空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，一般是通過對(duì)幾何體的割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問題，利用等體積法求內(nèi)切球半徑等，一般出現(xiàn)在壓軸小題位置.
　(1)(2023·杭州模擬)在四面體ABCD中，△ABC與△BCD都是邊長為6的等邊三角形，且二面角A－BC－D的大小為60°，則四面體ABCD外接球的表面積是A.52π B.54πC.56π D.60π
如圖所示，設(shè)外接球半徑為R，取BC的中點(diǎn)O，連接OD，OA，分別取△BCD和△ABC的外心E，F(xiàn)，過兩點(diǎn)分別作平面BDC和平面ABC的垂線，交于點(diǎn)P，則P就是外接球的球心，連接OP，DP，則∠AOD為二面角A－BC－D的平面角，即∠AOD＝60°，則△AOD是等邊三角形，
在△POE中，∠POE＝30°，
(2)(2023·全國乙卷)已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝____.　
如圖，將三棱錐S－ABC轉(zhuǎn)化為直三棱柱SMN－ABC，設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，半徑為r，
設(shè)三棱錐S－ABC的外接球球心為O，連接OA，OO1，
求解空間幾何體的外接球問題的策略(1)定球心：球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑.(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的.(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.
設(shè)四面體ABCD外接球的半徑為R，將四面體ABCD置于長、寬、高分別為a，b，c的長方體中，
故四面體ABCD外接球的表面積為4πR2＝45π.
(2)(2023·昆明模擬)故宮太和殿是中國形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐廡殿頂?shù)奈蓓敇邮?，廡殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿.由于屋頂有四面斜坡，故又稱四阿頂.如圖，某幾何體ABCDEF有五個(gè)面，其形狀與四阿頂相類似.已知底面ABCD為矩形，AB＝4，AD＝EF＝2，EF∥底面ABCD，且EA＝ED＝FB＝FC＝BC，則幾何體ABCDEF外接球的表面積為A.22π B.28πC.32π D.38π
連接AC，BD，設(shè)AC∩BD＝M，取EF的中點(diǎn)N，連接MN，由題意知，球心O在直線MN上，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，則FG⊥BC，
連接MG，過點(diǎn)F作FP⊥MG于點(diǎn)P，則四邊形MPFN是矩形，MN＝FP，
因?yàn)椤鰽MO和△ONE均為直角三角形，設(shè)外接球半徑為R，OM＝x，當(dāng)球心O在線段MN上時(shí)，
當(dāng)球心O在線段MN外時(shí)，
所以外接球的表面積S＝4πR2＝22π.
　(1)在三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC＝3，則該三棱錐內(nèi)切球的體積為
由AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，得AB⊥CD.又BC⊥CD，且AB，BC?平面ABC，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，又AC?平面ABC，所以CD⊥AC.由AB＝CD＝4，BC＝3，得AC＝BD＝5，所以三棱錐A－BCD的表面積
設(shè)三棱錐內(nèi)切球球心為O，半徑為r，
如圖，作出圓臺(tái)的軸截面，作DF⊥BC，垂足為F，由題意知圓O與梯形ABCD相切，則DC＝DE＋CE＝O2D＋O1C＝r2＋r1，
空間幾何題的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑.
　(1)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，則V的最大值是
由題意，因?yàn)锳B⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，
又由AA1＝6，故在直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)部的球的半徑最大為R＝2，
(2)(2023·貴陽聯(lián)考)SF6(六氟化硫)具有良好的絕緣性，在電子工業(yè)上有著廣泛的應(yīng)用，其分子結(jié)構(gòu)如圖所示：六個(gè)元素F分別位于正方體六個(gè)面的中心，元素S位于正方體中心，若正方體的棱長為a，記以六個(gè)F為頂點(diǎn)的正八面體為T，則T的體積為_____，T的內(nèi)切球表面積為______.
正八面體T可視為兩個(gè)全等的正四棱錐拼接而成，
因此，正八面體T的內(nèi)切球的表面積為
1.如圖，在三棱錐V－ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝VA＝2，則該三棱錐外接球的體積為
因?yàn)閂A⊥底面ABC，AB，AC?底面ABC，所以VA⊥AB，VA⊥AC，又因?yàn)椤螧AC＝90°，所以AB⊥AC，而AB＝AC＝VA＝2，所以三條互相垂直且共頂點(diǎn)的棱，可以看成正方體中共頂點(diǎn)的長、寬、高，因此該三棱錐外接球的半徑
2.(2023·成都模擬)在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，AB＝2，AC＝AP，BC⊥CA，若三棱錐P－ABC外接球的表面積為5π，則BC等于
因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥PA，由BC⊥CA，CA∩PA＝A，CA，PA?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，由AB?平面ABC，得PA⊥AB，由PC?平面PAC，得BC⊥PC，由PB是Rt△PBC和Rt△PBA的公共斜邊，得PB是三棱錐的外接球直徑，
