一、選擇題：本大題共10道小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目的要求．把正確答案涂寫在答題卡上相應(yīng)的位置．
1. 值為（ ）
A. B. C. D.
2. 扇形半徑為10cm，面積為，則扇形的弧所對的圓心角為（ ）
A. 2弧度B. 2π弧度C. 10弧度D. 2°
3. 若，且，則α＝（ ）
A. B. C. D.
4. 要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)y＝sin 2x的圖象（ ）
A. 向左平行移動個單位B. 向左平行移動個單位
C. 向右平行移動個單位D. 向右平行移動個單位
5. 在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，若，且，則的終邊位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
6. 已知 ，若，則的值為（ ）
A. B. C. D.
7. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知等邊邊長為，點(diǎn)在邊上，且，.下列結(jié)論中錯誤的是
A. B. C. D.
9. 設(shè)，是兩個不共線向量，則“與夾角為鈍角”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
10. 設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題紙相應(yīng)的橫線上．
11. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，若向量，則實(shí)數(shù)k＝______．
12. 若函數(shù)為偶函數(shù)，則常數(shù)的一個取值為________．
13. 函數(shù)，當(dāng)x＝______時(shí)，f（x）的最大值為______．
14. 欲測量河寬即河岸之間的距離（河的兩岸可視為平行），受地理?xiàng)l件和測量工具的限制，采用如下辦法：如圖所示，在河的一岸邊選擇A，B兩個觀測點(diǎn)，觀察對岸的點(diǎn)C，測得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，AB＝120米，由此可得河寬約為______米．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，sin75°≈0.97）
15. 已知是平面上一點(diǎn)，，．
①若，則____；
②若，則的最大值為____．
三、解答題：本大題共6道題，共85分．請?jiān)诖痤}卡的相應(yīng)位置寫出解答過程．
16. 已知，．
（1）求tan 2α的值；
（2）求的值．
17. 已知平面向量，，若，，．
（1）求的值；
（2）設(shè)，，求的值．
18. 已知
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在區(qū)間上的最值，并說明取得最值時(shí)對應(yīng)的x值．
19. 在中，若
（1）求角的大小
（2）若，，求的面積．
20. 如圖，△ABC中，AB＝4，AC＝3，A＝60°．
（1）求sin∠ABC的值；
（2）設(shè)點(diǎn)D，E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)記AD＝x，DE＝y(tǒng)．若△ADE的面積總保持是△ABC面積的一半，求函數(shù)z＝xy的最小值．
21. 若實(shí)數(shù)x，y，m滿足，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若0比sinx遠(yuǎn)離，求x的取值范圍；
（2）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋稳?，f（x）為sinx與csx中遠(yuǎn)離0的值．
①求出f（x）的解析式；
②寫出f（x）的周期，對稱軸方程，并指出最大值點(diǎn)．（只需寫出結(jié)論，不要求證明）
參考答案
一、選擇題：本大題共10道小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目的要求．把正確答案涂寫在答題卡上相應(yīng)的位置．
1. 的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解
【詳解】
故選：B
2. 扇形的半徑為10cm，面積為，則扇形的弧所對的圓心角為（ ）
A 2弧度B. 2π弧度C. 10弧度D. 2°
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)扇形的面積公式求解即可.
【詳解】，
，
解得（弧度），
故選：A
3. 若，且，則α＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)中特殊角的正切值求解.
【詳解】，，
.
故選：C
4. 要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)y＝sin 2x的圖象（ ）
A 向左平行移動個單位B. 向左平行移動個單位
C. 向右平行移動個單位D. 向右平行移動個單位
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，即可求解.
【詳解】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)向左平移個單位，
可得函數(shù).
故選：B.
5. 在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，若，且，則的終邊位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件解三角不等式即可求解.
【詳解】由，得或，,
由，得，，
綜上所述，的終邊位于第三象限.
故選：C.
6. 已知 ，若，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)均值不等式及余弦函數(shù)的有界性求出，求出即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以,
因此 ，
故選：A
7. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由圖象可以求出周期，得到，根據(jù)圖象過點(diǎn)可求，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.
【詳解】由圖象知，
所以，，
又圖象過點(diǎn)，
所以，
故可取，
所以
令，
解得
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用“五點(diǎn)法”求函數(shù)解析式，屬于中檔題.
8. 已知等邊邊長為，點(diǎn)在邊上，且，.下列結(jié)論中錯誤的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦定理計(jì)算出，結(jié)合正弦定理等三角形知識可對各選項(xiàng)的正誤進(jìn)行判斷.
【詳解】如下圖所示：
點(diǎn)在邊上，且，，
由余弦定理得，整理得，
，解得，，則，
由正弦定理得，所以，.
由余弦定理得，同理可得，
則.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查三角形線段長、面積以及三角函數(shù)值比值的計(jì)算，涉及余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
9. 設(shè)，是兩個不共線向量，則“與的夾角為鈍角”是“”的（ ）
A 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式和夾角公式，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】若，
可得，
因?yàn)椋莾蓚€不共線向量，所以，所以，
所以，所以，
又由，是兩個不共線向量，可得，
即與的夾角為鈍角，所以必要性成立；
由向量與的夾角為鈍角，不妨設(shè)，
可得，此時(shí)，
所以與不垂直，即充分性不成立，
所以“與的夾角為鈍角”是“”的必要不充分條件.
故選: B.
10. 設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
畫出函數(shù)圖像，根據(jù)題中條件，得到函數(shù)與直線有三個不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖像可得，，，進(jìn)而可求出結(jié)果.
