新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練35 利用二項(xiàng)分布期望方差公式求解期望方差

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?專題35 利用二項(xiàng)分布期望方差公式求解期望方差
一、單選題
1．在一個(gè)箱子中裝有大小形狀完全相同的有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從中有放回地摸取5次，每次隨機(jī)摸取一球，設(shè)摸得的白球個(gè)數(shù)為X，黑球個(gè)數(shù)Y，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
有放回地摸出一個(gè)球，它是白球的概率是，它是黑球的概率是，因此，，由二項(xiàng)分布的均值與方差公式計(jì)算后可得結(jié)論．
【詳解】
有放回地摸出一個(gè)球，它是白球的概率是，它是黑球的概率是，因此，，
∴，，
，．
故選：C
【點(diǎn)睛】
結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)分布，掌握二項(xiàng)分布的概念是解題關(guān)鍵．變量，則，．
2．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即，且，，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】
利用離散型隨機(jī)變量的期望與方差公式，轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】
解：隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即，且，，
可得，，解得，，
故選：D.
【點(diǎn)睛】
此題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差公式的應(yīng)用，考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題
3．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用公式即可.
【詳解】
隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布

故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題考查二項(xiàng)分布的方差，牢記常用的結(jié)論和公式有利于快速解題.
4．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則的期望（ ）
A．0.6 B．3.6 C．2.16 D．0.216
【答案】B
【分析】
隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則.
【詳解】
解：服從二項(xiàng)分布，，
故選：B.
【點(diǎn)睛】
考查求二項(xiàng)分布的期望，基礎(chǔ)題.
5．若隨機(jī)變量，且，則（ ）
A．64 B．128 C．36 D．32
【答案】C
【分析】
根據(jù)二項(xiàng)分布期望的計(jì)算公式列方程，由此求得的值，進(jìn)而求得方差，然后利用方差的公式，求得的值.
【詳解】
隨機(jī)變量，且，
所以，所以，
，
.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查二項(xiàng)分布期望和方差計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.
6．一只小蟲(chóng)從數(shù)軸上的原點(diǎn)出發(fā)爬行，若一次爬行過(guò)程中，小蟲(chóng)等概率地向前或向后爬行1個(gè)單位，設(shè)爬行次后小蟲(chóng)所在位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為隨機(jī)變量，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用小蟲(chóng)等概率地向前或向后爬行，可知隨機(jī)變量，且向前或向后爬行1個(gè)單位的概率均為，結(jié)合二項(xiàng)分布公式求概率，根據(jù)、即可判斷各選項(xiàng)的正誤；
【詳解】
由題意知：設(shè)爬行次后小蟲(chóng)所在位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為隨機(jī)變量，且小蟲(chóng)向前或向后爬行1個(gè)單位的概率均為，
∴爬行次后小蟲(chóng)一共向前爬行次，則向后爬行次，有；故，則：
1、，，故A、B正確；
2、，，即，有，故C錯(cuò)誤；
3、，即，有，故D正確；
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用二項(xiàng)分布公式求概率，及求隨機(jī)變量的期望、方差，進(jìn)而判斷選項(xiàng)正誤；
7．某同學(xué)參加學(xué)?；@球選修課的期末考試，老師規(guī)定每個(gè)同學(xué)罰籃20次，每罰進(jìn)一球得5分，不進(jìn)記0分，已知該同學(xué)罰球命中率為60%，則該同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望和方差分別為（ ）.
A．60，24 B．80，120 C．80，24 D．60，120
【答案】D
【分析】
根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算，由此判斷出正確選項(xiàng).
【詳解】
設(shè)該同學(xué)次罰籃，命中次數(shù)為，則，
所以，，
所以該同學(xué)得分的期望為，
方差為.
故選：D
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查二項(xiàng)分布的期望和方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.
8．已知隨機(jī)變量，若，，則（ ）
A．54 B．9 C．18 D．27
【答案】A
【分析】
根據(jù)隨機(jī)變量，，，由求解.
【詳解】
因?yàn)殡S機(jī)變量，，，
所以，解得，
所以．
故選：A
【點(diǎn)睛】
本題主要考查隨機(jī)變量的期望和方差，屬于基礎(chǔ)題.
9．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【分析】
先由和二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式求得，再根據(jù)二項(xiàng)分布方差計(jì)算公式，可得選項(xiàng).
【詳解】
因?yàn)椋?，故?br /> 故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題考查二項(xiàng)分布的期望和方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.
10．為響應(yīng)國(guó)家“足球進(jìn)校園”的號(hào)召，某校成立了足球隊(duì)，假設(shè)在一次訓(xùn)練中，隊(duì)員甲有10次的射門(mén)機(jī)會(huì)，且他每次射門(mén)踢進(jìn)球的概率均為0.6，每次射門(mén)的結(jié)果相互獨(dú)立，則他最有可能踢進(jìn)球的個(gè)數(shù)是（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【分析】
由題意知踢進(jìn)球的個(gè)數(shù)，然后由二項(xiàng)分布的期望公式求解.
【詳解】
因?yàn)樗看紊溟T(mén)踢進(jìn)球的概率均為0.6，射門(mén)10次，每次射門(mén)的結(jié)果相互獨(dú)立，
所以踢進(jìn)球的個(gè)數(shù)
所以他最有可能踢進(jìn)球的個(gè)數(shù)是，
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二項(xiàng)分布的期望的求法，屬于基礎(chǔ)題.

二、多選題
11．下列判斷正確的是（ ）
A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則
B．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的必要不充分條件
C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則
D．是的充分不必要條件
【答案】ACD
【分析】
根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可判斷選項(xiàng)A；由線面垂直可以得線線垂直，， ，與位置關(guān)系不確定，無(wú)法得到，可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)二項(xiàng)分布均值公式求解可判斷選項(xiàng)C；由可得到，但反之不成立，可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】
對(duì)于A ：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對(duì)稱，又因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：若， ，則，又因?yàn)?，所以，若，?dāng)時(shí)，與位置關(guān)系不確定，所以無(wú)法得到，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C：因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：由可得到，但，時(shí)得不到，故選項(xiàng)D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】
本題考查正態(tài)分布的概率，二項(xiàng)分布的期望，線面之間的關(guān)系，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.

