平面向量中的最值與范圍問題，是高考的熱點與難點問題，主要考查求向量的模、數(shù)量積、夾角及向量的系數(shù)等的最值、范圍.解決這類問題的一般思路是建立求解目標的函數(shù)關系，通過函數(shù)的值域解決問題，同時，平面向量兼具“數(shù)”與“形”的雙重身份，數(shù)形結合也是解決平面向量中的最值與范圍問題的重要方法.
求向量模、夾角的最值(范圍)
求向量數(shù)量積的最值(范圍)
(2)設非零向量a，b的夾角為θ，若|a|＝2|b|＝2，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|對任意的θ恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為A.[－1,3] B.[－1,5]C.[－7,3] D.[5,7]
∵非零向量a，b的夾角為θ，若|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1，a·b＝2×1×cs θ＝2cs θ，∵不等式|2a＋b|≥|a＋λb|對任意的θ恒成立，∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cs θ≥0恒成立，∵cs θ∈[－1,1]，
利用共線向量定理及推論(1)a∥b?a＝λb(b≠0).
如圖，若D為BC的中點，又G為△ABC的重心，
以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，過點O作OA的垂線所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
　　(1)已知e為單位向量，向量a滿足(a－e)·(a－5e)＝0，則|a＋e|的最大值為A.4 B.5C.6 D.7
可設e＝(1,0)，a＝(x，y)，則(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)＝x2－6x＋5＋y2＝0，即(x－3)2＋y2＝4，則1≤x≤5，－2≤y≤2，
即|a＋e|的最大值為6.
(2)平面向量a，b滿足|a|＝3|b|，且|a－b|＝4，則a與a－b夾角的余弦值的最小值為________.
設|b|＝m，|a|＝3m，又|a－b|＝4，則10，∴解得1≤|a|≤4.
以正方形ABCD的中心為原點，如圖，建立平面直角坐標系，則A(－1，－1)，B(1，－1)，D(－1,1)，設P(cs θ，sin θ)，θ∈[0,2π)，
(1＋cs θ，1＋sin θ)＝λ(2,0)＋μ(0,2)，
又cs∠BCD∈(－1,1)，所以1－1×2cs∠BCD＝1－2cs∠BCD∈(－1,3).
10.已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝3，則|2a＋b|＋|2a－b|的最小值是_____，最大值是________.
∵|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b＋2a－b|＝4|a|＝4，且|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b－2a＋b|＝2|b|＝6，∴|2a＋b|＋|2a－b|≥6，當且僅當2a＋b與2a－b反向時等號成立.此時|2a＋b|＋|2a－b|的最小值為6.
當且僅當|2a＋b|＝|2a－b|時等號成立，

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