3.在四棱錐P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB為邊長為1的等邊三角形，底面ABCD為矩形.若四棱錐P－ABCD存在一個(gè)內(nèi)切球，則內(nèi)切球的表面積為
由于平面PAB⊥平面ABCD，△PAB為邊長為1的等邊三角形，底面ABCD為矩形，所以四棱錐P－ABCD的內(nèi)切球在等邊△PAB上的“正投影”是等邊△PAB的內(nèi)切圓，設(shè)等邊△PAB的內(nèi)切圓半徑為r，
4.(2023·湖北多校聯(lián)考)已知在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為
旋轉(zhuǎn)體的軸截面如圖所示，其中O為內(nèi)切球的球心，過O作AB，BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則OE＝OF＝r(r為內(nèi)切球的半徑)，
5.(2023·張掖模擬)圖1為兩塊大小不同的等腰直角三角形紙板組成的平面四邊形ABCD，其中小三角形紙板的斜邊AC與大三角形紙板的一條直角邊長度相等，小三角形紙板的直角邊長為a，現(xiàn)將小三角形紙板ACD沿著AC邊折起，使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)M的位置，得到三棱錐M－ABC，如圖2，若二面角M－AC
如圖，取AC的中點(diǎn)E，AB的中點(diǎn)F，連接ME，EF.因?yàn)镸A＝MC，所以ME⊥AC.易知EF∥BC，因?yàn)锽C⊥AC，
過點(diǎn)E作OE⊥平面MAC，過點(diǎn)F作OF⊥平面ABC，OE∩OF＝O，連接OA，易知E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別是△MAC和△ABC的外心，所以點(diǎn)O是三棱錐M－ABC的外接球的球心.
6.(多選)(2023·陽泉模擬)已知三棱柱ABC－A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB1＝BC1＝CA1＝4.若點(diǎn)O到三棱柱ABC－A1B1C1的所有面的距離都相等，則A.BB1⊥平面ABCB.AB＝AA1C.平面A1B1C1截球O所得截面圓的周長為4πD.球O的表面積為24π
選項(xiàng)A，三棱柱ABC－A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，根據(jù)球的對(duì)稱性可知三棱柱ABC－A1B1C1為直棱柱，所以BB1⊥平面ABC，因此A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)锳B1＝BC1＝CA1＝4，所以AB＝BC＝CA.因?yàn)辄c(diǎn)O到三棱柱ABC－A1B1C1的所有面的距離都相等，
所以三棱柱ABC－A1B1C1的內(nèi)切球與外接球的球心重合.設(shè)該三棱柱的內(nèi)切球的半徑為r，與底面以及側(cè)面相切于H，M，連接AH并延長，交BC于N，如圖，則AA1＝2r，OM＝OH＝r，由于M為矩形BCC1B1的對(duì)角線交點(diǎn)，所以HN＝r，而△ABC為等邊三角形，
7.(多選)(2023·新高考全國Ⅰ)下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有A.直徑為0.99 m的球體B.所有棱長均為1.4 m的四面體C.底面直徑為0.01 m，高為1.8 m的圓柱體D.底面直徑為1.2 m，高為0.01 m的圓柱體
對(duì)于A，因?yàn)?.99 m1 m，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過AC1的中點(diǎn)O作OE⊥AC1，設(shè)OE∩AC＝E，
所以以AC1為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為1.2 m的圓柱，若底面直徑為1.2 m的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心為O1，與正方體下底面的切點(diǎn)為M，可知AC1⊥O1M，O1M＝0.6，
所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，所以D正確.
8.如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個(gè)底面和圓錐的頂點(diǎn)均在體積為36π的球面上，若圓柱的高為2，則圓錐的側(cè)面積為________.
依題意，作球的軸截圖如圖所示，其中，O是球心，E是圓錐的頂點(diǎn)，EC是圓錐的母線，
9.(2023·開封模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，P為棱A1D1的中點(diǎn)，則四棱錐P－ABCD外接球的表面積為________.
設(shè)四棱錐P－ABCD的外接球球心為O，取AD的中點(diǎn)E，連接PE，取△PAD、四邊形ABCD的外心O1，O2，連接OO1，OO2，EO2，O2C，OC，因?yàn)檎襟w的棱長為1，P為棱A1D1的中點(diǎn)，
10.如今中國被譽(yù)為“基建狂魔”，可謂逢山開路，遇水架橋.公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大
球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切.若AB＝12，則該模型中最小球的半徑為_____.
如圖所示，設(shè)O為大球的球心，正四面體的底面中心為E，CD的中點(diǎn)為F，棱長為a，高為h大，連接OA，OB，OC，OD，
大球所對(duì)應(yīng)的正四面體的高
設(shè)正四面體內(nèi)切球半徑為r大，因?yàn)閂正四面體＝4VO－ABC，
因?yàn)檎拿骟w的棱長為12，
設(shè)中等球的半徑為r中，對(duì)應(yīng)的四面體高為h中，

