題型一：函數(shù)與方程思想
一、單選題
1． (2023·河南·汝州市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））在中，角所對的邊分別為，，，則面積的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2． (2023·重慶市鳳鳴山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù),則下列命題正確的是（ ）
A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；
C．函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是；
D．若實(shí)數(shù)m使得方程在上恰好有三個實(shí)數(shù)解，，，則．
三、填空題
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)，，方程有解，方程也有解，則的值的集合為______.
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是_________
四、解答題
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，①
，②
求證：.
6． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（）.
（1）若當(dāng)時，的最大值為，最小值為，求實(shí)數(shù)a，b的值
（2）若，設(shè)函數(shù)，且當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
題型二：數(shù)形結(jié)合思想
一、單選題
1． (2023·四川綿陽·三模（文））函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．B．1C．D．
2． (2023·河南·高三階段練習(xí)（文））勾股定理被稱為幾何學(xué)的基石，相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，又稱商高定理，漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖1），證明了商高結(jié)論的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長，相同的長度（如將CA延長至D）得到圖2．在圖2中，若，，D，E兩點(diǎn)間的距離為，則弦圖中小正方形的邊長為（ ）
A．B．C．1D．
二、多選題
3． (2023·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，且的面積為，則下列函數(shù)值恰好等于的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
4． (2023·上海市七寶中學(xué)高三期中）已知函數(shù)（其中為常數(shù)，且）有且僅有個零點(diǎn)，則的最小值為_______
5． (2023·河南·模擬預(yù)測（文））蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年（1621年），為中國傳統(tǒng)的樓閣式建筑．蜚英塔坐北朝南，磚石結(jié)構(gòu)，平面呈六邊形，是江西省省級重點(diǎn)保護(hù)文物，已被列為革命傳統(tǒng)教育基地．某學(xué)生為測量蜚英塔的高度，如圖，選取了與蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測得米， ，，，則蜚英塔的高度是_______米．
四、解答題
6． (2023·山東濟(jì)寧·二模）如圖，在梯形ABCD中，，.
(1)求證：BC=2CD；
(2)若AD=BC=2，∠ADC=120°，求梯形ABCD的面積.
題型三：分類與整合思想
一、多選題
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．為周期函數(shù)B．在上單調(diào)遞增
C．的值域?yàn)镈．的圖像關(guān)于直線對稱
2． (2023·江蘇省江都中學(xué)高三階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)
B．在區(qū)間單調(diào)遞減
C．在有4個零點(diǎn)
D．的最小值為
二、雙空題
3． (2023·北京·人大附中高三開學(xué)考試）已知，能夠說明命題“若對任意實(shí)數(shù)都有成立，則必有，”為假命題的一組A，的值為________，________．
三、填空題
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知銳角△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若b是，2的等比中項(xiàng)，c是1，5的等差中項(xiàng)，則a的取值范圍是________．
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則
①在上的最小值是1；
②的最小正周期是；
③直線是圖象的對稱軸；
④直線與的圖象恰有2個公共點(diǎn).
其中說法正確的是________________.
四、解答題
6． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，設(shè)函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)試討論函數(shù)f（x）在[－a，2a]上的值域．
題型四：轉(zhuǎn)化與劃歸思想
一、單選題
1． (2023·黑龍江·哈爾濱三中三模（理））如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線上距離邊線米的點(diǎn)處接球，此時，假設(shè)甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A．B．C．－D．
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）1471年米勒向諾德爾教授提出的有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿看上去最長（即可見角最大）.后人將其稱為“米勒問題”，是載入數(shù)學(xué)史上的第一個極值問題.我們把地球表面抽象為平面，懸桿抽象為線段AB（或直線l上兩點(diǎn)A，B），則上述問題可以轉(zhuǎn)化為如下的數(shù)學(xué)模型：如圖1，一條直線l垂直于一個平面，直線l有兩點(diǎn)A，B位于平面的同側(cè)，求平面上一點(diǎn)C，使得最大.建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，當(dāng)最大時，（ ）
A．2abB．a(chǎn)bC．D．
4． (2023·浙江·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是（ ）
A．B．C．πD．2π
二、多選題
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)）以下說法正確的有（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在非零常?shù)，對于任意，都有，則稱函數(shù)是“元周期函數(shù)”，非零常數(shù)為函數(shù)的“元周期”現(xiàn)有下面四個關(guān)于“元周期函數(shù)”的命題：所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（ ）
A．如果“元周期函數(shù)”的“元周期”為，那么它是周期為2的周期函數(shù)；
B．函數(shù)是“元周期函數(shù)”
C．常數(shù)函數(shù)是“元周期函數(shù)”
D．如果函數(shù)是“元周期函數(shù)”，那么“或”
7． (2023·江蘇省板浦高級中學(xué)高三期末）已知集合，若對于任意，存在，使得，則稱集合是“垂直對點(diǎn)集”.則下列四個集合是“垂直對點(diǎn)集”的為（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
8． (2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，，若對任意實(shí)數(shù)都有，定義在區(qū)間，上的函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)組，，，的組數(shù)為___________．
9． (2023·全國·高三專題練習(xí)）聲音是物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正、余弦函數(shù)．若一個聲音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號)
①是偶函數(shù)，且周期是；②在上有4個零點(diǎn)；
③的值域?yàn)椋? ④在上是減函數(shù)．
四、解答題
10． (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，，且為銳角．
(1)求；
(2)求的面積．

