一、選擇題
1.菱形的周長(zhǎng)為20cm，它的一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為6cm，則其面積為( )cm2.
A.6 B.12 C.18 D.24
2.如圖，將一個(gè)長(zhǎng)為10cm，寬為8cm的矩形紙片對(duì)折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的連線(xiàn)(虛線(xiàn))剪下，再打開(kāi)，得到的菱形的面積為( )
A.10cm2 B.20cm2 C.40cm2 D.80cm2
3.任意一條線(xiàn)段EF，其垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖痕跡如圖所示.若連接EH，HF，F(xiàn)G，GE，則下列結(jié)論中，不一定正確的是( )
A.△EGH為等腰三角形 B.△EHF為等腰三角形
C.四邊形EGFH為菱形 D.△EGF為等邊三角形
4.如圖，已知菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，OE∥AB交BC于點(diǎn)E，AD＝6cm，則OE的長(zhǎng)為( )
A.6cm B.4cm C.3cm D.2cm
5.如圖，菱形花壇ABCD的邊長(zhǎng)為6m，∠A＝120°，其中由兩個(gè)正六邊形組成的圖形部分種花，則種花部分圖形的周長(zhǎng)為( )
A.12m B.20m C.22m D.24m
6.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AC交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接AE、CF，則四邊形AECF是 ( )
A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
7.下列說(shuō)法：
①三角形的三條高一定都在三角形內(nèi)
②有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形
③有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
④兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
⑤一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形
其中正確的個(gè)數(shù)有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
8.如圖，在菱形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，且∠A=∠EDF=60°.
有下列結(jié)論：
①AE=BF；②△DEF是等邊三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF.
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
A.3 B.4 C.1 D.2
9.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，∠BAD＝60°，則△OCE的面積是( )
A.eq \r(3) B.2 C.2eq \r(3) D.4
10.如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，E是邊AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD，EG⊥AC，點(diǎn)F，G為垂足，若AC＝10，BD＝24，則FG的長(zhǎng)為( )
A.eq \f(13,2) B.8 C.10 D.12
二、填空題
11.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，OA＝OC，OB＝OD，添加一個(gè)條件使四邊形ABCD是菱形，那么所添加的條件可以是____________(寫(xiě)出一個(gè)即可)．
12.如圖，在□ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線(xiàn)AG，若AD=5，DE=6，則AG的長(zhǎng)是 .

13.已知菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為10和24，則菱形的邊長(zhǎng)為 .
14.如圖，若菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(3，0)，(﹣2，0)，點(diǎn)D在y軸上，則菱形對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)是 .
15.如圖，四邊形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)E，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，若∠C＝100°，則∠BAD的大小是 .
16.把兩張寬為2 cm的矩形紙片重疊在一起，然后將其中的一張任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，則重疊部分(圖中的陰影部分)的四邊形ABCD的形狀為_(kāi)_______，其面積的最小值為_(kāi)_______cm2.
三、解答題
17.如圖，AD∥BC，AF平分∠BAD交BC于點(diǎn)F，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E.求證：
(1)△ABF是等腰三角形；
(2)四邊形ABFE是菱形.
18.如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF.
(1)求證：△AEH≌△CGF；
(2)求證：四邊形EFGH是菱形.
19.如圖，是一個(gè)菱形的花壇，花壇的周長(zhǎng)為40 m，沿著花壇相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)分別修建了兩條小路，這兩條小路的長(zhǎng)度之比為3∶4，請(qǐng)你計(jì)算這個(gè)花壇的面積是多少？(小路的寬度忽略不計(jì))
20.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P是線(xiàn)段AD上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為BC上一點(diǎn)，且AP＝CQ.
(1)求證：BP＝DQ；
(2)若AB＝4，且當(dāng)PD＝5時(shí)四邊形PBQD為菱形.求AD的長(zhǎng).
21.如圖，將平行四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，
(1)求證：四邊形AECF是菱形；
(2)連接AC，若平行四邊形ABCD的面積為8，，求AC?EF的值.
22.如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合．
(1)證明不論E、F在BC、CD上如何滑動(dòng)，總有BE＝CF；
(2)當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大(或最小)值．
答案
1.D.
2.A
3.D.
4.C
5.C
6.C
7.A.
8.A.
9.A.
10.A.
11.答案為：AB＝AD(答案不唯一).
12.答案為：8.
13.答案為：13.
14.答案為：(﹣1，2).
15.答案為：50°
16.答案為：菱形，4.
17.證明：(1)∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AB＝AF，即△ABF是等腰三角形；
(2)由(1)得：AB＝AF，
同理：AB＝BE，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
又∵AB＝AF，
∴四邊形ABFE是菱形.
18.證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C.
∴在△AEH與△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF(SAS)；
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D.
∵AE＝CG，AH＝CF，
∴EB＝DG，HD＝BF.
∴△BEF≌△DGH.
∴EF＝HG.
又∵△AEH≌△CGF，
∴EH＝GF.
∴四邊形HEFG為平行四邊形.
∴EH∥FG，
∴∠HEG＝∠FGE.
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴EF＝GF，
∴四邊形EFGH是菱形.
19.解：設(shè)兩條小路將于點(diǎn)O，則AB＝40 m÷4＝10(m)，
又∵AC∶BD＝3∶4，，
∴OA∶OB＝3∶4，
設(shè)OA＝3x m，OB＝4x m，
則由勾股定理得(3x)2＋(4x)2＝102，解得x＝2，
∴OA＝6 m，OB＝8 m，
∴S△OAB＝eq \f(1,2)×OA×OB＝24(m2)，
∴S菱形ABCD＝4S△OAB＝96 m2
20.證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，
在Rt△ABP和Rt△QCD中，
∴△ABP≌△QCD(ASA)，
∴BP＝DQ；
(2)設(shè)AP＝a，AD＝5＋a.
當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB＝PD＝5，
在直角△ABP中，根據(jù)勾股定理得到AP2＋AB2＝PB2，
即a2＋42＝52，
可得：a＝3，
所以AD＝3＋5＝8.
21. (1)證明：∵將?ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，
∴AO＝CO，∠AOF＝∠COE＝90°，AD＝BC，F(xiàn)G＝DF，
在△AOF和△COE中.
，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴EO＝FO，
∵AO＝CO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴平行四邊形AECF是菱形，
(2)解：∵?ABCD與菱形AECF同高，，
∴?ABCD與菱形AECF的面積的比為：3：2，
∵平行四邊形ABCD的面積為8，
∴菱形AECF的面積為eq \f(16,3)，
∵AC⊥EF，
∴菱形AECF的面積為：eq \f(1,2)×AC×EF＝eq \f(16,3)，
∴AC?EF＝eq \f(32,3).
22.證明：(1)連接AC，如下圖所示，
∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120°，
∠1＋∠EAC＝60°，∠3＋∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD為等邊三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF(ASA)．
∴BE＝CF；
(2)解：四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化．
理由：由(1)得△ABE≌△ACF，則S△ABE＝S△ACF，
故S四邊形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H點(diǎn)，則BH＝2，
S四邊形AECF＝S△ABC＝eq \f(1,2)BC?AH＝4eq \r(3)，
由“垂線(xiàn)段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．
故△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，
又S△CEF＝S四邊形AECF﹣S△AEF，則此時(shí)△CEF的面積就會(huì)最大．
∴S△CEF＝S四邊形AECF﹣S△AEF＝4eq \r(3)﹣eq \f(1,2)×2eq \r(3)×3＝eq \r(3)．
答：最大值是eq \r(3)．

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