2024年新高考數學培優(yōu)專練25 參變分離法解決導數問題（原卷版+解析）-試卷下載-教習網

1．已知函數，且，當時，恒成立，則a的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由，可得，從而，從而當時，恒成立，構造函數，可得，結合時，取得最大值1，從而的最大值為，只需即可.
【詳解】
由題意，，解得，則，
則當時，，即恒成立，
令，則，
當時，，時，，
所以在上是減函數，在是增函數，，
又因為當時，取得最大值1，
所以當時，取得最大值，
所以.
故選：B.
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查不等式恒成立問題，解題關鍵是將原不等式轉化為，進而求出的最大值，令其小于即可.考查學生的邏輯推理能力，計算求解能力，屬于中檔題.
2．若函數沒有極值點，則實數a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先對函數求導，然后結合極值存在的條件轉化為函數圖象交點問題，分離參數后結合導數即可求解.
【詳解】
由題意可得，沒有零點，
或者有唯一解（但導數在點的兩側符號相同），
即沒有交點，或者只有一個交點但交點的兩側符號相同.
令，，
則，
令則在上單調遞減且，
所以當時，，，單調遞增，
當時，，，單調遞減，
故當時，取得最大值，
又時，，時，，
結合圖象可知，即.
故選：C.
【點睛】
方法點睛：已知函數沒有極值點，求參數值(取值范圍)常用的方法：
（1）分離參數法：先求導然后將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（2）數形結合法：先求導然后對導函數變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.
3．若函數在上是減函數，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
在上是減函數等價于在上恒成立，利用分離參數求解即可.
【詳解】
∵在上是減函數，所以在上恒成立，即，即，
∵，∴，
故選：A.
【點睛】
本題主要考查“分離參數”在解題中的應用、函數的定義域及利用單調性求參數的范圍，屬于中檔題. 利用單調性求參數的范圍的常見方法：① 視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較求參數需注意若函數在區(qū)間上是單調的，則該函數在此區(qū)間的任意子集上也是單調的; ② 利用導數轉化為不等式或恒成立問題求參數范圍.
4．已知函數（為自然對數的底數），．若存在實數，，使得，且，則實數的最大值為（）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】
根據可求得，利用得到，將問題轉化為，的最大值的求解問題，利用導數求得，從而求得結果.
【詳解】
，，
又且，，
由，即，整理得：，
令，，則，
和在上均為減函數，
在上單調遞減，，
即在上恒成立，在上單調遞減，
，即實數的最大值為.
故選：C.
【點睛】
本題考查導數在研究函數中的應用，解題關鍵是能夠通過分離變量的方式將問題轉化為函數最值的求解問題，進而利用導數求得函數最值得到結果.
5．設函數在上有兩個零點，則實數a的取值范圍（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令，進行參變分離得，設，將問題等價于y = a與在有兩個交點.求導，分析導函數的正負得出函數的單調性，從而作出圖象和最值，運用數形結合的思想可得選項.
【詳解】
令，即，解得，設，
所以在有兩個零點等價于y = a與在有兩個交點.
因為，得，所以在(0，e)上單調遞增，在上單調遞減，所以.
如圖所示，畫出的大致圖象。
結合圖象可知，當時， y = a與在有兩個交點，即此時在有兩個零點.
故選：D.
【點睛】
本題考查根據函數的零點個數求參數的范圍的問題，常采用參變分離的方法，利用導函數研究函數的單調性和最值，運用數形結合的思想，屬于較難題.
6．已知關于x的方程在上有兩解，則實數k的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用參變量分離法可將問題轉化為在上有兩解，進而可將問題轉化為函數與在上有兩個交點，利用導數研究函數的單調性，利用數形結合即可求出實數k的取值范圍.
【詳解】
由已知可得在上有兩解，
令，，則問題轉化為函數與在上有兩個交點，
，
令，則，
因為，所以恒成立，所以在上單調遞增，又，
所以當時，，則；當時，，則，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，又，
所以，實數k的取值范圍為.
故選：B
【點睛】
本題主要考查導數在研究函數中的應用，考查函數與方程思想，關鍵是對參變量分離轉化為兩個函數圖象的交點個數使問題得以解決，屬于難題.