【詳解】畫出函數(shù)的圖像如下，
因?yàn)楹瘮?shù)恰有三個零點(diǎn)，
則函數(shù)與直線有三個不同的交點(diǎn)，
由圖像可得，，關(guān)于直線對稱，
則，，
因此.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖像的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的方法研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于?？碱}型.
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題紙相應(yīng)的橫線上．
11. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，若向量，則實(shí)數(shù)k＝______．
【答案】7
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直，利用數(shù)量積計(jì)算即可.
【詳解】， ，
，即，解得.
故答案為：7
12. 若函數(shù)為偶函數(shù)，則常數(shù)的一個取值為________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)有，化簡得對任意恒成立，所以有，取其中一個值即可得出答案.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則
所以
所以
等價(jià)于對任意恒成立，所以，
所以，所以常數(shù)的一個取值為.
故答案為：（答案不唯一）
【點(diǎn)睛】應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法
（1）求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；
（2）求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于的方程(組)，從而得到的解析式；
（3）求函數(shù)解析式中參數(shù)的值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值；
（4）畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性：利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.
13. 函數(shù)，當(dāng)x＝______時(shí)，f（x）的最大值為______．
【答案】 ①. ； ②. ##0.5
【解析】
【分析】由平方關(guān)系轉(zhuǎn)化為的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)知識可得最大值．
【詳解】所以時(shí)，，此時(shí)．
故答案為：；．
14. 欲測量河寬即河岸之間的距離（河的兩岸可視為平行），受地理?xiàng)l件和測量工具的限制，采用如下辦法：如圖所示，在河的一岸邊選擇A，B兩個觀測點(diǎn)，觀察對岸的點(diǎn)C，測得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，AB＝120米，由此可得河寬約為______米．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，sin75°≈0.97）
【答案】95
【解析】
【分析】利用正弦定理計(jì)算，得出的面積，根據(jù)面積求出到的距離即可．
【詳解】如圖，
在中，，
由正弦定理得：，
，
，
到的距離（米）．
故答案為：95
15. 已知是平面上一點(diǎn)，，．
①若，則____；
②若，則的最大值為____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【詳解】 由題意，（1）中，因?yàn)?，所以為線段的三等分點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，如圖所示，
則，
（2）中，因?yàn)椋?br>所以，
如圖所示，當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)取得最大值，
此時(shí)最大值為，所以最大值為．
點(diǎn)睛：本題考查了平面向量的線性運(yùn)算法則和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，對于平面向量的計(jì)算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡的妙用，利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．
三、解答題：本大題共6道題，共85分．請?jiān)诖痤}卡的相應(yīng)位置寫出解答過程．
16. 已知，．
（1）求tan 2α的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，得到，結(jié)合正切的倍角公式，即可求解；
（2）由（1）得到，化簡得到原式，即可求解.
【小問1詳解】
解：因?yàn)?，可得?br>又因?yàn)?，所以，可得?br>又由.
【小問2詳解】
解：由，，可得，
又由.
17. 已知平面向量，，若，，．
（1）求的值；
（2）設(shè)，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合模的數(shù)量積表示求解即可；
（2）結(jié)合（1）計(jì)算，，，再根據(jù)向量夾角公式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
解：因?yàn)?，，?br>所以，解得.
【小問2詳解】
解：因?yàn)?，?br>所以，，
，
所以.
18. 已知
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在區(qū)間上的最值，并說明取得最值時(shí)對應(yīng)的x值．
【答案】（1）；
（2）答案見解析； （3）答案見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡，由周期公式求解；
（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間；
（3）由求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可.
【小問1詳解】
，
【小問2詳解】
由，
令，解得，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問3詳解】
當(dāng)時(shí)，，
所以，所以，
即，
當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，.
19. 在中，若
（1）求角的大小
（2）若，，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理得到，再次利用余弦定理得到，得到答案.
（2）根據(jù)余弦定理得到，再利用面積公式計(jì)算得到答案.
【小問1詳解】
由余弦定理得，化簡得：，
，，故.
【小問2詳解】
，故，，
.
20. 如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，A＝60°．
（1）求sin∠ABC的值；
（2）設(shè)點(diǎn)D，E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)記AD＝x，DE＝y(tǒng)．若△ADE的面積總保持是△ABC面積的一半，求函數(shù)z＝xy的最小值．
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理及正弦定理求解即可；
（2）由三角形面積公式及余弦定理求出，代入z＝xy配方后求最值即可.
【小問1詳解】
由余弦定理可得,
，再由正弦定理可得,
即，解得.
【小問2詳解】
由題意，解得，
由余弦定理可得，
，，
當(dāng)，即時(shí)，.
21. 若實(shí)數(shù)x，y，m滿足，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若0比sinx遠(yuǎn)離，求x的取值范圍；
（2）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，任取，f（x）為sinx與csx中遠(yuǎn)離0的值．
①求出f（x）的解析式；
②寫出f（x）的周期，對稱軸方程，并指出最大值點(diǎn)．（只需寫出結(jié)論，不要求證明）
【答案】（1）或，；
（2）①，②答案見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義列出不等式即可求出；
（2）通過解出，，即可求出的解析式，據(jù)此可得出周期、對稱軸、最大值點(diǎn).
【小問1詳解】
由新定義可得，，即，
解得，即 ,
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得或，.
【小問2詳解】
①若，當(dāng)時(shí)，，上式成立，
此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可化為，即或
，解得，
綜上，時(shí)，；
②若，由①可知，.
.
函數(shù)圖象如圖，
函數(shù)的周期為，對稱軸方程為或，
當(dāng)或時(shí)，有最大值，即最大值點(diǎn)為或.

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