三、解答題
12．某單位在2020年8月8日“全民健身日”舉行了一場(chǎng)趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中一個(gè)項(xiàng)目為投籃游戲．游戲的規(guī)則如下：每個(gè)參與者投籃3次，若投中的次數(shù)多于未投中的次數(shù)，得3分，否則得1分．已知甲投籃的命中率為，且每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求甲在一次游戲中投籃命中次數(shù)的分布列與期望；
（2）若參與者連續(xù)玩次投籃游戲獲得的分?jǐn)?shù)的平均值不小于2，即可獲得一份大獎(jiǎng)．現(xiàn)有和兩種選擇，要想獲獎(jiǎng)概率最大，甲應(yīng)該如何選擇？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，；（2）甲選擇玩10次投籃游戲的獲獎(jiǎng)概率最大．理由見(jiàn)解析.
【分析】
（1）由題意得3次投籃命中的次數(shù)再根據(jù)二項(xiàng)分布求的分布列和期望；（2）首先分布計(jì)算當(dāng)和時(shí)，計(jì)算得3分的次數(shù)，再根據(jù)二項(xiàng)分布求概率，比較大小.
【詳解】
（1）由題意知．
則，
，
，
，
所以的分布列為

0
1
2
3





．
（2）由（1）可知在一次游戲中，甲得3分的概率為，得1分的概率為．
若選擇，此時(shí)要能獲得獎(jiǎng)品，則需10次游戲的總得分不小于20．
設(shè)10次游戲中，得3分的次數(shù)為，則，即．
易知，故此時(shí)獲獎(jiǎng)的概率．
若選擇，此時(shí)要能獲得獎(jiǎng)品，則需15次游戲的總得分不小于30．
設(shè)15次游戲中，得3分的次數(shù)為，則，，又，所以．
易知，故此時(shí)獲獎(jiǎng)的概率．
因?yàn)椋约走x擇玩10次投籃游戲的獲獎(jiǎng)概率最大．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：求解二項(xiàng)分布問(wèn)題的“四關(guān)”：一是“判斷關(guān)”，即判斷離散型隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布；二是“公式關(guān)”，即利用，求出取各個(gè)值時(shí)的概率；三是“分布列關(guān)”，列出表格，得離散型隨機(jī)變量的分布列；四是“結(jié)論關(guān)”，分別利用公式，求期望、方差．
13．近年來(lái)我國(guó)電子商務(wù)行業(yè)迎來(lái)蓬勃發(fā)展的新機(jī)遇，2016年雙11期間，某購(gòu)物平臺(tái)的銷售業(yè)績(jī)高達(dá)918億人民幣.與此同時(shí)，相關(guān)管理部門(mén)推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系.現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)商品的好評(píng)率為0.6，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為80次.
（1）完成下面列聯(lián)表，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？

對(duì)商品好評(píng)
對(duì)商品非好評(píng)
合計(jì)
對(duì)服務(wù)好評(píng)



對(duì)服務(wù)非好評(píng)



合計(jì)



參考數(shù)據(jù)及公式如下：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(，其中)
（2）若將頻率視為概率，某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行的次購(gòu)物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量：
①求對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)的分布列(概率用組合數(shù)算式表示)；
②求的數(shù)學(xué)期望和方差.
【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，可以在犯錯(cuò)誤概率不超0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)；（2）①分布列見(jiàn)解析；②，.
【分析】
（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)即可完善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方值，和10.828比較，即可判斷；
（2）①可得X的取值可以是0，1，2，3，4，5，且，計(jì)算出取不同值的概率，即可得出分布列；
②利用期望和方差公式即可求出.
【詳解】
（1）由題可得列聯(lián)表如下：

對(duì)商品好評(píng)
對(duì)商品非好評(píng)
合計(jì)
對(duì)服務(wù)好評(píng)
80
70
150
對(duì)服務(wù)非好評(píng)
40
10
50
合計(jì)
120
80
200
所以，
所以可以在犯錯(cuò)誤概率不超0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)；
（2）①每次購(gòu)物時(shí)，對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的概率為，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，
則，，，
，，，
則分布列如下：

0
1
2
3
4
5







②，
，.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查分布列的求解，解題的關(guān)鍵是判斷出變量服從二項(xiàng)分布，知道二項(xiàng)分布的概率求法以及期望方差公式.
14．中國(guó)華為手機(jī)的芯片均從臺(tái)積電?聯(lián)發(fā)科?高通三個(gè)外國(guó)公司進(jìn)口，設(shè)其進(jìn)口數(shù)量的頻率如圖.

（1）若用分層抽樣的方法從庫(kù)存的芯片中取枚芯片，屬于臺(tái)積電的芯片有幾枚？
（2）在（1）的條件下，從取出的枚芯片中任取枚，設(shè)這枚中屬于臺(tái)積電的芯片數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）在華為公司海量庫(kù)存中任取枚芯片，其中屬于臺(tái)積電的芯片數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）芯片有5枚；（2）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：；（3）.
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布圖求解即可；
（2）根據(jù)超幾何分布模型，寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列，并求出期望值；
（3）根據(jù)二項(xiàng)分布性質(zhì)求解即可.
【詳解】
解：（1）用分層抽樣的方法從庫(kù)存的芯片中取枚芯片，屬于臺(tái)積電的芯片有枚，
有，得，即用分層抽樣的方法從庫(kù)存的芯片中取枚芯片，屬于臺(tái)積電的芯片有5枚；
（2）在（1）的條件下，的可能取值為，且的分布列符合超幾何分布,
，，
，，
所以所求分布列為：

