分
17．已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a，8，4a+1，前n項(xiàng)的和為Sn，Sk＝366．
（1）求a及k的值；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足，且{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn．
解：（1）等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a，8，4a+1，
故：a+4a+1＝16，
解得a＝3，
公差d＝8﹣3＝5，
所以an＝3+5×（n﹣1）＝5n﹣2，
由于Sk＝366，
整理得，
故5k2+k﹣732＝0，
即（5k+61）（k﹣12）＝0，
解得k＝12，（負(fù)值舍去）．
（2）數(shù)列{bn}滿(mǎn)足＝，
所以＝．
18．已知梯形BFEC如圖1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，沿AD將四邊形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如圖2所示的幾何體．
（1）求證：平面AEC⊥平面BDE；
（2）求六面體EFABCD的體積．

解：（1）證明：∵平面EDAF⊥平面ABCD，DE?平面EDAF，平面EDAF∩平面ABCD＝AD，DE⊥AD，
∴DE⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，
∴DE⊥AC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵DE、BD?平面BDE，DE∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDE，
∵AC?平面ACE，
∴平面AEC⊥平面BDE；
（2）由（1）可得ED⊥平面ACD,AB⊥平面EDAF,
則六面體EFABCD的體積為VE﹣BCD+VB﹣EDAF＝?ED?S△BCD+?AB?S四邊形EDAF
＝×2××1×1+×1××(1+2)×1＝．
19．寧夏西海固地區(qū)，在1972年被聯(lián)合國(guó)糧食開(kāi)發(fā)署確定為最不適宜人類(lèi)生存的地區(qū)之一．為改善這一地區(qū)人民生活的貧困狀態(tài)，上世紀(jì)90年代，黨中央和自治區(qū)政府決定開(kāi)始吊莊移民，將西海固地區(qū)的人口成批地遷移到更加適合生活的地區(qū)．為了幫助移民人口盡快脫貧，黨中央作出推進(jìn)東西部對(duì)口協(xié)作的戰(zhàn)略部署，其中確定福建對(duì)口幫扶寧夏，在福建人民的幫助下，原西海固人民實(shí)現(xiàn)了快速脫貧，如表是對(duì)2016年以來(lái)近5年某移民村莊100位移民的年人均收入的統(tǒng)計(jì)：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代碼
1
2
3
4
5
人均年收入 （千元）
1.3
2.8
5.7
8.9
13.8
（1）現(xiàn)要建立y關(guān)于x的回歸方程，有兩個(gè)不同回歸模型可以選擇，模型一：，模型二：，即使畫(huà)出y關(guān)于x的散點(diǎn)圖，也無(wú)法確定哪個(gè)模型擬合效果更好，現(xiàn)用最小二乘法原理，已經(jīng)求得模型一的方程為．請(qǐng)你用最小二乘法原理，結(jié)合下面的參考數(shù)據(jù)及參考公式求出模型二的方程（計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）；
（2）用計(jì)算殘差平方和的方法比較哪個(gè)模型擬合效果更好，已經(jīng)計(jì)算出模型一的殘差平方和為．
附：參考數(shù)據(jù)：，其中．
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，．
解：（1）令ti＝，則，
∴＝＝(12+22+32+42+52)＝11,＝(1.3+2.8+5.7+8.9+13.8)＝6.5，
＝≈0.5，＝＝6.5﹣0.52×11＝0.78≈0.8，
∴．
（2）當(dāng)x＝1時(shí)，＝0.5×12+0.8＝1.3，
當(dāng)x＝2時(shí)，＝0.5×22+0.8＝2.8，
當(dāng)x＝3時(shí)，＝0.5×32+0.8＝5.3，
當(dāng)x＝4時(shí)，＝0.5×42+0.8＝8.8，
當(dāng)x＝5時(shí)，＝0.5×52+0.8＝13.3，
模型二的殘差平方和為＝（1.3﹣1.3）2+（2.8﹣2.8）2+（5.7﹣5.3）2+（8.9﹣8.8）2+（13.8﹣13.3）2＝0.42，
∵0.42＜3.7，∴模型二的擬合效果更好．
20．已知平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足|MF1|+|MF2|＝4．記M的軌跡為曲線E．
（1）請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求E的方程；
（2）過(guò)F2做直線l交曲線E于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)O是線段F1F2的中點(diǎn)，點(diǎn)C滿(mǎn)足，求△ABC面積的最大值，并求出此時(shí)直線l的方程．
【解答】（1）M滿(mǎn)足|MF1|+|MF2|＝4＞|F1F2|,
根據(jù)橢圓的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡為橢圓，
