一、選擇題（每小題5分，共50分）
1．（5分）設．若，則
A．B．C．1D．2
2．（5分）向量，，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若為與同方向的單位向量，則
A．1.5B．2C．D．
3．（5分）已知，，，則
A．B．C．D．4
4．（5分）已知，則
A．B．C．D．
5．（5分）已知，是單位向量，，若，則
A．3B．C．D．
6．（5分）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①函數(shù)是周期為的偶函數(shù)；
②函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
③函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；
④將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象與的圖象重合．
其中，所有正確結(jié)論的序號是
A．①③B．②③C．①④D．②④
7．（5分）在中，，，，則
A．B．C．6D．5
8．（5分）已知，，則“存在使得”是“”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
9．（5分）已知梯形中，，，且，，，若點滿足，則
A．B．C．D．
10．（5分）已知是邊長為1的等邊三角形，點、分別是邊、的中點，連接并延長到點，使得，則的值為
A．B．C．D．
二、填空題（挴小題5分，共25分）
11．（5分）已知向量，，且，則 ．
12．（5分）已知復數(shù)是虛數(shù)單位）在復平面上表示的點在第四象限，且，則 ．
13．（5分）已知，則 ．
14．（5分）若實數(shù)，滿足方程組，則的一個值是 ．
15．（5分）《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大正方形，若如圖所示的角，且小正方形與大正方形的面積之比為，則的值為 ．
三、解答題
16．（15分）在平面直角坐標系中，已知點，，．
（1）若，求點的坐標；
（2）設實數(shù)滿足，求實數(shù)的值．
17．（15分）已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（15分）已知函數(shù)的最小值為，圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，圖象的一個對稱中心為．
（1）確定的解析式；
（2）若圖象的對稱軸只有一條落在區(qū)間，上，求的取值范圍．
19．（15分）在中，．
（Ⅰ）求的大?。?br>（Ⅱ）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使得存在，求的面積．
條件①：；
條件②：；
條件③：．
20．（15分）設為正整數(shù)，集合，，，，，，2，，，對于集合中的任意元素，，，和，，，記，．
（Ⅰ）當時，若，1，，，1，，求和的值；
（Ⅱ）當時，設是的子集，且滿足：對于中的任意元素，，當，相同時，是奇數(shù)；當，不同時，是偶數(shù)．求集合中元素個數(shù)的最大值；
（Ⅲ）給定不小于2的，設是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同的元素，，，寫出一個集合，使其元素個數(shù)最多，并說明理由．
參考答案
一、選擇題（每小題5分，共50分）
1．【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)相等的條件列式求解值．
【解答】解：由，
得，
，解得．
故選：．
【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)相等的條件，是基礎題．
2．【分析】利用已知條件表示，然后求解向量的數(shù)量積即可．
【解答】解：建立坐標系如圖，，，
，，．
故選：．
【點評】本題考查向量的數(shù)量積的求法與應用，是基礎題．
3．【分析】根據(jù)模的運算公式代入計算即可．
【解答】解：，
故選：．
【點評】本題考查向量模的運算公式，平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，屬于基礎題．
4．【分析】由題意利用二倍角的正弦公式，求得的值．
【解答】解：已知，平方可得，
則，
故選：．
【點評】本題主要考查二倍角的正弦公式的應用，屬于基礎題．
5．【分析】由向量垂直得，從而，由此能求出．
【解答】解：，是單位向量，，，
，
，
．
故選：．
【點評】本題考查向量的模的求法，考查向量垂直的性質(zhì)、向量的模等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
6．【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的周期性，單調(diào)性，誘導公式可以直接判斷．
【解答】解：由，所以不是偶函數(shù)，故①錯誤；
因，所以，，而余弦函數(shù)在，上單調(diào)遞減，故②正確；
因，所以，，所以的最小值為，故③錯誤；
將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，，故④正確；
故選：．
【點評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的誘導公式，屬于基礎題．
7．【分析】直接利用正弦定理和余弦定理的應用求出結(jié)果．
【解答】解：在中，，
利用正弦定理得：，
所以，解得，
利用余弦定理，
故．
故選：．
【點評】本題考查的知識要點：正弦定理，余弦定理的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．
8．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，分別討論為偶數(shù)和奇數(shù)時，是否成立即可．
【解答】解：當，為偶數(shù)時，，此時，
當，為奇數(shù)時，，此時，即充分性成立，
當，則，或，，即，即必要性成立，
則“存在使得”是“”的充要條件，
故選：．
【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合三角函數(shù)值的性質(zhì)，利用分類討論思想進行判斷是解決本題的關鍵．難度不大．
9．【分析】建立坐標系，求出各點坐標進行計算．
【解答】解：以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系如圖所示：
則，，，又，
，，，，
．
故選：．