0
1
2
3





所以；
（3）抽取1枚芯片，屬于臺(tái)積電的概率為，且海量庫(kù)存中任取枚芯片，其中屬于臺(tái)積電的芯片數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，所以.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查超幾何分布與二項(xiàng)分布，掌握兩種分布的特點(diǎn)及區(qū)別是關(guān)鍵，難度一般.一般地，若，則，.
15．疫情過(guò)后，為促進(jìn)居民消費(fèi)，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到500元?jiǎng)t可參加一輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)，超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案.在一個(gè)不透明的盒子中裝有6個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中2個(gè)紅球，4個(gè)白球，攪拌均勻.
方案一：顧客從盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得50元的返金券，若抽到白球則獲得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最終獲得的返金券金額累加.
方案二：顧客從盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得100元的返金券，若抽到白球則不獲得返金券，可以有放回地抽取3次，最終獲得的返金券金額累加.
（1）方案一中，設(shè)顧客抽取3次后最終可能獲得的返金券的金額為X，求X的分布列；
（2）若某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望，并以此判斷應(yīng)該選擇哪種抽獎(jiǎng)方案更合適.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）方案一數(shù)學(xué)期望為（元），方案二數(shù)學(xué)期望為100（元）；方案一.
【分析】
（1）先由題意，得到方案一和方案二中單次抽到紅球的概率為，抽到白球的概率為，確定X的可能取值，再分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；
（2）先由（1）得出選擇方案一時(shí)最終獲得返金券金額的數(shù)學(xué)期望；選擇方案二時(shí)，設(shè)摸到紅球的次數(shù)為Y，最終可能獲得返金券金額為Z元，根據(jù)題意，得到，求出對(duì)應(yīng)的期望，比較大小，即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）由題意易知，方案一和方案二中單次抽到紅球的概率為，抽到白球的概率為，
依題意，X的取值可能為90，110，130，150.
且，
，
其分布列為
X
90
110
130
150
p




（2）由（1）知選擇方案一時(shí)最終獲得返金券金額的數(shù)學(xué)期望為
（元），
選擇方案二時(shí)，設(shè)摸到紅球的次數(shù)為Y，最終可能獲得返金券金額為Z元，
由題意可知，，得

由可知，該顧客應(yīng)該選擇方案一抽獎(jiǎng).
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：
求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：
（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；
（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；
（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡(jiǎn)化計(jì)算）.
16．某校隨機(jī)調(diào)查了80位學(xué)生，以研究學(xué)生中愛(ài)好羽毛球運(yùn)動(dòng)與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表：

愛(ài)好
不愛(ài)好
合計(jì)
男
20
30
50
女
10
20
30
合計(jì)
30
50
80
（1）將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查了本校的3名學(xué)生、設(shè)這3人中愛(ài)好羽毛球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為，求的分布列和期望值：
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否有充分證據(jù)判定愛(ài)好羽毛球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？若有，有多大把握？
附：

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）分布列詳見(jiàn)解析；期望為（人）；（2）沒(méi)有.
【分析】
（1）的可能取值為，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，運(yùn)用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)公式求出概率后列出分布列，運(yùn)用二項(xiàng)分布求出期望；
（2）根據(jù)列聯(lián)表，利用公式計(jì)算出臨界值，與臨界值表進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論.
【詳解】
（1）的可能取值為，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，
任一學(xué)生愛(ài)好羽毛球運(yùn)動(dòng)的概率為，故
，，
，，
的分布列為

0
1
2
3





（人）
（2），
故沒(méi)有充分證據(jù)判定愛(ài)好羽毛球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián).
【點(diǎn)睛】
本題考查二項(xiàng)分布的應(yīng)用以及獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題，獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算出臨界值與臨界值表進(jìn)行比較解決實(shí)際問(wèn)題.

17．網(wǎng)上訂外賣(mài)已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊徊糠? M外賣(mài)平臺(tái)（以下簡(jiǎn)稱M外賣(mài)）為了解其在全國(guó)各城市的業(yè)務(wù)發(fā)展情況，隨機(jī)抽取了100個(gè)城市，調(diào)查了M外賣(mài)在今年2月份的訂單情況，并制成如下頻率分布表.
訂單：（單位：萬(wàn)件）




頻率
0.04
0.06
0.10
0.10
訂單：（單位：萬(wàn)件）





頻率
0.30
0.20
0.10
0.08
0.02
（1）由頻率分布表可以認(rèn)為，今年2月份M外賣(mài)在全國(guó)各城市的訂單數(shù)（單位：萬(wàn)件）近似地服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，它的值已求出，約為3.64，現(xiàn)把頻率視為概率，解決下列問(wèn)題：
①?gòu)娜珖?guó)各城市中隨機(jī)抽取6個(gè)城市，記今年2月份M外賣(mài)訂單數(shù)Z在區(qū)間內(nèi)的城市數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望（取整數(shù)）；
②M外賣(mài)決定在該月訂單數(shù)低于7萬(wàn)件的城市開(kāi)展“訂外賣(mài)，搶紅包”的營(yíng)銷活動(dòng)來(lái)提升業(yè)績(jī)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，開(kāi)展此活動(dòng)后城市每月外賣(mài)訂單數(shù)將提高到平均每月9萬(wàn)件的水平，現(xiàn)從全國(guó)2月訂單數(shù)不超過(guò)7萬(wàn)件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個(gè)城市開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)，若每接一件外賣(mài)訂單平均可獲純利潤(rùn)5元，但每件外賣(mài)訂單平均需送出紅包2元，則M外賣(mài)在這100個(gè)城市中開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)將比不開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)每月多盈利多少萬(wàn)元？
（2）現(xiàn)從全國(guó)開(kāi)展M外賣(mài)業(yè)務(wù)的所有城市中隨機(jī)抽取100個(gè)城市，若抽到K個(gè)城市的M外賣(mài)訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的可能性最大，試求整數(shù)k的值.
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.
【答案】（1）①；②萬(wàn)元；（2）.
【分析】
（1）①先由頻率分布表求出樣本平均數(shù)，得到，求出，再由題意，得到，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式，即可得出結(jié)果；
②根據(jù)分層抽樣，分別得出訂單數(shù)在區(qū)間和的城市數(shù)，計(jì)算出不開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)所得利潤(rùn)，以及開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)所得利潤(rùn)，即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由正態(tài)分布，先求出隨機(jī)抽取1個(gè)城市的外賣(mài)訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為，得到抽到K個(gè)城市的M外賣(mài)訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為，為使其最大，列出不等式組求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）①由頻率分布表可得，樣本平均數(shù)為
，
所以，
因此
，
由題意，可得，所以的數(shù)學(xué)期望為；
②由分層抽樣知，這100個(gè)城市中每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有個(gè)，
則每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有個(gè)，
若不開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)，則一個(gè)月的利潤(rùn)為（萬(wàn)元），
若開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)，則一個(gè)月的利潤(rùn)為（萬(wàn)元），
因此M外賣(mài)在這100個(gè)城市中開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)將比不開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)每月多盈利萬(wàn)元；
（2）因?yàn)?br /> ，
即隨機(jī)抽取1個(gè)城市的外賣(mài)訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為，
則從全國(guó)開(kāi)展M外賣(mài)業(yè)務(wù)的所有城市中隨機(jī)抽取100個(gè)城市，抽到K個(gè)城市的M外賣(mài)訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為，
為使若抽到K個(gè)城市的M外賣(mài)訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的可能性最大，
只需，
即，即，解得，
則，
又為整數(shù)，所以.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布求指定區(qū)間的概率，考查由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式求概率的最值，解題關(guān)鍵在于熟記正態(tài)分布的對(duì)稱性，二項(xiàng)分布的概念以及二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.
18．某地區(qū)為了解學(xué)生課余時(shí)間的讀書(shū)情況，隨機(jī)抽取了n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查得到的學(xué)生日均課余讀書(shū)時(shí)間分成，，，，，六組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，將日均課余讀書(shū)時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“讀書(shū)之星”，日均課余讀書(shū)時(shí)間低于40分鐘的學(xué)生稱為“非讀書(shū)之星”已知抽取的樣本中日均課余讀書(shū)時(shí)間低于10分鐘的有10人.

