空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn),也是高考命題的熱點(diǎn),一般是通過(guò)對(duì)幾何體的割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問(wèn)題,利用等體積法求內(nèi)切球半徑等,一般出現(xiàn)在壓軸小題位置.
(1)(2022·保定模擬)已知三棱錐P-ABC,其中PA⊥平面ABC,∠BAC=120°,PA=AB=AC=2,則該三棱錐外接球的表面積為A.12π B.16π C.20π D.24π
∵PA⊥平面ABC,所以把三棱錐P-ABC補(bǔ)成直三棱柱PB′C′-ABC,如圖所示,設(shè)E,F(xiàn)為上、下底面三角形的外心,則EF的中點(diǎn)O為直三棱柱PB′C′-ABC的球心,在△ABC中,
設(shè)該三棱錐外接球半徑為R,
∴表面積S=4πR2=20π.
(2)(2022·寶雞模擬)兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形△ABC與△ABD,沿公共邊AB折疊成60°的二面角,若點(diǎn)A,B,C,D在同一球O的球面上,則球O的表面積為
如圖,設(shè)△ABC與△ABD的中心分別為N,M,連接DM,CN并延長(zhǎng)交AB于E,連接OE,OB,OM,ON.根據(jù)外接球的性質(zhì)有OM⊥平面ABD,ON⊥平面ABC,又二面角D-AB-C的大小為60°,故∠DEC=60°,
易得Rt△MEO≌Rt△NEO,故∠MEO=∠NEO=30°,
求解空間幾何體的外接球問(wèn)題的策略(1)定球心:球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑;(2)作截面:選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系),達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的;(3)求半徑下結(jié)論:根據(jù)作出截面中的幾何元素,建立關(guān)于球的半徑的方程,并求解.
設(shè)四面體ABCD的外接球的半徑為R,將四面體ABCD置于長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c的長(zhǎng)方體中,
故四面體ABCD的外接球的表面積為4πR2=45π.
(2)(2022·臨川模擬)已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為邊長(zhǎng)是4的正方形,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,且△PAB為等邊三角形,則該四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為
如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,取側(cè)面△PAB和底面正方形ABCD的外接圓的圓心分別為O1,O2,分別過(guò)O1,O2作兩個(gè)平面的垂線交于點(diǎn)O,則由外接球的性質(zhì)知,點(diǎn)O即為該球的球心,取線段AB的中點(diǎn)E,連接O1E,O2E,O2D,OD,則四邊形O1EO2O為矩形,
在Rt△OO2D中,可得OD2=OO+O2D2,
所以四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為
(1)(2022·酒泉模擬)在三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=CD=4,BC=3,則該三棱錐內(nèi)切球的體積為
由AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,得AB⊥CD.又BC⊥CD,且AB,BC?平面ABC,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC,又AC?平面ABC,所以CD⊥AC.由AB=CD=4,BC=3,得AC=BD=5,所以三棱錐A-BCD的表面積
設(shè)三棱錐內(nèi)切球球心為O,半徑為r,
(2)(2022·湖北多校聯(lián)考)已知在△ABC中,AB=4,BC=3,AC=5,以AC為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體,則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為
旋轉(zhuǎn)體的軸截面如圖所示,其中O為內(nèi)切球的球心,過(guò)O作AB,BC的垂線,垂足分別為E,F(xiàn),則OE=OF=r(r為內(nèi)切球的半徑),
空間幾何題的內(nèi)切球問(wèn)題,一是找球心,球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑,作出截面,在截面中求半徑;二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑.
  (1)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=6,則V的最大值是
由題意,因?yàn)锳B⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,
又由AA1=6,故在直三棱柱ABC-A1B1C1的內(nèi)部的球半徑最大為R=2,
(2)(2022·西安模擬)六氟化硫,化學(xué)式為SF6,在常溫常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體,有良好的絕緣性,在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫的分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)(正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體),如圖所示.若此正八面體的棱長(zhǎng)為2,則它的內(nèi)切球的表面積為
設(shè)正八面體內(nèi)切球半徑為R,給正八面體標(biāo)出字母如圖所示,連接AC,BD交于點(diǎn)O,連接EO,因?yàn)镋A=EC,ED=EB,所以EO⊥AC,EO⊥BD,又AC和BD交于點(diǎn)O,所以EO⊥平面ABCD,所以O(shè)為正八面體的中心,所以O(shè)到八個(gè)面的距離相等,且距離即為內(nèi)切球半徑,設(shè)內(nèi)切球與平面EBC切于點(diǎn)H,所以O(shè)H⊥平面EBC,
所以O(shè)H即為正八面體內(nèi)切球半徑,所以R=OH,因?yàn)檎嗣骟w的棱長(zhǎng)為2,
1.(2022·九江模擬)如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別為線段AB,BC的中點(diǎn),連接DE,DF,EF,將△ADE,△CDF,△BEF分別沿DE,DF,EF折起,使A,B,C三點(diǎn)重合,得到三棱錐O-DEF,則該三棱錐外接球的表面積為
在正方形ABCD中,AD⊥AE,CD⊥CF,BE⊥BF,折起后OD,OE,OF兩兩垂直,故該三棱錐外接球即以O(shè)D,OE,OF為棱的長(zhǎng)方體外接球.因?yàn)镺D=2,OE=1,OF=1,
所以該三棱錐外接球的表面積為4πR2=6π.