【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，坐標法可使計算簡便．
10．【分析】由題意畫出圖形，把、都用表示，然后代入數(shù)量積公式得答案．
【解答】解：如圖，
、分別是邊、的中點，且，
．
故選：．
【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查向量加減法的三角形法則，是中檔題．
二、填空題（挴小題5分，共25分）
11．【分析】則，代入，，解方程即可．
【解答】解：由向量，，且，
得，
．
故答案為：8．
【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積與垂直的關系，屬基礎題．
12．【分析】由題意可得，由可得的方程，解方程可得．
【解答】解：由題意可得，
，
解得或（舍去）
故答案為：
【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的運算，屬基礎題．
13．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式以及兩角和差的正切公式進行計算即可．
【解答】解：，
，
則，
故答案為：．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)值的計算，利用兩角和差的正切公式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵．
14．【分析】直接利用三角函數(shù)關系式的變換的應用求出結(jié)果．
【解答】解：實數(shù)，滿足方程組，
則，
由于，
所以，
整理得，
故可以取．
故答案為：0．
【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．
15．【分析】根據(jù)題意設小正方形的邊長為1，表示出小直角三角形的三邊長，利用面積和列方程求出的值，再求的值．
【解答】解：因為小正方形與大正方形面積之比為，
設小正方形的邊長為1，則大正方形邊長為2，
由題意可得，小直角三角形的三邊分別為，，2，
因為4個小直角三角形全等，所以，
即，
所以，即，
整理得，
解得，
又因為，所以．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了直角三角形中的邊角關系以及三角函數(shù)求值問題，是中檔題．
三、解答題
16．【分析】（1）設，根據(jù)列方程計算，即可；
（2）求出，，再計算的值．
【解答】解：（1）設，則，，
，，解得，
，．
（2），，，
，，
即，．
【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，向量的坐標運算，屬于基礎題．
17．【分析】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求的值，進而利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和的正弦函數(shù)公式即可計算得解．
（2）由（1）利用二倍角公式可得，的值，進而利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計算得解．
【解答】解：（1），，．
，
．
（2）由（1）可得：，
故．
【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，特殊角的三角函數(shù)值及兩角和的正弦函數(shù)公式，二倍角公式，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．
18．【分析】（1）由三角函數(shù)的圖象特征求函數(shù)表達式即可；
（2）令得，從而可得，，，，從而解得．
【解答】解：（1）函數(shù)的最小值為，
，
圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，
，
，
故，
又的圖象的一個對稱中心為，
，
又，
，
故；
（2）令得，
，
圖象的對稱軸只有一條落在區(qū)間，上，
，，，，
故，
故的取值范圍為，．
【點評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用，屬于中檔題．
19．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，即可得解；
（Ⅱ）選擇條件①②：易知，再由，計算可得，故不存在；
選擇條件①③：利用正弦定理可得，與“大邊對大角”不符合，故不存在；
選擇條件②③：先利用正弦定理求得，再由，計算的值，最后根據(jù)，得解．
【解答】解：（Ⅰ）因為，所以，
由余弦定理知，，
因為，所以．
（Ⅱ）選擇條件①②：，，
因為，所以，所以，
所以，
故不存在．
選擇條件①③：，，
因為，所以，所以，
由正弦定理知，，即，
所以，
故不存在．
選擇條件②③：，，
由正弦定理知，，即，所以，
所以，
所以的面積為．
【點評】本題考查解三角形與三角函數(shù)的綜合，熟練掌握正弦定理、余弦定理、兩角和差公式等是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
20．【分析】（Ⅰ）直接根據(jù)定義計算．
（Ⅱ）注意到1的個數(shù)的奇偶性，根據(jù)定義反證證明．
（Ⅲ）根據(jù)抽屜原理即可得證．
【解答】解：，，．
考慮數(shù)對，只有四種情況：、、、，相應的分別為0、0、0、1，
所以中的每個元素應有奇數(shù)個1，
所以中的元素只可能為（上下對應的兩個元素稱之為互補元素）
，0，0，、，1，0，、，0，1，、，0，0，，
，1，1，、，0，1，、，1，0，、，1，1，，
對于任意兩個只有1個1的元素，都滿足是偶數(shù)，
所以四元集合，0，0，、，1，0，、，0，1，、，0，0，滿足題意，
假設中元素個數(shù)大于等于4，就至少有一對互補元素，
除了這對互補元素之外還有至少1個含有3個1的元素，
則互補元素中含有1個1的元素與之滿足不合題意，
故中元素個數(shù)的最大值為4．
（Ⅲ），0，0，，，0，，，，1，0，，，0，，
，0，0，，，
此時中有個元素，下證其為最大．
對于任意兩個不同的元素，，滿足，則，中相同位置上的數(shù)字不能同時為1，
假設存在有多于個元素，由于，0，0，，與任意元素都有，
所以除，0，0，，外至少有個元素含有1，
根據(jù)元素的互異性，至少存在一對，滿足，此時不滿足題意，
故中最多有個元素．
【點評】本題主要考查集合的含義與表示、集合的運算以及集合之間的關系．綜合性較強，難度較大．

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