（1）求p和n的值；
（2）根據(jù)已知條件和下面表中兩個(gè)數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%以上的把握認(rèn)為“讀書(shū)之星”與性別有關(guān)？

非讀書(shū)之星
讀書(shū)之星
總計(jì)
男



女

10
55
總計(jì)



（3）將本次調(diào)查所得到有關(guān)事件發(fā)生的頻率視為其發(fā)生的概率，現(xiàn)從該地區(qū)大量學(xué)生中.隨機(jī)抽取20名學(xué)生參加讀書(shū)與文學(xué)素養(yǎng)的研討會(huì)，記被抽取的“讀書(shū)之星”人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1），；（2）填表見(jiàn)解析；沒(méi)有；（3）人.
【分析】
（1）由頻率和為1可求出的值，再由抽取的樣本中日均課余讀書(shū)時(shí)間低于10分鐘的有10人可求出的值；
（2）由題意完成列聯(lián)表，利用公式求出，再結(jié)臨界值表進(jìn)行判斷即可；
（3）將頻率視為概率，即從該地區(qū)學(xué)生中抽取一名學(xué)生是“讀書(shū)之星”的概率為，由題意可知，從而可求出
【詳解】
（1），解得：，
所以.
（2）因?yàn)?，所以“讀書(shū)之星”有，
從而列聯(lián)表如下圖所示：

非讀書(shū)之星
讀書(shū)之星
總計(jì)
男
30
15
45
女
45
10
55
總計(jì)
75
25
100
將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得，
因?yàn)椋詻](méi)有95%以上的把握認(rèn)為“讀書(shū)之星”與性別有關(guān).
（3）將頻率視為概率，即從該地區(qū)學(xué)生中抽取一名學(xué)生是“讀書(shū)之星”的概率為.
由題意可知，所以（人）.
【點(diǎn)睛】
此題考查頻率分布直方圖，考查頻率的求法，考查離散型數(shù)學(xué)期望的求法，考查二項(xiàng)分布，考查分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題

19．《開(kāi)講啦》是中國(guó)首檔青年電視公開(kāi)課，節(jié)目邀請(qǐng)“中國(guó)青年心中的榜樣”作為演講嘉賓，分享他們對(duì)于生活和生命的感悟，給予中國(guó)青年現(xiàn)實(shí)的討論和心靈的滋養(yǎng).為了了解觀眾對(duì)節(jié)目的喜愛(ài)程度，電視臺(tái)分別在?兩個(gè)地區(qū)調(diào)在了45和55共100名觀眾，得到如下的列聯(lián)表：

非常滿意
滿意
合計(jì)

30

45



55
合計(jì)


100
已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾是“非常滿意”的觀眾的概率為0.65.
（1）完成上述表格，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系？
（2）若以抽樣調(diào)查的頻率作為概率，從地區(qū)所有觀眾中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽到的觀眾“非常滿意”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附表：

0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
其中隨機(jī)變量.
【答案】（1）表格答案詳見(jiàn)解析，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下不能認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有區(qū)別；（2）分布列答案詳見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望.
【分析】
（1）根據(jù)已知完善列聯(lián)表，計(jì)算出的值，由此判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下不能認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有區(qū)別.
（2）設(shè)抽到的觀眾“非常滿意”的人數(shù)為，服從二項(xiàng)分布，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【詳解】
（1）依題意得列聯(lián)表為：

非常滿意
滿意
合計(jì)

30
15
45

35
20
55
合計(jì)
65
35
100
，
所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下不能認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有區(qū)別.
（2）從地區(qū)隨機(jī)抽取1人，抽到的觀眾“非常滿意”的概率為，
隨機(jī)抽取3人，的可能取值為0，1，2，3，，
，
，
，
，
的分布列為：

