銳角三角函數(shù)的定義：
在Rt△ABC中，∠C=90°．
①正弦：我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sin A．
即sin A＝∠A的對(duì)邊除以斜邊＝。
②余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cs A．
即cs A＝∠A的鄰邊除以斜邊＝。
③正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tan A．
即tan A＝∠A的對(duì)邊除以∠A的鄰邊＝。
特殊角的銳角三角函數(shù)值計(jì)算
直角三角形的性質(zhì)
①直角三角形的兩銳角互余。
②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
③含30°的直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。
④直角三角形的兩直角邊的成績(jī)等于斜邊乘以斜邊上的高線。
⑤直角三角形的勾股定理。
解直角三角形：
利用直角三角形角的關(guān)系，邊的關(guān)系以及邊角關(guān)系求解直角三角形。
解直角三角形的坡度文問題：
坡角：坡面與水平面的夾角。
坡度（坡比）：坡面的鉛直高度和水平寬度的比。一般用i表示，常寫成i=1：m的形式。等于坡角的正切值。
在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題。
應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域 ③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等。
解直角三角形的仰角俯角問題：
仰角：向上看的視線與水平線的夾角。
俯角：向下看的視線與水平線的夾角。
解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個(gè)實(shí)際問題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決。
解直角三角形的方向角問題：
在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角。
一般是以第一個(gè)方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€(gè)方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)。
專題練習(xí)
1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC交BC于點(diǎn)E．延長(zhǎng)ED至點(diǎn)F，使得DF＝DE，連結(jié)AE、AF、CF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若，則tan∠BCF的值為 ．
2．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且ED＝BF，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點(diǎn)O．
（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四邊形AFCE的面積．
3．如圖，湖邊A、B兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連．為了計(jì)算A、B兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測(cè)量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B兩點(diǎn)之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
4．勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”．已知主塔AB垂直于橋面BC于點(diǎn)B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點(diǎn)D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）
5．菏澤某超市計(jì)劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來的37°減至30°，已知原電梯坡面AB的長(zhǎng)為8米，更換后的電梯坡面為AD，點(diǎn)B延伸至點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
6．旗桿及升旗臺(tái)的剖面如圖所示，MN、CD為水平線，旗桿AB⊥CD于點(diǎn)B．某一時(shí)刻，旗桿AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一時(shí)刻，測(cè)得豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿影長(zhǎng)為0.25m（標(biāo)桿影子在坡面DN上），此時(shí)光線AE與水平線的夾角為80.5°，求旗桿AB的高度．
（參考數(shù)據(jù)：sin80.5°≈0.98，cs80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）
7．為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于點(diǎn)D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°．
（1）求該斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點(diǎn)共線）
8．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測(cè)量．如圖，在山坡坡腳C處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tan θ＝，請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度AB．
（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）
9．如圖，希望中學(xué)的教學(xué)樓AB和綜合樓CD之間生長(zhǎng)著一棵高度為12.88米的白楊樹EF，且其底端B，D，F(xiàn)在同一直線上，BF＝FD＝40米．在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小明打算借助這棵樹的高度測(cè)算出綜合樓的高度，他在教學(xué)樓頂A處測(cè)得點(diǎn)C的仰角為9°，點(diǎn)E的俯角為16°．
問小明能否運(yùn)用以上數(shù)據(jù)，得到綜合樓的高度？若能，請(qǐng)求出其高度（結(jié)果精確到0.01米）；若不能，說明理由．
解答過程中可直接選用表格中的數(shù)據(jù)喲！
10．如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量居民樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長(zhǎng)CD＝15m，斜坡的傾斜角為α，cs α＝．小文在C點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為60°，在D點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為30°（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．
（1）求C，D兩點(diǎn)的高度差；
（2）求居民樓的高度AB．
（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）
11．如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要停靠到碼頭C，貨輪航行到A處時(shí)，測(cè)得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