以F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線F1F2為x軸，以過(guò)F1F2的中點(diǎn)且垂直F1F2的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，所?c＝，
因?yàn)閨MF1|+|MF2|＝4，所以2a＝4，
,所以b2＝a2﹣c2＝1,
故E的方程為．
（2），設(shè)直線，A（x1，y1），B（x2，y2），
，直線l代入得：
由于△＝16（m2+1）＞0恒成立，
則有，，
，
點(diǎn)O到直線l的距離．
則，
當(dāng)且僅當(dāng)：，即時(shí)取等號(hào)，
又由于，知，
此時(shí)．
21．已知函數(shù)f（x）＝ex+sinx．
（1）求曲線f（x）在點(diǎn)（0，f （0））處的切線方程；
（2）令g（x）＝f（x）﹣ax﹣1，當(dāng)a∈[1，2）時(shí)，證明：函數(shù)g（x）有2個(gè)零點(diǎn)．
解：（1）f（x）＝ex+sinx，則f′（x）＝ex+cosx，
則f（0）＝1，f′（0）＝2，故切線方程是：y﹣1＝2x即y＝2x+1；
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，g（0）＝e0﹣0﹣1+sin0＝0，
∴x＝0是g（x）的一個(gè)零點(diǎn)，
由g'（x）＝ex﹣a+cosx，可得g''（x）＝ex﹣sinx，因?yàn)?≤a＜2，
①當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，ex＞1，∴g''（x）＞1﹣sinx≥0，
∴g'（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴g'（x）＞g'（0）＝2﹣a＞0，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴g（x）＞g（0）＝0，
此時(shí)g（x）在（0，+∞）無(wú)零點(diǎn)；
②當(dāng)x∈（﹣∞，﹣π]時(shí)，﹣ax≥π，
有g(shù)（x）＝ex﹣ax+sinx﹣1≥ex+π+sinx﹣1＞0，
此時(shí)g（x）在（﹣∞，﹣π]無(wú)零點(diǎn)；
③當(dāng)x∈（﹣π，0）時(shí)，sinx＜0，g''（x）＝ex﹣sinx＞0，
∴g'（x）在（﹣π，0）單調(diào)遞增，
又g'（0）＝2﹣a＞0，g'（﹣π）＝e﹣π﹣1﹣a＜0，
由零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一x0∈（﹣π，0），使得g'（x0）＝0，
當(dāng)x∈（﹣π，x0）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（﹣π，x0）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x0，0）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（x0，0）單調(diào)遞增，
又g（﹣π）＝e﹣π+aπ﹣1＞0，g（x0）＜g（0）＝0，
所以g（x）在（﹣π，0）上有1個(gè)零點(diǎn)，
綜上，當(dāng)1≤a＜2時(shí)，g（x）有2個(gè)零點(diǎn)．
選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（2cosθ+3sinθ）＝8．
（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】（1）設(shè)曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為普通方程為．
直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（2cosθ+3sinθ）＝8，根據(jù)，直線l 直角坐標(biāo)方程為2x+3y﹣8＝0．
（2）由參數(shù)方程設(shè)點(diǎn) P（2cosθ，sin θ ），
則點(diǎn) P 到直線l 的距離為d＝，其中
所以，此時(shí)，
所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 P．
[選修4-5：不等式選講]
23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣3|．
（1）求不等式f（x）≤x+3的解集；
（2）若f（x）的最小值為m，正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a+b+c＝m，求證：．
解：（1）∵f（x）＝|x+1|+|x﹣3|，f（x）≤x+3，
∴當(dāng) x≤﹣1時(shí)，2﹣2x≤x+3?x≥，∴無(wú)解；
當(dāng)﹣1＜x≤3時(shí)，x≥1，∴1≤x≤3；
當(dāng) x＞3 時(shí)，2x﹣2≤x+3?x≤5，∴無(wú)解；
綜上，不等式的解集為{x|1≤x≤3}．
（2）證明：∵f（x）＝|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x+3|＝4，∴m＝4，
∴a+b+c＝m＝4，
＝
＝
≥＝，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
∴．


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