重難點(diǎn)03四種三角函數(shù)與解三角形數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）
能力拓展
題型一：函數(shù)與方程思想
一、單選題
1． (2023·河南·汝州市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））在中，角所對的邊分別為，，，則面積的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式和正弦定理化簡已知等式可得；利用余弦定理可構(gòu)造等量關(guān)系求得，進(jìn)而得到；利用三角形面積公式，將表示為以為自變量的二次函數(shù)的形式，利用二次函數(shù)最值的求法可求得所求最大值.
【詳解】由得：，
即，由正弦定理得：；
由余弦定理得：，，
即，，，
，
，，
，
則當(dāng)時，，.
故選：A.
二、多選題
2． (2023·重慶市鳳鳴山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù),則下列命題正確的是（ ）
A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；
C．函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是；
D．若實(shí)數(shù)m使得方程在上恰好有三個實(shí)數(shù)解，，，則．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)輔助角公式把函數(shù)的關(guān)系變形為正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用即可判斷各選項(xiàng).
【詳解】由，得.
對于A，當(dāng)時，，
當(dāng)即時，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，故A正確；
對于B，當(dāng)時，，故B不正確；
對于C，函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到
所得的圖象關(guān)于y軸對稱，
所以,解得，
當(dāng)時，m的最小值是，故C正確；
對于D，如圖所示，
實(shí)數(shù)m使得方程在上恰好有三個實(shí)數(shù)解，，，
則必有，或，此時，另一解為.
所以，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)，，方程有解，方程也有解，則的值的集合為______.
【答案】
【分析】根據(jù)題意，不妨設(shè)，分類討論當(dāng)，，三種情況下，結(jié)合方程有解以及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從而求出和的值，即可得出的值的集合.
【詳解】解：由題可知，不妨設(shè)，
對于，對任意實(shí)數(shù)，，方程有解，
當(dāng)時，方程可化為有解，
所以恒成立，所以；
當(dāng)時，同上；
當(dāng)時，方程可化為有解，所以，
綜上得：；
對于，對任意實(shí)數(shù)，，方程也有解，
當(dāng)時，方程可化為有解，所以；
當(dāng)時，同上；
當(dāng)時，方程可化為有解，
所以恒成立，所以，
所以的值的集合為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與方程的綜合問題，考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過設(shè)，以及分類討論與的大小情況，并將方程有解轉(zhuǎn)化為恒成立問題是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的分類討論思想和邏輯分析能力.
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是_________
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出解析式成立的條件，即可求得函數(shù)的定義域．
【詳解】由題意知，，
即，
所以的定義域?yàn)椋?br>故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解，根據(jù)函數(shù)的解析式列出滿足的條件是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．
四、解答題
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，①
，②
求證：.
【分析】證法一：將與看作方程的兩根，證明此方程的兩根之差為零即可；.證法二：將①式看作以3為元的一元二次方程，②式的左端恰為該方程的判別式求解.
【詳解】證法一：已知條件可變?yōu)椋?br>.
視與為方程的兩根，
問題轉(zhuǎn)化為證明此方程的兩根之差為零.
由于.
因此，.
證法二：注意到已知條件中的數(shù)學(xué)關(guān)系，則①式就是以3為元的一元二次方程，
而②式的左端恰為該方程的判別式，從而可得.
則①式變?yōu)?（*）
當(dāng)時，由已知條件可得，從而；
當(dāng)時，由②式知方程（*）有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
，即，代入①式得.
6． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（）.
（1）若當(dāng)時，的最大值為，最小值為，求實(shí)數(shù)a，b的值
（2）若，設(shè)函數(shù)，且當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）配方得到，根據(jù)，，分，，討論求解；
（2）方法一：通過參變分離轉(zhuǎn)化為恒成立求解；方法二：由恒成立，令，轉(zhuǎn)化為在上恒成立求解，
【詳解】（1），
∵，，
∴當(dāng)時，，.
解得或（舍去），
∴，.
當(dāng)時，，.
解得（舍去）.
綜上所述，，.
（2）解法一：.
當(dāng)時，恒成立，
，令，則.
，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)得
，
所以.
∴m的取值范圍是.
解法二：.
當(dāng)時，恒成立，
令，則，則在上恒成立，
則，即.
∴m的取值范圍是.
題型二：數(shù)形結(jié)合思想
一、單選題
1． (2023·四川綿陽·三模（文））函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】由圖象可得、求出，五點(diǎn)法求，進(jìn)而寫出解析式，即可求.
【詳解】由圖知：且，則，可得，
又且，則，，由，可得，
所以，則.
故選：B