7．若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求導，由題意可得恒成立，即為，設，即，分，，三種情況，分別求得范圍，可得實數的取值范圍.
【詳解】
由函數得，由題意可得恒成立，即為，
設，即，
當時，不等式顯然成立；
當時，，由在上單調遞減，可得時，取得最小值1，可得，
當時，，由在上單調遞減，可得時，取得最小值，可得，
綜上可得實數的取值范圍是，
故選：A.
【點睛】
本題考查運用導函數研究函數的單調性，由函數的單調性求參數的范圍，利用參變分離的方法解決不等式的恒成立問題，屬于較難題.
8．若關于x的不等式（a+2）x≤x2+alnx在區(qū)間[，e]（e為自然對數的底數）上有實數解，則實數a的最大值是（）
A．﹣1B．C．D．
【答案】D
【分析】
先對化簡，，用導數判斷在的符號為正，可轉化為，在有解，設，利用導數求函數的最大值，則，即實數的最大值為.
【詳解】
由，得，令，，
則，則在遞減，在遞增，則，
即由，得，有解，
設，，
則，
令，，則，
故在遞減，在遞增，故，
故在遞減，在遞增，又，，
故，故，
即實數的最大值為.
故選：D.
【點睛】
本題考查了不等式有解的問題，并多次利用導數研究函數的單調性求最值，考查了學生的轉化能力，邏輯思維能力，運算能力，難度較大.
9．已知函數，（，為自然對數的底數）.若存在，使得，則實數的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
證明出當時，由題意可得出使得，即，構造函數，利用導數求得函數的最大值，結合可求得實數的取值范圍.
【詳解】
當時，，則，
所以，函數在上單調遞增，，
由題意可知，使得，即，
令，其中，則，，令，得，
列表如下：
所以，函數的最大值為，，
又，，因此，實數的取值范圍是.
故選：C.
【點睛】
本題考查利用導數研究不等式能成立問題，考查了參變量分離法的應用，考查計算能力，屬于中等題.
10．已知函數，其中，若對于任意的，且，都有成立，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由已知將原不等式等價于恒成立，構造函數，求導在上恒成立，運用參變分離可得選項．
【詳解】
∵對于任意的，且，都有成立，
∴不等式等價為恒成立，
令，則不等式等價為當時，恒成立，即函數在上為增函數；
，則在上恒成立；
∴；即恒成立，
令，∴；
∴在上為增函數；∴；∴；
∴.
∴的取值范圍是.
故選：C.
【點睛】
本題考查構造函數，運用導函數解決不等式恒成立的問題，構造合適的函數是關鍵，屬于較難題．
11．已知函數有兩個極值點，則實數的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求導，將問題轉化為有兩個不同的零點，也即是關于x的方程有兩個不同的解，構造函數，求導，分析導函數取得正負的區(qū)間，從而得函數的單調性和最值，從而可得選項.
【詳解】
函數的定義域為R，，因為函數有兩個極值點，
所以有兩個不同的零點，
故關于x的方程有兩個不同的解，
令，則，當時，
，當時，，
所以函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間(1,+∞)上單調遞減，
又當時，；當時，，
且，故，
即.
故選：B.
【點睛】
本題考查運用導函數研究函數的單調性、最值、極值，關鍵在于構造合適的函數，參變分離的方法的運用，屬于中檔題.
12．已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根據在上恒成立求解．
【詳解】
∵，∴．
又函數在上單調遞減，∴在上恒成立，即在上恒成立．
∵當時，，∴．
所以實數的取值范圍是．
故選：B．
【點睛】
本題考查根據導函數研究函數的單調性，以及不等式的恒成立問題，注意當時，則函數在區(qū)間上單調遞減；而當函數在區(qū)間上單調遞減時，則有在區(qū)間上恒成立．解題時要注意不等式是否含有等號，屬于中檔題．
13．對于函數，把滿足的實數叫做函數的不動點.設，若有兩個不動點，則實數的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據定義分離出參數，構造函數，討論單調性和最值，結合圖象可得答案.
【詳解】
由得，令，則，
得在單調遞增，得在和單調遞減，
所以的極小值為，圖象如圖所示，由圖可知，時，有兩個不動點，
故選：B.
【點睛】
本題考查了函數新定義的應用，由導數確定函數的單調性與最值，考查了分離參數法與構造函數法的應用.