12．隨著我國(guó)科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，5G移動(dòng)通信技術(shù)日趨完善，某市政府為了實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2021～2025年擬建設(shè)5G基站3000個(gè)，如圖，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡腳C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，然后他沿坡面CB行走了50米到達(dá)D處，D處離地平面的距離為30米且在D處測(cè)得塔頂A的仰角53°．（點(diǎn)A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)，CE為地平線）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
13．小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對(duì)一條東西走向的隧道AB進(jìn)行實(shí)地測(cè)量．如圖所示，他在地面上點(diǎn)C處測(cè)得隧道一端點(diǎn)A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進(jìn)100米后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A在他的東北方向上，端點(diǎn)B在他的北偏西60°方向上，（點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)）
（1）求點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離；
（2）求隧道AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）
14．湖中小島上碼頭C處一名游客突發(fā)疾病，需要救援．位于湖面B點(diǎn)處的快艇和湖岸A處的救援船接到通知后立刻同時(shí)出發(fā)前往救援．計(jì)劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿CA方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運(yùn)到救援船上．已知C在A的北偏東30°方向上，B在A的北偏東60°方向上，且在C的正南方向900米處．
（1）求湖岸A與碼頭C的距離（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）；
（2）救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船？請(qǐng)說明理由．（接送游客上下船的時(shí)間忽略不計(jì)）
15．如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，AC＝200米．點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向．點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，BD＝100米．點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°．
（1）求步道DE的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；
（2）點(diǎn)D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D．請(qǐng)計(jì)算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）
特殊角
30°
45°
60°
1
科學(xué)計(jì)算器按鍵順序
計(jì)算結(jié)果（已取近似值）
0.156
0.158
0.276
0.287
專題09 銳角三角函數(shù)綜合
知識(shí)回顧
銳角三角函數(shù)的定義：
在Rt△ABC中，∠C=90°．
①正弦：我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sin A．
即sin A＝∠A的對(duì)邊除以斜邊＝。
②余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cs A．
即cs A＝∠A的鄰邊除以斜邊＝。
③正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tan A．
即tan A＝∠A的對(duì)邊除以∠A的鄰邊＝。
特殊角的銳角三角函數(shù)值計(jì)算
直角三角形的性質(zhì)
①直角三角形的兩銳角互余。
②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
③含30°的直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。
④直角三角形的兩直角邊的成績(jī)等于斜邊乘以斜邊上的高線。
⑤直角三角形的勾股定理。
解直角三角形：
利用直角三角形角的關(guān)系，邊的關(guān)系以及邊角關(guān)系求解直角三角形。
解直角三角形的坡度文問題：
坡角：坡面與水平面的夾角。
坡度（坡比）：坡面的鉛直高度和水平寬度的比。一般用i表示，常寫成i=1：m的形式。等于坡角的正切值。
在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題。
應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域 ③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等。
解直角三角形的仰角俯角問題：
仰角：向上看的視線與水平線的夾角。
俯角：向下看的視線與水平線的夾角。
解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個(gè)實(shí)際問題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決。
解直角三角形的方向角問題：
在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角。
一般是以第一個(gè)方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€(gè)方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)。
專題練習(xí)
1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC交BC于點(diǎn)E．延長(zhǎng)ED至點(diǎn)F，使得DF＝DE，連結(jié)AE、AF、CF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若，則tan∠BCF的值為 ．
【分析】（1）先證四邊形AECF是平行四邊形，再由DE⊥AC，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)BE＝a，則CE＝4a，由菱形的性質(zhì)得AE＝CE＝4a，AE∥CF，則∠BEA＝∠BCF，再由勾股定理得AB＝a，然后由銳角三角函數(shù)定義即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴AD＝CD，
∵DF＝DE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵DE⊥AC，
∴平行四邊形AECF是菱形；
（2）解：∵＝，
∴CE＝4BE，
設(shè)BE＝a，則CE＝4a，
由（1）可知，四邊形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，
∴∠BEA＝∠BCF，
∵∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝a，
∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，
故答案為：．
2．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且ED＝BF，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點(diǎn)O．
（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四邊形AFCE的面積．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD＝BC．AE∥FC，根據(jù)等量減等量差相等，得出AE＝FC，從而證明四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）先證明平行四邊形AFCE是菱形，根據(jù)三角函數(shù)求出EO＝3，求出S△AEO＝AO?EO＝6，從而求出四邊形AFCE的面積．