2． (2023·河南·高三階段練習(xí)（文））勾股定理被稱為幾何學(xué)的基石，相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，又稱商高定理，漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖1），證明了商高結(jié)論的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長，相同的長度（如將CA延長至D）得到圖2．在圖2中，若，，D，E兩點(diǎn)間的距離為，則弦圖中小正方形的邊長為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】在中利用余弦定理可求出，則可得，再由銳角三角函數(shù)的定義可求出，由勾股定理求出，從而可求得答案
【詳解】連接，由條件可得，在中，由余弦定理得
，
∴，
∴，，
∴，
所以弦圖中小正方形的邊長為．
故選：C
二、多選題
3． (2023·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，且的面積為，則下列函數(shù)值恰好等于的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)題意得到，根據(jù)條件可以求出，所以，根據(jù)選項(xiàng)求值判斷即可.
【詳解】根據(jù)題意得，，因?yàn)?，所以，即，所以，又的面積為2，所以，
所以，所以，所以，解得（舍去），.
所以，即.
所以，故A正確；
所以，故B不正確；
所以，故C正確；
所以，故D不正確.
故選：AC.
三、填空題
4． (2023·上海市七寶中學(xué)高三期中）已知函數(shù)（其中為常數(shù)，且）有且僅有個零點(diǎn)，則的最小值為_______
【答案】2
【分析】利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個圖象交點(diǎn)個數(shù)問題即可求解
【詳解】
由得,
,
設(shè),則
作出與的圖象如圖
則,得,
即的最小值是,
故答案為:.
5． (2023·河南·模擬預(yù)測（文））蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年（1621年），為中國傳統(tǒng)的樓閣式建筑．蜚英塔坐北朝南，磚石結(jié)構(gòu)，平面呈六邊形，是江西省省級重點(diǎn)保護(hù)文物，已被列為革命傳統(tǒng)教育基地．某學(xué)生為測量蜚英塔的高度，如圖，選取了與蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測得米， ，，，則蜚英塔的高度是_______米．
【答案】35
【分析】設(shè)米，則可得，然后在中利用余弦定理列方程可求出的值，從而可求出蜚英塔的高度
【詳解】設(shè)米，因?yàn)?，，?br>所以，
在中，，，則由余弦定理得
,
，解得，
所以蜚英塔的高度是35米，
故答案為：35
四、解答題
6． (2023·山東濟(jì)寧·二模）如圖，在梯形ABCD中，，.
(1)求證：BC=2CD；
(2)若AD=BC=2，∠ADC=120°，求梯形ABCD的面積.
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）在△ACD和△ABC中，分別利用正弦定理可得，，再由，可得∠ACD=∠CAB，所以得，再結(jié)合已知條件可得，從而可證得結(jié)論，
（2）在△ACD中，由余弦定理可求得，， 在△ABC中，再利用余弦定理可求出，從而可求出梯形的面積
(1)在△ACD中，由正弦定理得，
即，
因?yàn)?，所以∠ACD=∠CAB，
所以
在△ABC中，由正弦定理得，
即，
所以.
又，
所以，即BC=2CD.
(2)由（1）知.
在△ACD中，由余弦定理得，
解得.
所以.
在△ABC中，，解得或3.
又因?yàn)锳BCD為梯形，所以.
又梯形ABCD的高為，
所以梯形ABCD的面積為.
題型三：分類與整合思想
一、多選題
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．為周期函數(shù)B．在上單調(diào)遞增
C．的值域?yàn)镈．的圖像關(guān)于直線對稱
【答案】AD
【分析】易求得，即可判斷A；由，得，，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B；分和兩種情況討論，求出函數(shù)的值域，即可判斷C；判斷是否相等即可判斷D.
【詳解】對于A，因?yàn)椋?br>所以是函數(shù)的一個周期，故A正確；
當(dāng)時，，
此時，則，所以，
當(dāng)時，，
此時，則，所以，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋蔆錯誤；
對于B，當(dāng)時，，
則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B錯誤.
對于D，因?yàn)椋?br>，
所以，
所以的圖像關(guān)于直線對稱，故D正確.
故選：AD.
2． (2023·江蘇省江都中學(xué)高三階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)
B．在區(qū)間單調(diào)遞減
C．在有4個零點(diǎn)
D．的最小值為
【答案】AC
【分析】利用奇偶性的定義，即可判斷A選項(xiàng)；
當(dāng)，時，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，即可判斷B；
當(dāng)時，，令，即可判斷C；
分三種情況，當(dāng)，時，當(dāng)，時，當(dāng)，時，確定最小值，即可判斷D．
【詳解】解：對于A，，是偶函數(shù)，故A正確；
對于B，當(dāng)，時，，
則，當(dāng)，，
所以函數(shù)在，上不具有單調(diào)性，故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，，令，可得，，又是偶函數(shù)，
所以在區(qū)間，上有4個零點(diǎn)，故C正確；
對于D，，
所以是函數(shù)的一個周期，
當(dāng)，時，，
此時最小值為1，
當(dāng)，時，，
此時最小值為-1，
當(dāng)，時，，
此時最小值為，
所以最小值為-1，故D錯誤.
故選：AC.
二、雙空題
3． (2023·北京·人大附中高三開學(xué)考試）已知，能夠說明命題“若對任意實(shí)數(shù)都有成立，則必有，”為假命題的一組A，的值為________，________．
【答案】
【分析】要使對任意實(shí)數(shù)都有成立，則，再分和兩種情況討論，結(jié)合誘導(dǎo)公式求出的值，即可得出答案.
【詳解】解：若對任意實(shí)數(shù)都有成立，
則，
當(dāng)時，則，所以，
又，所以，
當(dāng)時，則，所以，
又，所以，
綜上所述，對任意實(shí)數(shù)都有成立，則，或，，