14．已知函數，，當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由題意得出，構造函數，可知函數在區(qū)間上單調遞增，可得出對任意的恒成立，利用參變量分離法可得出，利用導數求得函數在區(qū)間上的最小值，由此可求得實數的取值范圍.
【詳解】
函數的定義域為，當時，恒成立，
即，構造函數，則，
所以，函數在區(qū)間上為增函數，
則對任意的恒成立，，
令，其中，則.
，當時，，此時函數單調遞減；
當時，，此時函數單調遞增.
所以，函數的最小值為，.
因此，實數的取值范圍是.
故選：D.
【點睛】
本題考查利用函數在區(qū)間上的單調性求參數，根據不等式的結構特征構造合適的函數是解題的關鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.
二、多選題
15．對于函數，下列說法正確的是（）
A．在處取得極大值B．有兩個不同的零點
C．D．若在上恒成立，則
【答案】ACD
【分析】
A.先求函數的導數，判斷函數的單調性，判斷函數的極大值；B.根據函數的解析式，直接求函數的零點；C.根據函數的單調區(qū)間，直接比較大??；D.不等式轉化為在上恒成立，即求函數的最大值.
【詳解】
由已知，，令得，令得，故
在上單調遞增，在單調遞減，所以的極大值為，
A正確；
又令得，即，只有1個零點，B不正確；
函數在上單調遞減，因為，所以，故C正確；
若在上恒成立，即在上恒成立，設，
，令得，令得，故
在上單調遞增，在單調遞減，所以，，
故D正確.
故選：ACD
【點睛】
本題考查利用導數研究函數的性質，涉及到函數的極值、零點、不等式恒成立等問題，考查學生的邏輯推理能力，是一道中檔題.
16．關于函數，下列說法正確的是（）
A．當時，在處的切線方程為
B．若函數在上恰有一個極值，則
C．對任意，恒成立
D．當時，在上恰有2個零點
【答案】ABD
【分析】
直接逐一驗證選項，利用導數的幾何意義求切線方程，即可判斷A選項；利用分離參數法，構造新函數和利用導數研究函數的單調性和極值、最值，即可判斷BC選項；通過構造新函數，轉化為兩函數的交點個數來解決零點個數問題，即可判斷D選項.
【詳解】
解：對于A，當時，，，
所以，故切點為（0，0），
則，所以，故切線斜率為1，
所以在處的切線方程為：，即，故A正確；
對于B，，，則，
若函數在上恰有一個極值，即在上恰有一個解，
令，即在上恰有一個解，
則在上恰有一個解，
即與的圖象在上恰有一個交點，
，，
令，解得：，，
當時，，當時，，
在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以極大值為，極小值為，
而，
作出，的大致圖象，如下：
由圖可知，當時，與的圖象在上恰有一個交點，
即函數在上恰有一個極值，則，故B正確；
對于C，要使得恒成立，
即在上，恒成立，
即在上，恒成立，即，
設，，則，，
令，解得：，，
當時，，當時，，
在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以極大值為，，
所以在上的最大值為，
所以時，在上，恒成立，
即當時，才恒成立，
所以對任意，不恒成立，故C不正確；
對于D，當時，，，
令，則，即，
作出函數和的圖象，可知在內，兩個圖象恰有兩個交點，
則在上恰有2個零點，故D正確.
故選：ABD.
【點睛】
本題考查函數和導數的綜合應用，考查利用導數的幾何意義求切線方程，考查分離參數法的應用和構造新函數，以及利用導數研究函數的單調性、極值最值、零點等，考查化簡運算能力和數形結合思想.
三、解答題
17．已知函數，且恒成立．
（1）求實數的值；
（2）記，若，且當時，不等式恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）3．
【分析】
（1）由條件可得是的極大值點，從而，可得答案.
(2)由條件，根據條件可得對任意的恒成立，令，求出的導函數，得出單調區(qū)間，利用函數的隱零點，分析得出答案
【詳解】
（1）解：的定義域是，
因為，恒成立，所以是的極大值點，
所以，
因為，所以，所以．
（2）依題意得，，，
∴，
因為，所以對任意的恒成立，
令，則，
令，則，
所以函數在上單調遞增．
因為，，
所以方程在上存在唯一的實數根，且，
則，
所以， ①
當時，，即；
當時，，即，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．
所以，
把①代入得，，，
所以，
故整數的最大值是3．
【點睛】
關鍵點睛：本題考查根據恒成立求參數的最大整數值，考查函數的隱零點的整體然換的應用，解答本題的關鍵是由函數在上單調遞增，得出在上存在唯一的實數根，且，得出單調性，從而得出，然后將代入，得出，屬于難題.
