1.以空間幾何體為載體，考查利用向量方法求空間中點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的 距離，屬于中等難度.2.以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存在的條 件，計(jì)算量較大，一般以解答題的形式考查，難度中等偏上.
　(1)(2023·溫州模擬)四面體OABC滿足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，點(diǎn)D在棱OC上，且OC＝3OD，點(diǎn)G為△ABC的重心，則點(diǎn)G到直線AD的距離為
考向1　點(diǎn)到直線的距離
四面體OABC滿足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，即OA，OB，OC兩兩垂直，
因?yàn)镺A＝1，OB＝2，OC＝3，OC＝3OD，
所以點(diǎn)G到直線AD的距離
(2)(2023·北京模擬)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則線段AD1上的動(dòng)點(diǎn)P到直線A1C1距離的最小值為
如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，設(shè)P(x，0,1－x)，0≤x≤1，
∴動(dòng)點(diǎn)P到直線A1C1的距離
　(1)(2023·武漢模擬)如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，則點(diǎn)C到平面AEC1F的距離為
考向2　點(diǎn)到平面的距離
以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DF所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)，
設(shè)n＝(x，y，z)為平面AEC1F的法向量，
(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則直線AC到平面PEF的距離為
設(shè)平面PEF的法向量為n＝(x，y，z)，
令x＝2，則y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3).
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，又EF?平面PEF，AC?平面PEF，所以AC∥平面PEF，
(1)求點(diǎn)到平面的距離有兩種方法，一是利用空間向量點(diǎn)到平面的距離公式，二是利用等體積法.(2)求直線到平面的距離的前提是直線與平面平行.求直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化成直線上任一點(diǎn)到平面的距離.
　　　(2023·大連模擬)如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點(diǎn).(1)若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為 ，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高；
設(shè)正四棱柱的高為h，以A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，A1B1，A1D1，A1A所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，
設(shè)平面AB1D1的法向量為n＝(u，v，w).
得u＝hw，v＝hw，所以n＝(hw，hw，w).取w＝1，得n＝(h，h，1).由點(diǎn)C 到平面AB1D1的距離為
(2)在(1)的條件下，若E是AB1的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線A1C1的距離.
所以點(diǎn)E到直線A1C1的距離
與空間向量有關(guān)的探究性問(wèn)題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或兩平面的夾角滿足特定要求時(shí)的存在性問(wèn)題.處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)(有些是題中已給出)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷.
　(2023·許昌模擬)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為菱形，平面PAD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，
(1)求異面直線AP與DM所成角的余弦值；
設(shè)O是AD的中點(diǎn)，連接OP，OB，
由于平面PAD⊥平面ABCD且交線為AD，OP?平面PAD，所以O(shè)P⊥平面ABCD，由于OB?平面ABCD，所以O(shè)P⊥OB，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD是等邊三角形，所以O(shè)B⊥AD，故OA，OB，OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
設(shè)異面直線AP與DM所成的角為θ，
設(shè)平面BDM的法向量為n＝(x，y，z)，
解決立體幾何中探索性問(wèn)題的基本方法(1)通常假設(shè)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立，再在這個(gè)前提下進(jìn)行推理，如果能推出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說(shuō)明假設(shè)成立，并可進(jìn)一步證明，否則假設(shè)不成立.(2)探索線段上是否存在滿足條件的點(diǎn)時(shí)，一定注意三點(diǎn)共線的條件的應(yīng)用.
　(2023·咸陽(yáng)模擬)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BB1C1C是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中點(diǎn).(1)求證：平面GBC⊥平面BB1C1C；
又平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，且平面BB1C1C∩平面AA1B1B＝BB1，GB?平面AA1B1B，故GB⊥平面BB1C1C.又GB?平面GBC，則平面GBC⊥平面BB1C1C.
(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角P－GB1－B的平面角為30°？若存在，求BP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
存在.由(1)知，BG，BB1，BC兩兩垂直，如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BG，BB1，BC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)平面PGB1的法向量為n＝(x，y，z)，
又平面BB1G的一個(gè)法向量為m＝(0,0,1)，
1.已知三棱柱ABC－A1B1C1，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AA1＝AB＝AC＝1.(1)求異面直線AC1與A1B所成的角；
因?yàn)锳A1⊥平面ABC，所以AA1⊥平面A1B1C1，即AA1⊥A1B1，AA1⊥A1C1，又∠BAC＝90°，所以∠B1A1C1＝90°，即A1B1⊥A1C1，所以AA1，A1B1，A1C1兩兩垂直，如圖，以A1為原點(diǎn)，以A1B1為x軸，A1C1為y軸，A1A為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳A1＝AB＝AC＝1，所以A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，A(0,0,1)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，
所以異面直線AC1與A1B所成的角為60°.
(2)設(shè)M為A1B的中點(diǎn)，在△ABC的內(nèi)部或邊上是否存在一點(diǎn)N，使得MN⊥平面ABC1？若存在，確定點(diǎn)N的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
存在.假設(shè)在平面ABC的邊上或內(nèi)部存在一點(diǎn)N(x，y，1)，
故存在點(diǎn)N，N為BC的中點(diǎn)，滿足條件.
2.(2023·湖北省襄陽(yáng)市第四中學(xué)模擬)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為4，∠A1AB＝60°，點(diǎn)A1在下底面ABC上的投影為AB的中點(diǎn)O.(1)在棱BB1(含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)D使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
存在.∵點(diǎn)A1在下底面ABC上的投影為AB的中點(diǎn)O，故A1O⊥平面ABC，連接OC，由題意知△ABC為正三角形，故OC⊥AB，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OC，OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
(2)求點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離.
設(shè)平面BCC1B1的法向量為n＝(x，y，z)，
3.(2023·齊齊哈爾模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，DC＝AD＝PD＝1，AB＝2，E為線段PA上一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AB上，且CF⊥BD.(1)若E為PA的中點(diǎn)，求四面體BCEP的體積；
由題意可得DA，DC，DP兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)平面PBC的法向量為m＝(x，y，z)，
不妨令y＝1，則x＝－1，z＝1，則m＝(－1,1,1).設(shè)點(diǎn)E到平面PBC的距離為d，
存在.設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，t，0)，
則1×1＋2×(t－1)＝0，
設(shè)平面PFC的法向量為n＝(a，b，c)，
不妨令a＝1，則b＝2，c＝2，則n＝(1,2,2)，
4.(2023·廣州模擬)如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l.(1)證明：l⊥平面PAC；
∵E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，∴BC∥EF，又EF?平面AEF，BC?平面EFA，∴BC∥平面AEF，又BC?平面ABC，平面AEF∩平面ABC＝l，∴BC∥l，又AB是圓O的直徑，C在圓上即BC⊥AC，平面PAC∩平面ABC＝AC，平面PAC⊥平面ABC，∴BC⊥平面PAC，即l⊥平面PAC.
(2)直線l上是否存在點(diǎn)Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余？若存在，求出AQ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，過(guò)C垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)Q(2，y，0)，平面AEF的法向量為m＝(x，y，z)，
∴直線l上存在點(diǎn)Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余，此時(shí)AQ＝1.

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