1.通過對特殊三角形邊角間數量關系的研究，發(fā)現(xiàn)余弦定理與正弦定理，并了解其向量證法；（難點）2.掌握余弦定理與正弦定理，并能運用其解三角形.（重點）
問題提出 三角形中邊角關系很豐富，本節(jié)繼續(xù)研究.如已知兩邊及其夾角，怎么求出此角的對邊呢?已知三條邊，又怎么求出它的三個角呢?
余弦定理 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的兩倍，即
a2=b2+c2-2bccsAb2=a2+c2-2accsBc2=a2+b2-2abcsC
利用余弦定理，可以由三角形的三條邊，求出它三個角的大小.
例1：如圖，有兩條直線AB和CD相交成80°角，交點是O.甲、乙兩人同時從點O分別沿OA，OC方向出發(fā)，速度分別是4 km/h，4. 5 km/h. 3 h后兩人相距多遠?(精確到0.1km)
解：經過3 h，甲到達點P，|OP|=4×3=12(km)， 乙到達點Q，|OQ|=4.5×3=13.5(km).
所以∠DAB≈80°.
對等邊三角形，這個等式無疑也成立；對其他三角形，它是否仍然成立呢?
因此，對銳角三角形，以上等式仍然成立.
探究：當△ABC是鈍角三角形時，以上等式是否仍然成立？
正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對 角的正弦的比相等，即
運用由特殊到一般的方法發(fā)現(xiàn)了正弦定理，這種思想方法經常用于發(fā)現(xiàn)客觀規(guī)律.
例4：某地出土一塊古代玉佩(如圖)，其一角已破損，現(xiàn)測得如下數據：BC=2.57 cm，CE=3. 57 cm，BD=4.38 cm，B=450，C=120°.為了復原，請計算原玉佩另兩邊的長.(精確到0. 01 cm)
解：將BD，CE分別延長相交于點A(如圖)，在△ABC中，BC=2.57 cm，B=45°，C=120°，
A=180°-(B+C)=180°- (45°+120°)=15°.
同理AB≈8.60(cm).因此，原玉佩另兩邊的長分別約為7.02 cm，8.60 cm.
思考 對于鈍角三角形(如圖(2))、銳角三角形(如圖(3))，上述結論還成立嗎?
例6：臺風中心位于某市正東方向300 km處，正以40 km/h的速度向西北方向移動，距離臺風中心250 km范圍內將會受其影響.如果臺風風速不變，那么該市從何時起要遭受臺風影響?這種影響持續(xù)多長時間?(精確到0. 1 h)
解：如圖，設臺風中心從點B向西北方向沿射線BD移動，該市位于點B正西方向300 km處的點A.
假設經過t h，臺風中心到達點C.在△ABC中，AB=300 km， AC=250 km，BC=40t km，B=45°.
所以角C有兩個解(如圖①)：∠AC1B≈121.95°，∠AC2B≈58.05°.
當∠AC1B≈121.95°時，∠C1AB=180°-(B+∠ AC1B)≈180°-(45°+121.95°)=13.05°.
思考： 已知兩條邊的邊長和其中一條邊的對角的大小解三角形，它的解有幾種情況？
正弦定理、余弦定理是兩個重要定理，在解決與三角形有關的幾何計算問題中有著廣泛的應用.
用正弦定理、余弦定理解三角形
在三角形的三條邊和三個角這6個元素中，如果已知3個(至少含一邊長)，那么由余弦定理和正弦定理，就可以求得其他3個元素.具體情形如下:
情形1：已知兩個角的大小和一條邊的邊長. 先由三角形內角和等于180°求出第三個角的大小，然后依據正弦定理求得另外兩條的邊長.
情形2：已知兩條邊的邊長及其夾角的大小. 先由余弦定理求出第三條邊的邊長，然后再由余弦定理求得第二、第三個角的大小.
情形3：已知三條邊的邊長. 由余弦定理求出兩個角，再利用三角形內角和等于180°求出第三個角.
情形4：已知兩條邊的邊長和其中一邊對角的大小. 首先，由正弦定理求出第二條邊所對角的正弦，這時，要判斷是兩解、一解還是無解.然后，根據三角形內角和等于180°得到第三個角的大小.最后，由余弦定理或正弦定理求得第三條邊的邊長.
例7：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°，求∠BAD的正弦值和BD的長.
分析：觀察到BD為△BDC和△ABD的公共邊，由于△BDC中已知量較少，故考慮通過解△ABD求出BD的長.
分析：在△ABD中已知邊AB的長及其所對角∠ADB的度數，故只需要求出∠BAD的正弦值，就可以利用正弦定理求出BD的長.
分析：我們發(fā)現(xiàn)∠ABC與∠BAD互補，而∠ABC所在的△ABC中已知兩邊及其中一邊的對角，可以由正弦定理求出∠ABC的正弦值，再由∠BAD與∠ABC互補的條件，求出∠BAD的正弦值，進而求出BD的長.
解：機器人最快截住足球的地方是機器人與足球同時到達的地方.如圖(2)，設該機器人最快可在點C處截住足球，BC=x dm，由題意，CD=2x dm，AC=AD-CD=(17-2x)dm.
解：因此，該機器人最快可在線段AD上離點A處7 dm的點C處藏住足球.
例10：自動卸貨汽車采用液壓機構(如圖).設計時需要計算油泵頂杠BC的長度，已知車廂的最大仰角為60°(指車廂AC與水平線之間的夾角).油泵頂點B與車廂支點A之間的距離為1.95 m，AB與水平線之間的夾角為6°20′，AC長為1.40 m.計算BC的長度.(精確到0.01 m)
解：如圖，在△ABC中，AB= 1.95 m，AC=1.40 m，∠BAC=60°+ 6°20′=66°20′. 由余弦定理，得BC2=AB2+AC2=2AB·ACcsA =1.952+1.402-2×1.95×1.40cs66°20′ ≈3.571. ∴BC≈1.89 (m)
例11：如圖，C，D兩點相距12 m，與煙囪底部A在同一水平直線上，利用高為1.5 m的測角儀器，測得煙囪在點C1，D1的仰角分別是α=45°和β=60°.計算煙囪的高AB(精確到0.01 m).
解：如圖，在△BC1D1中，∠BD1C1=180°-60°=120°，∠C1BD1=60°-45°=15°，C1D1=CD=12.
例12:如圖(1)，直線a表示海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上點A處有一個水聲監(jiān)測點，另兩個監(jiān)測點B，C分別在點A的正東方20 km處和54 km處.
某時刻，監(jiān)側點B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波，監(jiān)測點A，C分別在8 s和20 s后相繼收到這一信號.在當時的氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s.(1)設PA=x km，用x分別表示PB，PC，并求x的值；(2)求靜止目標P到海防警戒線a 的距離.(精確到0.01km)
解:(1)依題意，PA- PB=1.5×8=12(km)，PC-PB=1.5×20=30(km)，因此PB=(x-12)km，PC=(18+x)km.
在△PAB中，AB=20 km，
由cs∠PAB=cs∠PAC，
解:(2)如圖(2)，過點P作a的垂線，垂足為D，在Rt△PDA中，PD=PAcs∠APD=PAcs∠PAB
因此，靜止目標P到海防警戒線a的距離約為17.71 km.

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6.1 余弦定理與正弦定理

版本： 北師大版 (2019)

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