所以能夠說明命題為假命題的一組A，的值為，.
故答案為：；.
三、填空題
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知銳角△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若b是，2的等比中項(xiàng)，c是1，5的等差中項(xiàng)，則a的取值范圍是________．
【答案】
【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系及余弦定理，分a為最大邊和c為最大邊兩種情況討論，即可得出答案.
【詳解】解：因?yàn)閎是，2的等比中項(xiàng)，
所以，所以，
又因c是1，5的等差中項(xiàng)，
所以，所以，
因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，
①當(dāng)a為最大邊時，有，
解得；
②當(dāng)c為最大邊時，有，
解得，
綜上所述，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則
①在上的最小值是1；
②的最小正周期是；
③直線是圖象的對稱軸；
④直線與的圖象恰有2個公共點(diǎn).
其中說法正確的是________________.
【答案】①③④
【分析】結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想求解，求出即可判斷②，分k為奇數(shù)，k為偶數(shù)，討論即可判斷③.
【詳解】解：對于①，當(dāng)時，
且，則當(dāng)時，函數(shù)取最小值，即，故①正確；
對于②，∵，，，則：
故函數(shù)的最小正周期不是，②錯誤；
對于③，若k為奇數(shù)，則；
若k為偶數(shù)，則.
由上可知，當(dāng)吋，，
所以，直線是圖象的對稱軸，③正確；
対于④，因?yàn)椤撸?br>所以為函數(shù)的周期.
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
綜上可知，.
當(dāng)時，，，即函數(shù)與在上的圖象無交點(diǎn)：
當(dāng)時，，，所以，函數(shù)與在上的圖象也無交點(diǎn).作出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象如下圖所示：
由圖像可知，直線與的圖象恰有2個公共點(diǎn)，故④正確.
故答案為：①③④.
四、解答題
6． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，設(shè)函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)試討論函數(shù)f（x）在[－a，2a]上的值域．
【分析】（1）由題設(shè)寫出的分段函數(shù)形式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)分別求出不同分段上的遞增區(qū)間.
（2）由題設(shè)可得且，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，討論端點(diǎn)的位置并求出對應(yīng)的值域范圍.
(1)由題設(shè)，，
所以，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)：
當(dāng)時，在上遞增；
當(dāng)時，在上遞增；
(2)由題設(shè)，，則，又，即，
所以，
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，；
7． (2023·山西朔州·高三期中（文））在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，，時.
(1)若，求c；
(2)記，是直角三角形，求k的值.
【答案】(1)8(2)或
【分析】（1）利用余弦定理即得；
（2）分和討論，結(jié)合條件即得.
(1)在中，由余弦定理得，
∴
即，，
所以.
(2)是直角三角形，
若，則，，
若，則，.
故或.
題型四：轉(zhuǎn)化與劃歸思想
一、單選題
1． (2023·黑龍江·哈爾濱三中三模（理））如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線上距離邊線米的點(diǎn)處接球，此時，假設(shè)甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)題意解出長度，設(shè)，得到，再分析求值域，判斷取等條件即可求解.
【詳解】設(shè)，并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：，，
所以，且，
所以，
又，所以，解得，即，
設(shè)，，則，
，所以在中，
有，
令，所以，
所以，
因?yàn)?，所以，則要使最大，
即要取得最小值，即取得最大值，
即在取得最大值，
令， ，
所以的對稱軸為：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值，即最大，此時，即，
所以，所以，即為獲得最佳的射門角度（即最大），
則射門時甲離上方端線的距離為：.
故選：B.
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A．B．C．－D．
【答案】B
【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦公式即可求解.
【詳解】
，
故選：B
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）1471年米勒向諾德爾教授提出的有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿看上去最長（即可見角最大）.后人將其稱為“米勒問題”，是載入數(shù)學(xué)史上的第一個極值問題.我們把地球表面抽象為平面，懸桿抽象為線段AB（或直線l上兩點(diǎn)A，B），則上述問題可以轉(zhuǎn)化為如下的數(shù)學(xué)模型：如圖1，一條直線l垂直于一個平面，直線l有兩點(diǎn)A，B位于平面的同側(cè)，求平面上一點(diǎn)C，使得最大.建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，當(dāng)最大時，（ ）
A．2abB．a(chǎn)bC．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知，分別表示出，然后利用兩角差的正切公式表示出，再結(jié)合基本不等式，即可求得結(jié)果.
【詳解】由題意可知時銳角，且,
而，
所以，
而 ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即時取等號，
所以當(dāng)時，，此時最大，
故選：D.