相關(guān)課件

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破課件 第1部分 專題突破 專題4　微重點(diǎn)11　球的切接問題（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破課件 第1部分 專題突破 專題4　微重點(diǎn)11　球的切接問題（含解析），共48頁。PPT課件主要包含了內(nèi)容索引，空間幾何體的外接球，考點(diǎn)一，又EB＝1，規(guī)律方法，空間幾何體的內(nèi)切球，考點(diǎn)二，專題強(qiáng)化練等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考版） 第1部分 專題突破 專題4　微重點(diǎn)11　球的切接問題課件PPT：

這是一份新高考版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考版） 第1部分 專題突破 專題4　微重點(diǎn)11　球的切接問題課件PPT，共50頁。PPT課件主要包含了高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)策略，空間幾何體的外接球，空間幾何體的內(nèi)切球，專題強(qiáng)化練等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考版） 第7章　§7.2　球的切、接問題[培優(yōu)課]課件PPT：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考版） 第7章　§7.2　球的切、接問題[培優(yōu)課]課件PPT，共60頁。PPT課件主要包含了題型一，定義法，思維升華，題型二，補(bǔ)形法，題型三，截面法，課時(shí)精練，第三部分，設(shè)正方體的棱長為a等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)課件 更多

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件 第7章 §7.2 球的切、接問題　培優(yōu)課

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件 第7章 §7.2 球的切、接問題　培優(yōu)課
新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四微重點(diǎn)11球的切接問題課件

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四微重點(diǎn)11球的切接問題課件
2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四立體幾何培優(yōu)提能球的切、接問題課件

2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四立體幾何培優(yōu)提能球的切、接問題課件
高中人教A版 (2019)8.1 基本立體圖形授課ppt課件

高中人教A版 (2019)8.1 基本立體圖形授課ppt課件
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部