2.(2022·佛山模擬)如圖,某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成,且圓柱的兩個(gè)底面和圓錐的頂點(diǎn)均在體積為36π的球面上,若圓柱的高為2,則圓錐的側(cè)面積為
依題意,做球的軸截圖如圖所示,其中,O是球心,E是圓錐的頂點(diǎn),EC是圓錐的母線,
解得R=3,由于圓柱的高為2,
3.(2022·濟(jì)寧模擬)若一個(gè)正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球,則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為A.2∶1 B.3∶2C.7∶3 D.7∶4
如圖,設(shè)O1,O2分別為正六棱柱的底面中心,r為內(nèi)切球半徑,R為外接球半徑,O為O1O2的中點(diǎn),D為AB的中點(diǎn),設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,若正六棱柱有內(nèi)切球,
則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為4πR2∶4πr2=R2∶r2=7∶3.
4.(2022·蕪湖模擬)半正多面體亦稱阿基米德多面體,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.如圖所示,將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,如此共可截去八個(gè)三棱錐,得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體,其中八個(gè)面為正三角形,六個(gè)面為正方形,它們的邊長(zhǎng)都相等,稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.現(xiàn)有一個(gè)體積為V1的二十四等邊體,其外接球體積為V2,
設(shè)該半正多面體是由棱長(zhǎng)為2的正方體沿正方體各棱的中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得,即為二十四等邊體,如圖所示
由二十四等邊體的對(duì)稱性可知,其外接球的球心即為正方體的中心O,半徑為中心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離,
設(shè)球O的外切正方體的棱長(zhǎng)為b,則b滿足b=2r,顯然選項(xiàng)D正確.
所以PA2+AC2=CP2,得CA⊥PA,由D是PB的中點(diǎn),得AD⊥PB,
又PA∩AD=A,PA,AD?平面PAB,所以AC⊥平面PAB,故B正確;
即球心O到底面PAB的距離為1,故C錯(cuò)誤;
7.(2022·漳州模擬)某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)學(xué)習(xí),學(xué)習(xí)加工制作包裝盒.現(xiàn)將一張足夠用的正方形硬紙片加工制作成軸截面的頂角為60°,高為6的圓錐形包裝盒,若在該包裝盒中放入一個(gè)球形冰淇淋(內(nèi)切),則該球形冰淇淋的表面積為_(kāi)_______.
如圖,由題意知,∠BAC=60°,AO1=6,
設(shè)內(nèi)切球球心為O,半徑為R,則OD=OO1=R,在Rt△ADO中,∠OAD=30°,所以2R=6-R,解得R=2,所以S=4πR2=16π.
8.(2022·煙臺(tái)質(zhì)檢)如圖,在四棱錐P-ABCD中,△PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,四邊形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,∠ABC=60°,AB=AD,若四棱錐P-ABCD的體積為24,則四棱錐P-ABCD外接球的表面積是________.
如圖,分別取BC,AD的中點(diǎn)O′,E,連接PE,O′E,O′A,O′D.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形,AB=AD=4,AD∥BC,∠ABC=60°,
因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的體積為24,設(shè)四棱錐P-ABCD的高為h,
因?yàn)镋是AD的中點(diǎn),所以PE⊥AD.
因?yàn)镺′A=O′B=O′C=O′D=4,所以四邊形ABCD外接圓的圓心為O′,半徑r=4.設(shè)四棱錐P-ABCD外接球的球心為O,連接OO′,OP,OB,過(guò)點(diǎn)O作OF⊥PE,垂足為F.易證四邊形EFOO′是矩形,

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