4． (2023·浙江·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是（ ）
A．B．C．πD．2π
【答案】C
【分析】將函數(shù)解析式化簡，利用正弦函數(shù)的周期公式可得.
【詳解】因?yàn)?br>所以最小正周期.
故選：C
二、多選題
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)）以下說法正確的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷ABC，根據(jù)兩角和的正切公式判斷D.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D正確；
故選：ACD
6． (2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖诜橇愠?shù)，對于任意，都有，則稱函數(shù)是“元周期函數(shù)”，非零常數(shù)為函數(shù)的“元周期”現(xiàn)有下面四個關(guān)于“元周期函數(shù)”的命題：所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（ ）
A．如果“元周期函數(shù)”的“元周期”為，那么它是周期為2的周期函數(shù)；
B．函數(shù)是“元周期函數(shù)”
C．常數(shù)函數(shù)是“元周期函數(shù)”
D．如果函數(shù)是“元周期函數(shù)”，那么“或”
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意，首先理解“元周期函數(shù)”的定義，逐一分析，從而可判斷命題的真假.
【詳解】A選項(xiàng)：∵“元周期函數(shù)”的“元周期”為，
，，
故它是周期為2的周期函數(shù)，故A正確；
B選項(xiàng)：若函數(shù)是“元周期函數(shù)”，則存在非零常數(shù)，使，
即恒成立，故成立，但無解，故B錯誤；
C選項(xiàng)：常數(shù)函數(shù)是“元周期函數(shù)”，則存在非零常數(shù)，使，即恒成立，時恒成立，故C正確；
D選項(xiàng)：若函數(shù)是“元周期函數(shù)”，則存在非零常數(shù)，則，
即恒成立，故恒成立，
即恒成立，
故，可得或，
故或，故D正確.
故選：ACD
7． (2023·江蘇省板浦高級中學(xué)高三期末）已知集合，若對于任意，存在，使得，則稱集合是“垂直對點(diǎn)集”.則下列四個集合是“垂直對點(diǎn)集”的為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用數(shù)學(xué)結(jié)合判斷A；利用方程無解判斷B；利用數(shù)形結(jié)合判斷C；利用特殊點(diǎn)判斷D.
【詳解】對于A，表示的幾何意義是，即對曲線每一個點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成的直線，與之垂直的直線與曲線都存在交點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，直線與曲線均有交點(diǎn)，故A正確；
對于B,若滿足，則，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，故B不正確；
對于C，，畫出的圖象，如圖所示，直角始終存在，即對于任意，存在，使得成立，故C正確；
對于D，，取點(diǎn)，若存在使得成立，則，則一定有，不滿足函數(shù)的定義域，故不能滿足題意中的任意一點(diǎn)這一條件，故D不正確.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示、新定義問題及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.
三、填空題
8． (2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，，若對任意實(shí)數(shù)都有，定義在區(qū)間，上的函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)組，，，的組數(shù)為___________．
【答案】28
【分析】根據(jù)結(jié)合、，可得出、、的取值組合，求得方程在區(qū)間的解，可得出的可能取值，進(jìn)而可求得符合條件的有序?qū)崝?shù)組的組數(shù).
【詳解】解：對任意實(shí)數(shù)都有，，
若，則方程等價于，則函數(shù)的周期相同，
若，此時；若，此時；
若，則方程等價于，
若，此時；若，此時．
綜上，滿足條件的數(shù)組，，為，3，，，，，
，，，，3，共4組．
而當(dāng)時，，得或，
或，
又，，．
滿足條件的有序數(shù)組，，，共有．
故答案為：28．
9． (2023·全國·高三專題練習(xí)）聲音是物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正、余弦函數(shù)．若一個聲音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號)
①是偶函數(shù)，且周期是；
②在上有4個零點(diǎn)；
③的值域?yàn)椋?br>④在上是減函數(shù)．
【答案】①③
【分析】利用奇偶性、周期性的定義判定①正確；利用二倍角公式得到，再通過解方程結(jié)合余弦函數(shù)的值域判定②錯誤；利用二次函數(shù)的值域、余弦函數(shù)的最值判定③正確；利用二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的單調(diào)性及值域判定④錯誤.
【詳解】對于①：因?yàn)?br>，即是偶函數(shù)，
又對于，
，
且
即的周期是，
即①正確；
對于②：因?yàn)?br>，
令，即，
解得或（舍），
則在上有2個零點(diǎn)，
即②錯誤；
對于③：因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
即的值域?yàn)椋?br>即③正確；
對于④：令，則，
且在單調(diào)遞減，且，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在上不是單調(diào)遞減，即④錯誤.
故答案為：①③.
四、解答題
10． (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，，且為銳角．
(1)求；
(2)求的面積．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由三角形面積公式求得，利用余弦定理求得，分析可知BD是四邊形外接圓的直徑，再利用正弦定理可求解；
（2）由面積公式即可得解.
(1)由已知，
∵是銳角，∴．
由余弦定理可得，則．
∵，∴BD是四邊形外接圓的直徑，
∴BD是外接圓的直徑，利用正弦定理知
(2)由，，，，
則,,
又，則，
因此，
故的面積為．