0
1
2
3





.
【點(diǎn)睛】
本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，用頻率估計(jì)概率，考查概率的求法及應(yīng)用，考查二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.
20．某幾位大學(xué)生自主創(chuàng)辦了一個(gè)服務(wù)公司提供兩種民生消費(fèi)產(chǎn)品(人們購(gòu)買(mǎi)時(shí)每次只買(mǎi)其中一種)服務(wù)，他們經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：第一次購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品的人購(gòu)買(mǎi)的概率為，購(gòu)買(mǎi)的概率為.第一次購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品的人第二次購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品的概率為，購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品的概率為.第一次購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品的人第二次購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品的概率為，購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品的概率也是.
（1）求某人第二次來(lái)，購(gòu)買(mǎi)的是產(chǎn)品的概率；
（2）記第二次來(lái)公司購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品的個(gè)人中有個(gè)人購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品，求的分布列并求
【答案】（1）；（2）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：.
【分析】
（1）根據(jù)題中條件，由相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)題中條件，得到，分別求出取不同值時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列，由二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】
（1）依題意可得：某人第二次來(lái)購(gòu)買(mǎi)的是產(chǎn)品的概率
（2）依題意可得：
；；
；；
分布列如下表：










.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查求相互獨(dú)立事件的概率，考查求二項(xiàng)分布的分布列及期望，屬于?？碱}型.
21．某中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)共開(kāi)設(shè)有初等代數(shù)、初等幾何、初等數(shù)論和微積分初步共四門(mén)課程，要求初等代數(shù)、初等幾何都要合格，且初等數(shù)論和微積分初步至少有一門(mén)合格，才能取得參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)賽的資格，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)報(bào)名參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)，每一位同學(xué)對(duì)這四門(mén)課程考試是否合格相互獨(dú)立，其合格的概率均相同，（見(jiàn)下表），且每一門(mén)課程是否合格相互獨(dú)立，
課 程
初等代數(shù)
初等幾何
初等數(shù)論
微積分初步
合格的概率




（1）求甲同學(xué)取得參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)賽的資格的概率；
（2）記表示三位同學(xué)中取得參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)賽的資格的人數(shù)，求的分布列（只需列式無(wú)需計(jì)算）及期望.
【答案】（1）；（2）分布列答案見(jiàn)解析，期望為.
【分析】
（1） 分別記甲對(duì)這四門(mén)課程考試合格為事件，則“甲能修得該課程學(xué)分”的概率為，由獨(dú)立事件的概率公式可計(jì)算出概率．
（2）由（1）知每個(gè)人獲得復(fù)賽資格的概率是，的取值依次為，～，由二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算了概率得分布列，再由二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算出期望．
【詳解】
（1） 分別記甲對(duì)這四門(mén)課程考試合格為事件，則“甲能修得該課程學(xué)分”的概率為，事件相互獨(dú)立，

(2)， ，
，
因此，的分布列如下：










因?yàn)椤?
所以
【點(diǎn)睛】
本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，考查二項(xiàng)分布．旨在考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，運(yùn)算求解能力．
22．華為手機(jī)的“麒麟970”芯片在華為處理器排行榜中最高主頻2.4GHz，同時(shí)它的線程結(jié)構(gòu)也做了很大的改善，整個(gè)性能及效率至少提升了50%，科研人員曾就是否需采用西門(mén)子制程這一工藝標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了反復(fù)比較，在一次實(shí)驗(yàn)中，工作人員對(duì)生產(chǎn)出的50片芯片進(jìn)行研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)使用了該工藝的30片芯片有28片線程結(jié)構(gòu)有很大的改善，沒(méi)有使用該工藝的20片芯片中有12片線程結(jié)構(gòu)有很大的改善.
（1）用列聯(lián)表判斷：這次實(shí)驗(yàn)是否有99.5%的把握認(rèn)為“麒麟970”芯片的線程結(jié)構(gòu)有很大的改善與使用西門(mén)子制程這一工藝標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)？
（2）在“麒麟970”芯片的線程結(jié)構(gòu)有很大的改善后，接下來(lái)的生產(chǎn)制作還需對(duì)芯片的晶圓依次進(jìn)行金屬濺鍍，涂布光阻，蝕刻技術(shù)，光阻去除這四個(gè)環(huán)節(jié)的精密操作，進(jìn)而得到多晶的晶圓，生產(chǎn)出來(lái)的多晶的晶圓經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的質(zhì)檢，確定合格后才能進(jìn)入下一個(gè)流程.如果生產(chǎn)出來(lái)的多晶的晶圓在質(zhì)檢中不合格，那么必須依次對(duì)前四個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行技術(shù)檢測(cè)并對(duì)所有的出錯(cuò)環(huán)節(jié)進(jìn)行修復(fù)才能成為合格品.在實(shí)驗(yàn)的初期，由于技術(shù)的不成熟，生產(chǎn)制作的多晶的晶圓很難達(dá)到理想狀態(tài)，研究人員根據(jù)以往的數(shù)據(jù)與經(jīng)驗(yàn)得知在實(shí)驗(yàn)生產(chǎn)多晶的晶圓的過(guò)程中，前三個(gè)環(huán)節(jié)每個(gè)環(huán)節(jié)生產(chǎn)正常的概率為，每個(gè)環(huán)節(jié)出錯(cuò)需要修復(fù)的費(fèi)用均為200元，第四環(huán)節(jié)生產(chǎn)正常的概率為，此環(huán)節(jié)出錯(cuò)需要修復(fù)的費(fèi)用為100元，問(wèn)：一次試驗(yàn)生產(chǎn)出來(lái)的多晶的晶圓要成為合格品大約還需要消耗多少元費(fèi)用？（假設(shè)質(zhì)檢與檢測(cè)過(guò)程不產(chǎn)生費(fèi)用）
參考公式：，.
參考數(shù)據(jù)：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001

2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有99.5%的把握；（2）225元.
【分析】
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表，計(jì)算出觀測(cè)值，再利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想即可求解.
（2）計(jì)算出X的可能取值為，再根據(jù)二項(xiàng)分布求出概率，列出X分布列，求出數(shù)學(xué)期望，即可.
【詳解】
（1）由題意列聯(lián)表為：