18．已知函數的圖象過點，且在P處的切線恰好與直線垂直．
（1）求的解析式；
（2）若在上是減函數，求m的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求導得直線斜率，再利用已知條件建立方程組，求解即可函數的解析式；
（2）由題得在上恒成立，法一：分和兩種情況討論，運用二次函數的性質可得答案. 法二：進行參變分離，運用不等式恒成立的思想可得答案.
【詳解】
解：（1），由題意可得，解得.
所以．
（2）因為，所以.
因為在上是減函數，所以在上恒成立，
當時，在上恒成立；
當時，設，由函數的圖象的對稱軸為可得，即，得.
故m的取值范圍是.
法二：對成立，
當時；恒成立，
當時；，
【點睛】
不等式的恒成立問題，常常利用函數的最值得以解決，參數與函數的最值的大小關系．
19．已知函數（）.
（1）討論函數的單調性；
（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）.
【分析】
（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，判斷函數的單調性即可；
（2原不等式化為：在上恒成立，設，，
求出函數的導數，再令，根據函數的單調性求出a的范圍即可．
【詳解】
（1）
，，
令，則或，
當時，函數在區(qū)間和上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，
當時，函數在上單調遞增，
當時，函數在區(qū)間和上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；
（2）原不等式化為：在上恒成立，
設，，
，令，則，
所以在上單調遞增，，所以，
則函數在上單調遞增，且，.
【點睛】
方法點睛：本題考查利用導數研究單調性（含參），考查利用導數研究恒成立問題，解決第（2）問的關鍵是將原不等式轉化為在上恒成立，進而利用導數研究函數的單調性，從而得解，考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查轉化和劃歸思想，屬于?？碱}.
20．已知函數，.
（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實數的值；
（2）設，若對任意兩個不等的正數，，都有恒成立，求實數的取值范圍；
（3）若上存在一點，使得成立，求實數的取值范圍.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）先根據導數的幾何意義得，即可得的值；
（2）設，構造函數，則轉化為在上為增函數，即在上恒成立，參變分離得：，最后根據二次函數最值求實數的取值范圍；
（3）先化簡不等式，并構造函數，求導數，按導數零點與定義區(qū)間的大小關系討論函數的單調性，根據單調性確定函數的最小值，根據最小值小于即可得實數的取值范圍.
【詳解】
（1）由，得.
由題意，，所以.
（2）.
因為對任意兩個不等的正數，，都有恒成立，設，則即恒成立.
問題等價于函數，
即在上為增函數，
所以在上恒成立.即在上恒成立.
所以，即實數的取值范圍是.
（3）不等式等價于，
整理得.構造函數，
由題意知，在上存在一點，使得.
.
因為，所以，令，得.
①當，即時，在上單調遞增.只需，解得.
②當即時，在處取最小值.
令即，可得.
令，即，不等式可化為.
因為，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.
③當，即時，在上單調遞減，只需，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是.
【點睛】
本題考查利用導數研究函數的單調性，極值和最值的綜合問題，屬于中檔題.
21．已知函數，．
（1）求函數在處的切線方程；
（2）若實數為整數，且對任意的時，都有恒成立，求實數的最小值．
【答案】（1）；（2）1.
【分析】
（1）利用導數的幾何意義求出函數在處的切線方程；
（2）等價于在上恒成立，設，利用二次求導求出函數的最大值，即得解.
【詳解】
（1），
，
，，
在處的切線方程為
即．
（2），即在上恒成立，
在上恒成立，
設，
則，
顯然，，
設，則，
故在上單調遞減，
由，，
由零點定理得，使得，
即，
且時，，則，
時，，則．
在上單調遞增，在上單調遞減，
，
又由，，
則，
由恒成立，且m為整數，可得m的最小值為1．
【點睛】
關鍵點點睛：解答本題的關鍵是二次求導，在一次求導之后，如果函數的單調區(qū)間不易求出，此時一般要進行二次求導，求出新函數的單調區(qū)間，求出新函數在什么范圍內大于零，什么范圍內小于零，再結合已知分析得解.