【解答】（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，
AD＝BC．AE∥FC，
∵ED＝BF，
∴AD﹣ED＝BC﹣BF，
∴AE＝FC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）解：∵AE∥FC，
∴∠EAC＝∠ACF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∴∠ACF＝∠FAC，
∴AF＝FC，
∵四邊形AFCE是平行四邊形，
∴平行四邊形AFCE是菱形，
∴AO＝AC＝4，AC⊥EF，
在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝，
∴EO＝3，
∴S△AEO＝AO?EO＝6，
S菱形＝4S△AEO＝24．
3．如圖，湖邊A、B兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連．為了計(jì)算A、B兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測(cè)量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B兩點(diǎn)之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【分析】通過作高，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，列方程求解即可．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC＝37°，AC＝80米，
∴sin∠DAC＝，cs∠DAC＝，
∴CD＝AC?sin37°≈80×0.60＝48（米），
AD＝AC?cs37°≈80×0.80＝64（米），
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝58°，CD＝48米，
∴tan∠CBD＝，
∴BD＝≈＝30（米），
∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．
答：A、B兩點(diǎn)之間的距離約為94米．
4．勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”．已知主塔AB垂直于橋面BC于點(diǎn)B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點(diǎn)D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出AD的長(zhǎng)度，然后即可求出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，
∴BD＝＝，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，
∴BC＝＝AB，
∵BC﹣BD＝CD＝33m，
∴AB﹣＝33，
∴AB＝≈78（m）．
答：主塔AB的高約為78m．
5．菏澤某超市計(jì)劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來的37°減至30°，已知原電梯坡面AB的長(zhǎng)為8米，更換后的電梯坡面為AD，點(diǎn)B延伸至點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
【分析】在△ABC中求出BC以及AC的長(zhǎng)度，再求出CD，最后BD＝CD﹣BC即可求解．
【解答】解：由題意得，在△ABC中，
∵∠ABC＝37°，AB＝8米，
∴AC＝AB?sin37°＝4.8（米），
BC＝AB?cs37°＝6.4（米），
在Rt△ACD中，CD＝≈8.304（米），
則BD＝CD﹣BC＝8.304﹣6.4≈1.9（米）．
答：改動(dòng)后電梯水平寬度增加部分BD的長(zhǎng)為1.9米．
6．旗桿及升旗臺(tái)的剖面如圖所示，MN、CD為水平線，旗桿AB⊥CD于點(diǎn)B．某一時(shí)刻，旗桿AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一時(shí)刻，測(cè)得豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿影長(zhǎng)為0.25m（標(biāo)桿影子在坡面DN上），此時(shí)光線AE與水平線的夾角為80.5°，求旗桿AB的高度．
（參考數(shù)據(jù)：sin80.5°≈0.98，cs80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）
【分析】設(shè)PQ為豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿，PE為標(biāo)桿影子，長(zhǎng)為0.25m，作DF⊥CD交AE于點(diǎn)F，作FH⊥AB于點(diǎn)H，利用相似和銳角三角函數(shù)可以求出旗桿AB的高度．
【解答】解：如圖，設(shè)PQ為豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿，PE為標(biāo)桿影子，長(zhǎng)為0.25m，
作DF⊥CD交AE于點(diǎn)F，作FH⊥AB于點(diǎn)H，
∵DF∥PQ，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝5.6，
∴BH＝DF＝5.6，
在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°，
tan∠AFH＝，
∴tan80.5°＝≈6，
∴AH≈7.2，
∴旗桿AB的高度為5.6+7.2＝12.8（m）．
7．為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于點(diǎn)D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°．
（1）求該斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點(diǎn)共線）
【分析】（1）根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求解；
（2）在△ACD中，根據(jù)∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，求出AC＝AB，從而得出AC的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，
∴BD＝BA＝10（m），
答：該斜坡的高度BD為10m；
（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，
∴∠CBA＝15°，
∴AB＝AC＝20（m），
答：斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離為20m．
8．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測(cè)量．如圖，在山坡坡腳C處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tan θ＝，請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度AB．
（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）
【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，則DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，根據(jù)已知可設(shè)DE＝3x米，則CE＝4x米，然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算可求出DE，CE的長(zhǎng)，再設(shè)BF＝y(tǒng)米，從而可得AB＝（12+y）米，最后在Rt△DBF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DF的長(zhǎng)，從而求出AC的長(zhǎng)，再在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于y的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，
則DE＝AF，DF＝AE，
在Rt△DEC中，tanθ＝＝，