使用工藝
不使用工藝
合計(jì)
合格
28
12
40
不合格
2
8
10
合計(jì)
30
20
50

故，
故有99.5%的把握認(rèn)為“麒麟970”芯片的線性結(jié)構(gòu)有很大的改善與使用西門(mén)子制程這一工藝技術(shù)有關(guān).
（2）設(shè)表示檢測(cè)到第i個(gè)環(huán)節(jié)有問(wèn)題（，2，3，4），X表示成為一個(gè)合格的多晶的晶圓需消耗的費(fèi)用，則X的可能取值為：0，100，200，300，400，500，600，700，
表明四個(gè)環(huán)節(jié)均正常，
表明第四環(huán)節(jié)有問(wèn)題，
表明前三環(huán)節(jié)有一環(huán)節(jié)有問(wèn)題，
表明前三環(huán)節(jié)有一環(huán)節(jié)及第四環(huán)節(jié)有問(wèn)題，
表明前三環(huán)節(jié)有兩環(huán)節(jié)有問(wèn)題，
表明前三環(huán)節(jié)有兩環(huán)節(jié)及第四環(huán)節(jié)有問(wèn)題，
表明前三環(huán)節(jié)有問(wèn)題
表明四個(gè)環(huán)節(jié)均有問(wèn)題.
費(fèi)用X分布列為：
X
0
100
200
300
400
500
600
700
P









故
（元），
故大約需要耗費(fèi)225元.
【點(diǎn)睛】
本題考查了列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、數(shù)學(xué)期望，考查了考生的分析能力、計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.


23．為提升銷量，某電商在其網(wǎng)店首頁(yè)設(shè)置了一個(gè)“勇闖關(guān)，贏紅包”的游戲小程序，其游戲規(guī)則如下：在網(wǎng)頁(yè)上設(shè)置三個(gè)翻牌關(guān)卡，每個(gè)關(guān)卡翻牌結(jié)果只有兩種：Pass（通過(guò)）與Fail（失敗），若買(mǎi)家通過(guò)這三關(guān)，則認(rèn)為闖關(guān)成功；若三關(guān)均未通過(guò)或只通過(guò)三關(guān)中的一關(guān)，則游戲失敗；若三關(guān)中恰好通過(guò)兩關(guān)，則允許參加復(fù)活環(huán)節(jié)．復(fù)活環(huán)節(jié)有兩個(gè)翻牌關(guān)卡，若兩關(guān)均通過(guò)，也認(rèn)為闖關(guān)成功，否則認(rèn)為闖關(guān)失?。俣ㄙI(mǎi)家每一關(guān)通過(guò)的概率均為，且各關(guān)卡之間是否通過(guò)相互獨(dú)立．
（1）求某買(mǎi)家參加這個(gè)游戲闖關(guān)成功的概率；
（2）若闖關(guān)成功，則買(mǎi)家可贏得50元的購(gòu)物紅包．若闖關(guān)失敗．則可獲得10元紅包，紅包均可直抵在該網(wǎng)店購(gòu)物的貨款．某日有8100人參與了游戲且均在該網(wǎng)店消費(fèi)．
（ⅰ）求該日所有買(mǎi)家所獲紅包總金額的數(shù)學(xué)期望：
（ⅱ）假定該電商能從未中獎(jiǎng)的買(mǎi)家的購(gòu)物中平均獲利8元/人，從中獎(jiǎng)的買(mǎi)家的購(gòu)物中平均獲利120元/人（均不含所發(fā)紅包在內(nèi)）．試從數(shù)學(xué)期望的角度判斷該電商這一日通過(guò)游戲搞促銷活動(dòng)是否合算，并說(shuō)明理由.
【答案】（1）；（2）（?。?01000元；（ⅱ）合算，理由見(jiàn)解析.
【分析】
（1）分買(mǎi)家通過(guò)三關(guān)和買(mǎi)家參加復(fù)活環(huán)節(jié)并闖關(guān)成功分別求出概率并求和.
（2）（?。┯桑?）可知，一名買(mǎi)家闖關(guān)成功的概率，則，而，可求出答案.
(ii) 設(shè)電商該日剔除紅包款后盈利元，則，可得出答案.
【詳解】
解：（1）買(mǎi)家通過(guò)三關(guān)的概率為，
買(mǎi)家參加復(fù)活環(huán)節(jié)并闖關(guān)成功的概率為，
所以買(mǎi)家闖關(guān)成功的概率．
（2）（?。┯桑?）可知，一名買(mǎi)家闖關(guān)成功的概率，
設(shè)這8100名買(mǎi)家中闖關(guān)成功的人數(shù)為，
則，
且，
所以的數(shù)學(xué)期望為，
所以該日所有買(mǎi)家所獲紅包總金額的數(shù)學(xué)期望為
元．
（ⅱ）設(shè)電商該日剔除紅包款后盈利元，
則元，
由此可見(jiàn)，該電商該日通過(guò)游戲搞促銷活動(dòng)盈利較多，很合算．
【點(diǎn)睛】
本題考查獨(dú)立事件的概率，考查二項(xiàng)分布的期望，和利用期望分析實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題.
24．《最強(qiáng)大腦》是大型科學(xué)競(jìng)技類真人秀節(jié)目，是專注傳播腦科學(xué)知識(shí)和腦力競(jìng)技的節(jié)目．某機(jī)構(gòu)為了了解學(xué)生喜歡《最強(qiáng)大腦》是否與性別有關(guān)，對(duì)某高中200名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下2×2列聯(lián)表：

喜歡《最強(qiáng)大腦》
不喜歡《最強(qiáng)大腦》
合計(jì)
男生
70


女生

30

合計(jì)




已知在這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡《最強(qiáng)大腦》的概率為0.6．
（1）判斷是否有90%的把握認(rèn)為喜歡《最強(qiáng)大腦》與性別有關(guān)？
（2）從上述不喜歡《最強(qiáng)大腦》的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生，再在這8人中抽取3人調(diào)查其喜歡的節(jié)目類型，用表示3人中女生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù)：
P (K2 ≥ k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）沒(méi)有90%的把握認(rèn)為喜歡《最強(qiáng)大腦》與性別有關(guān)；（2）分布列見(jiàn)解析，.
【分析】
（1）由200×0.6=120以及表中數(shù)據(jù)即可完善列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值，再利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想即可求解.
（2）根據(jù)分層抽樣的抽樣比可得隨機(jī)變量的取值可能為0，1，2，3，再根據(jù)二項(xiàng)分布求出概率，得到的分布列，再利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可求解.
【詳解】
（1）由200×0.6=120及已知數(shù)據(jù)知滿足題意的2×2列聯(lián)表如下表所示：