22．設函數.
（1）求函數的單調區(qū)間；
（2）若對于任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）.
【分析】
（1）求出導函數，分別令導函數大于零、小于零可得答案；
（2）由已知得到，然后令，利用導數求的最小值可得答案.
【詳解】
（1），
令，得，令，得，
所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.
（2）若對于任意的，不等式恒成立，
即對于任意的恒成立，
令，，
，令，，
，所以在單調遞增，即，
在上恒有恒成立，
所以在單調遞增，所以，所以.
【點睛】
關鍵點睛：本題第二問考查的是常量分離求參數的取值范圍問題，解決的關鍵是構造函數，利用導數求最值，當導函數無法直接判斷符號時，可根據導函數解析式的特點以及定義域嘗試再求一次求導數，進而通過單調性和關鍵點（邊界點，零點）等確定符號.
23．已知函數的圖象在點處的切線方程為.(本題可能用的數據：，是自然對數的底數)
（1）求函數的解析式；
（2）若對任意，不等式恒成立，求整數t的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值為8.
【分析】
（1）求出導函數，然后求在處的切線方程與已知作比較可得答案；
（2）令(，轉化為，然后求可得答案.
【詳解】
（1）函數的定義域為，，
所以有，解之得，
故函數的解析式為：；
（2）當時，則，
令()，則由題意知對任意的，，
而，，
再令()，則，
所以在上為增函數，
又，，
所以存在唯一的，使得，即，
當時，，，所以在上單調遞減，
當時，，，所以在上單調遞增，
所以，
所以，
又，所以，
因為t為整數，所以t的最大值為8.
【點睛】
關鍵點睛：本題考查的是常量分離求參數的最大值問題，解決本題的關鍵是構造函數，利用該函數的單調性求得最值.
24．已知函數．
（1）當時，求的極值；
（2）設，若對恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】（1）極大值0，無極小值；（2）.
【分析】
（1）求，令，研究函數的單調性，從而求出的極值；
（2）由，利用參數分離法把問題轉化為，從而轉化為求函數的最大值，進而解不等式求出參數的取值范圍.
【詳解】
（1）函數的定義域為，
當時，，，
當，，在上為增函數；當時，，在上為減函數，故當時，取極大值，無極小值．
（2），由可得
則原問題等價于在上恒成立，
令，求導得
令，求導得
在是減函數，，
據此可得成立，
在是減函數，，
，即,
參數的取值范圍是
【點睛】
（1）求函數的極值一般步驟：（1）求；（2）令，求出其極值點；（3）利用導數的正負，判斷函數的單調性；（4）求出的極值．
（2）求參數范圍問題的常用方法：參數分離法，構造新的函數，將問題轉化為利用導數求新函數單調性與最值.
25．已知函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）設，當時，，實數的取值范圍．
【答案】（1）分類討論，答案見解析；（2）．
【分析】
(1)求導后，求得函數的導函數的零點，根據二次函數的性質，對實數a進行分類討論，判定導數的正負值區(qū)間，從而得到函數的單調性和單調區(qū)間；（2）利用分離參數法，并構造函數，利用導數研究其單調性，求得最小值，進而根據不等式恒成立的意義得到的取值范圍.
【詳解】
解：（1），
令，得，．
當時，恒成立，且僅在時取等號，故在上單調遞減；
當時，在區(qū)間和上，在區(qū)間上，
所以的單調遞減區(qū)間為，，的單調遞增區(qū)間為；
當時，在區(qū)間，上，在區(qū)間上．
所以的單調遞減區(qū)間為，，單調遞增區(qū)間為．
（2）當時，由題意可知，在上恒成立，
即在上恒成立，
設，則，
設，則，
當時，，當時，，
∴在，上單調遞減，在上單調遞增，
∴，
∴在上單調遞增，，
∴實數的取值范圍是．
【點睛】
本題考查利用導數研究函數的單調性，和導數的不等式恒成立求參數取值范圍問題，屬中檔題，難度一般.
單調遞增
極大值
單調遞減

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