相關(guān)試卷

2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用） 重難點(diǎn)02五種導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）(原卷版+解析版）：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用） 重難點(diǎn)02五種導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）(原卷版+解析版），共52頁。試卷主要包含了單選題，多選題，雙空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

重難點(diǎn)10四種解析幾何數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）(解析版）：

這是一份重難點(diǎn)10四種解析幾何數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）(解析版），共58頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

重難點(diǎn)09五種空間向量與立體幾何數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）(原卷版）：

這是一份重難點(diǎn)09五種空間向量與立體幾何數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）(原卷版），共21頁。試卷主要包含了單選題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高中數(shù)學(xué)高考重難點(diǎn)03四種三角函數(shù)與解三角形數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）(原卷版）

高中數(shù)學(xué)高考重難點(diǎn)03四種三角函數(shù)與解三角形數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）(原卷版）
高中數(shù)學(xué)高考重難點(diǎn)04五種平面向量數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）(原卷版）

高中數(shù)學(xué)高考重難點(diǎn)04五種平面向量數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）(原卷版）
重難點(diǎn)10四種解析幾何數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）

重難點(diǎn)10四種解析幾何數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）
重難點(diǎn)03四種三角函數(shù)與解三角形數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）

重難點(diǎn)03四種三角函數(shù)與解三角形數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部