喜歡《最強(qiáng)大腦》
不喜歡《最強(qiáng)大腦》
合計(jì)
男生
70
50
120
女生
50
30
80
合計(jì)
120
80
200

由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得到.
因此沒(méi)有90%的把握認(rèn)為喜歡《最強(qiáng)大腦》與性別有關(guān)；
（2）由題意知，從不喜歡《最強(qiáng)大腦》的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生，其中女生有3人，男生有5人，隨機(jī)變量的取值可能為0，1，2，3，
，，
，.
的分布列為
X
0
1
2
3
P





.
【點(diǎn)睛】
本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、二項(xiàng)分布以及數(shù)學(xué)期望，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

25．為抗擊“新冠肺炎”，全國(guó)各地“停課不停學(xué)”，各學(xué)校都開(kāi)展了在線課堂，組織學(xué)生在線學(xué)習(xí)，并自主安排時(shí)間完成相應(yīng)作業(yè)為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，某在線教育平臺(tái)統(tǒng)計(jì)了部分高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需的平均時(shí)間，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）如果學(xué)生在完成在線課程后每天平均自主學(xué)習(xí)時(shí)間（完成各科作業(yè)及其他自主學(xué)習(xí)）為5小時(shí)，估計(jì)高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平均時(shí)間占自主學(xué)習(xí)時(shí)間的比例（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（結(jié)果精確到0.01）；
（2）為了進(jìn)一步了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，平臺(tái)隨機(jī)選擇100位高三備考學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試，記選擇的學(xué)生中每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的時(shí)間不超過(guò)45分鐘的人數(shù)為，以統(tǒng)計(jì)的頻率作為概率，求的期望.
【答案】（1）0.18（2）28
【分析】
（1）由頻率分布直方圖計(jì)算出高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平均時(shí)間的平均值，即可得解；
（2）由題意可知，利用二項(xiàng)分布期望的公式即可直接得解.
【詳解】
（1）高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平均時(shí)間的平均值的估計(jì)值為
，
所以完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平均時(shí)間占自主學(xué)習(xí)時(shí)間的比例估計(jì)值為.
（2）以統(tǒng)計(jì)的頻率作為概率，每個(gè)高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的時(shí)間不超過(guò)45分鐘的概率為0.28，所以，得.
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用頻率分布直方圖求平均數(shù)，考查了二項(xiàng)分布期望的求解，屬于中檔題.
26．在某項(xiàng)娛樂(lè)活動(dòng)的海選過(guò)程中評(píng)分人員需對(duì)同批次的選手進(jìn)行考核并評(píng)分，并將其得分作為該選手的成績(jī)，成績(jī)大于等于分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，大于等于分的選手將直接參加競(jìng)賽選拔賽.已知成績(jī)合格的名參賽選手成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中的頻率構(gòu)成等比數(shù)列.

（1）求的值；
（2）估計(jì)這名參賽選手的平均成績(jī)；
（3）根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，參加競(jìng)賽選拔賽的選手能夠進(jìn)入正式競(jìng)賽比賽的概率為，假設(shè)每名選手能否通過(guò)競(jìng)賽選拔賽相互獨(dú)立，現(xiàn)有名選手進(jìn)入競(jìng)賽選拔賽，記這名選手在競(jìng)賽選拔賽中通過(guò)的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1) ；(2)84；(3)分布列見(jiàn)解析，1.
【分析】
(1)利用頻率分布直方圖的性質(zhì)列式求解即可.
(2) 利用頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法求解即可.
(3)易得隨機(jī)變量滿足二項(xiàng)分布,再根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列與數(shù)學(xué)期望求解即可.
【詳解】
解:(1)由題意,得
解得
(2)估計(jì)這名選手的平均成績(jī)?yōu)?
(3)由題意知,,
則可能取值為,
所以
所以的分布列為















故的數(shù)學(xué)期望為.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了頻率分布直方圖的運(yùn)用與二項(xiàng)分布的分布列與數(shù)學(xué)期望,屬于中等題型.
27．2020年全球暴發(fā)新冠肺炎疫情，其最大特點(diǎn)是人傳人，傳播快，病亡率高．通過(guò)佩戴口罩可以有效地降低病毒傳染率．在某高風(fēng)險(xiǎn)地區(qū)，公共場(chǎng)合未戴口罩被感染的概率是，戴口罩被感染的概率是，現(xiàn)有在公共場(chǎng)合活動(dòng)的甲、乙、丙、丁、戊5個(gè)人，每個(gè)人是否被感染相互獨(dú)立．
（1）若他們都未戴口罩，求其中恰有3人被感染的概率．
（2）若他們中有3人戴口罩，設(shè)5人中被感染的人數(shù)為，求：
（?。?；
（ⅱ）．
附：對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量、，有．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（?。?，（ⅱ）．
【分析】
（1）利用事件恰好發(fā)生k次的的概率公式可得答案；
（2）分情況計(jì)算當(dāng)被感染的兩人都未戴口罩、只有一人戴口罩、都戴口罩的概率，再根據(jù)互斥事件概率加法公式求得；分別求戴口罩的3人被感染的人數(shù)、未戴口罩的2人被感染的人數(shù)的期望可得答案.
【詳解】
（1）若他們都未戴口罩，則恰有3人被感染的概率是
．
（2）（?。┊?dāng)被感染的兩人都未戴口罩時(shí)，；
當(dāng)被感染的兩人中，只有一人戴口罩時(shí)，；
當(dāng)被感染的兩人都戴口罩時(shí)，．
所以．
（ⅱ）設(shè)戴口罩的3人被感染的人數(shù)為，則，
設(shè)未戴口罩的2人被感染的人數(shù)為則，
所以．
【點(diǎn)睛】
本題考查二項(xiàng)分布、互斥事件的概率計(jì)算公式，概率的實(shí)際應(yīng)用．
28．順義某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)滿一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有8個(gè)紅球、4個(gè)黑球的甲箱和裝有6個(gè)紅球、6個(gè)黑球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)，若沒(méi)有紅球，則不獲獎(jiǎng).
（Ⅰ）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見(jiàn)解析，1.
【分析】
（Ⅰ）記“甲箱中摸出紅球”為事件A，“乙箱中摸出紅球”為事件B，利用古典概型的概率求法求得和，然后由相互獨(dú)立事件的概率分都是紅球和只有1個(gè)紅球兩種情況討論求解.
（Ⅱ）先求出“在一次抽獎(jiǎng)中，獲得一等獎(jiǎng)的概率”，由隨機(jī)變量，X的所有可能取值為0，1，2，3，然后分別求得其相應(yīng)的概率，列出分布列再利用數(shù)學(xué)期望公式求解..
【詳解】
（Ⅰ）記“甲箱中摸出紅球”為事件A，“乙箱中摸出紅球”為事件B，
則，
根據(jù)題意，摸出的2個(gè)球中，都是紅球或只有1個(gè)紅球，
所以顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率為.
（Ⅱ）在一次抽獎(jiǎng)中，獲得一等獎(jiǎng)的概率為，
隨機(jī)變量，X的所有可能取值為0，1，2，3，
，，
，.
∴X的分布列為