設(shè)DE＝3x米，則CE＝4x米，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴（3x）2+（4x）2＝400，
∴x＝4或x＝﹣4（舍去），
∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，
設(shè)BF＝y(tǒng)米，
∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，
在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，
∴DF＝＝＝y(tǒng)（米），
∴AE＝DF＝y(tǒng)米，
∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
解得：y＝6+8，
經(jīng)檢驗(yàn)：y＝6+8是原方程的根，
∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），
∴建筑物的高度AB約為31.9米．
9．如圖，希望中學(xué)的教學(xué)樓AB和綜合樓CD之間生長(zhǎng)著一棵高度為12.88米的白楊樹EF，且其底端B，D，F(xiàn)在同一直線上，BF＝FD＝40米．在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小明打算借助這棵樹的高度測(cè)算出綜合樓的高度，他在教學(xué)樓頂A處測(cè)得點(diǎn)C的仰角為9°，點(diǎn)E的俯角為16°．
問小明能否運(yùn)用以上數(shù)據(jù)，得到綜合樓的高度？若能，請(qǐng)求出其高度（結(jié)果精確到0.01米）；若不能，說明理由．
解答過程中可直接選用表格中的數(shù)據(jù)喲！
【分析】作EG⊥AB，垂足為G，作AH⊥CD，垂足為H，由題意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH＝9°，在Rt△AEG中，有0.287＝，AG≈11.48（米），即得HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，有0.158＝，得CH≈12.64（米），故CD＝CH+HD＝37.00（米）．
【解答】解：小明能運(yùn)用以上數(shù)據(jù)，得到綜合樓的高度，理由如下：
作EG⊥AB，垂足為G，作AH⊥CD，垂足為H，如圖：
由題意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH＝9°，
在Rt△AEG中，
tan∠AEG＝，
∴tan16°＝，即0.287≈，
∴AG＝40×0.287＝11.48（米），
∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），
∴HD＝AB＝24.36米，
在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，
tan∠CAH＝，
∴tan9°＝，即0.158≈，
∴CH＝80×0.158＝12.64（米），
∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），
答：綜合樓的高度約是37.00米．
10．如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量居民樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長(zhǎng)CD＝15m，斜坡的傾斜角為α，cs α＝．小文在C點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為60°，在D點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為30°（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．
（1）求C，D兩點(diǎn)的高度差；
（2）求居民樓的高度AB．
（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）
【分析】（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在Rt△DCE中，可得（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，設(shè)AF＝xm，在Rt△ADF中，tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∵在Rt△DCE中，csα＝，CD＝15m，
∴（m）．
∴（m）．
答：C，D兩點(diǎn)的高度差為9m．
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，
由題意可得BF＝DE，DF＝BE，
設(shè)AF＝xm，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，
解得DF＝x，
在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，
tan60°＝＝，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解且符合題意，
∴AB＝++9≈24（m）．
答：居民樓的高度AB約為24m．
11．如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時(shí)，測(cè)得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
【分析】過B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函數(shù)求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：過B作BD⊥AC于D，
由題意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，則∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．
12．隨著我國(guó)科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，5G移動(dòng)通信技術(shù)日趨完善，某市政府為了實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2021～2025年擬建設(shè)5G基站3000個(gè)，如圖，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡腳C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，然后他沿坡面CB行走了50米到達(dá)D處，D處離地平面的距離為30米且在D處測(cè)得塔頂A的仰角53°．（點(diǎn)A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)，CE為地平線）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
【分析】（1）過點(diǎn)D作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DM⊥CE，垂足為M．由勾股定理可求出答案；
（2）設(shè)DF＝4a米，則ME＝4a米，BF＝3a米，由于△ACN是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADF中由銳角三角函數(shù)可列方程求出DF，進(jìn)而求出AB．
【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)D作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DM⊥CE，垂足為M．
由題意可知：CD＝50米，DM＝30米．
在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，
∴CM＝40米，
∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；
（2）設(shè)DF＝4a米，則MN＝4a米，BF＝3a米，
∵∠ACN＝45°，
∴∠CAN＝∠ACN＝45°，
∴AN＝CN＝（40+4a）米，
∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．
在Rt△ADF中，
∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF＝，
∴＝，
∴解得a＝，
∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），
∵BF＝3a＝米，
∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．
答：基站塔AB的高為米．
13．小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對(duì)一條東西走向的隧道AB進(jìn)行實(shí)地測(cè)量．如圖所示，他在地面上點(diǎn)C處測(cè)得隧道一端點(diǎn)A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進(jìn)100米后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A在他的東北方向上，端點(diǎn)B在他的北偏西60°方向上，（點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)）
（1）求點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離；
（2）求隧道AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）
【分析】（1）根據(jù)方位角圖，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．分別解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的長(zhǎng)．
【解答】解；（1）由題意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△ADC中，
∴（米），
答：點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離為300米．
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵AB是東西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，
在Rt△ADE中，
∴（米），
在Rt△BDE中，
∴（米），
∴（米），
答：隧道AB的長(zhǎng)為米．
14．湖中小島上碼頭C處一名游客突發(fā)疾病，需要救援．位于湖面B點(diǎn)處的快艇和湖岸A處的救援船接到通知后立刻同時(shí)出發(fā)前往救援．計(jì)劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿CA方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運(yùn)到救援船上．已知C在A的北偏東30°方向上，B在A的北偏東60°方向上，且在C的正南方向900米處．
（1）求湖岸A與碼頭C的距離（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）；
（2）救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船？請(qǐng)說明理由．（接送游客上下船的時(shí)間忽略不計(jì)）
【分析】（1）延長(zhǎng)CB到D，則CD⊥AD于點(diǎn)D，根據(jù)題意可得∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，所以∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，然后根據(jù)含30度角的直角三角形即可解決問題；
（2）設(shè)快艇在x分鐘內(nèi)將該游客送上救援船，根據(jù)救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，列出方程150x+（400x﹣900）＝1559，進(jìn)而可以解決問題．
【解答】解：（1）如圖，延長(zhǎng)CB到D，則CD⊥AD于點(diǎn)D，
根據(jù)題意可知：∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，
∴∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，
∴AB＝BC＝900米，
∵∠BAD＝30°，
∴BD＝450米，
∴AD＝BD＝450（米），
∴AC＝2AD＝900≈1559（米）
答：湖岸A與碼頭C的距離約為1559米；
（2）設(shè)快艇在x分鐘內(nèi)將該游客送上救援船，
∵救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，
∴150x+（400x﹣900）＝1559，
∴x≈4.5，
答：快艇能在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船．
15．如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，AC＝200米．點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向．點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，BD＝100米．點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°．
（1）求步道DE的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；
（2）點(diǎn)D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D．請(qǐng)計(jì)算說明他走哪一條路較近？
（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）過D作DF⊥AE于F，由已知可得四邊形ACDF是矩形，則DF＝AC＝200米，根據(jù)點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°，即得DE＝DF＝200≈283（米）；
（2）由△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，可得EF＝DF＝200米，而∠ABC＝30°，即得AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，又BD＝100米，即可得經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程為AB+BD＝500米，CD＝BC+BD＝（200+100）米，從而可得經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D路程為AE+DE＝200﹣100+200≈529米，即可得答案．
【解答】解：（1）過D作DF⊥AE于F，如圖：
由已知可得四邊形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝200米，
∵點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°，即∠DEF＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE＝DF＝200≈283（米）；
（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，
∴EF＝DF＝200米，
∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，即∠EAB＝30°，
∴∠ABC＝30°，
∵AC＝200米，
∴AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，
∵BD＝100米，
∴經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程為AB+BD＝400+100＝500米，
CD＝BC+BD＝（200+100）米，
∴AF＝CD＝（200+100）米，
∴AE＝AF﹣EF＝（200+100）﹣200＝（200﹣100）米，
∴經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D路程為AE+DE＝200﹣100+200≈529米，
∵529＞500，
∴經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D較近．
特殊角
30°
45°
60°
1
科學(xué)計(jì)算器按鍵順序
計(jì)算結(jié)果（已取近似值）
0.156
0.158
0.276
0.287

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