數(shù)學(xué)期望.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查獨(dú)立事件的概率和離散型隨機(jī)變量的分布列，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
29．高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行，更帶動(dòng)了我國(guó)經(jīng)濟(jì)的巨大發(fā)展，據(jù)統(tǒng)計(jì)，在2018年這一年內(nèi)從A市到B市乘坐高鐵或飛機(jī)出行的成年人約為50萬(wàn)人次．為了解乘客出行的滿意度，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100人次作為樣本．得到下表(單位：人次)：

（1）在樣本中任取1個(gè)，求這個(gè)出行人恰好不是青年人的概率；
（2）在2018年從A市到B市乘坐高鐵的所有成年人中，隨機(jī)選取2人次，記其中老年人出行的人次為X．以頻率作為概率．求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）如果甲將要從A市出發(fā)到B市，那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，你建議甲是乘坐高鐵還是 飛機(jī)？并說(shuō)明理由.
【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）乘坐高鐵，見(jiàn)解析
【分析】
（1）根據(jù)分層抽樣的特征可以得知，樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為19，39，42，即可按照古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算得出；
（2）依題意可知服從二項(xiàng)分布，先計(jì)算出隨機(jī)選取1人次，此人為老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）可以計(jì)算滿意度均值來(lái)比較乘坐高鐵還是飛機(jī)．
【詳解】
（1）設(shè)事件：“在樣本中任取1個(gè)，這個(gè)出行人恰好不是青年人”為，
由表可得：樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為19，39，42，
所以在樣本中任取1個(gè)，這個(gè)出行人恰好不是青年人的概率；
（2）由題意，的所有可能取值為：0，1，2，
因?yàn)樵?018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中，隨機(jī)選取1人次，此人
為老年人概率是，
所以，
，
，
所以隨機(jī)變量的分布列為：

0
1
2





故；
（3）從滿意度的均值來(lái)分析問(wèn)題如下：
由表可知，乘坐高鐵的人滿意度均值為：，
乘坐飛機(jī)的人滿意度均值為：，
因?yàn)椋?br /> 所以建議甲乘坐高鐵從市到市．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用、古典概型的概率計(jì)算、以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算，解題關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，概率模型的判斷，屬于中檔題．
30．在我國(guó)抗疫期間，素有“南抖音，北快手”之說(shuō)的小視頻除了給人們帶來(lái)生活中的快樂(lè)外，更在于傳遞了一種正能量，為抗疫起到了積極的作用，但一個(gè)優(yōu)秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技術(shù)要求，某同學(xué)學(xué)習(xí)利用“快影”軟件將已拍攝的素材進(jìn)行制作，每次制作分三個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)進(jìn)行，其中每個(gè)環(huán)節(jié)制作合格的概率分別為，，，只有當(dāng)每個(gè)環(huán)節(jié)制作都合格才認(rèn)為一次成功制作，該小視頻視為合格作品.
（1）求該同學(xué)進(jìn)行3次制作，恰有一次合格作品的概率；
（2）若該同學(xué)制作10次，其中合格作品數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望與方差；
（3）該同學(xué)掌握技術(shù)后制作的小視頻被某廣告公司看中，聘其為公司做廣告宣傳，決定試用一段時(shí)間，每天制作小視頻(注：每天可提供素材制作個(gè)數(shù)至多40個(gè))，其中前7天制作合格作品數(shù)與時(shí)間如下表：(第天用數(shù)字表示)
時(shí)間()
1
2
3
4
5
6
7
合格作品數(shù)()
3
4
3
4
7
6
8

其中合格作品數(shù)()與時(shí)間()具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程(精確到0.01)，并估算第14天能制作多少個(gè)合格作品(四舍五入取整)？
(參考公式，，參考數(shù)據(jù)：.)
【答案】（1）；（2），；（3），個(gè).
【分析】
（1）根據(jù)題意可直接求出制作一次視頻成功的概率，進(jìn)而可以求出該同學(xué)進(jìn)行三次制作，恰有一次合格作品的概率；
（2）首先判斷出，從而可以利用二項(xiàng)分布的期望與方差公式直接求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差；
（3）根據(jù)題干給出的公式直接計(jì)算 、 ，即可求出對(duì)應(yīng)的回歸方程，令，即可故算出第14天能制作13個(gè)合格作品.
【詳解】
（1）由題意知：制作一次視頻成功的概率為，
所以該同學(xué)進(jìn)行3次制作，恰有一次合格作品的概率.
（2）根據(jù)題意可得：，
所以，，
（3）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可計(jì)算出：
，，
所以 ，
所以，
所以關(guān)于的線性回歸方程為，
令，得，
即估計(jì)第14天能制作13個(gè)合格作品.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了事件與概率、隨機(jī)變量與分布列，及統(tǒng)計(jì)案例.