課題：數(shù)學(xué)歸納法的簡單應(yīng)用
課型：
課時教學(xué)目標(biāo)
能用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)n的恒等式、不等式，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).
教學(xué)重點和難點
（1）教學(xué)重點：運用數(shù)學(xué)歸納法證明一些關(guān)于正整數(shù)n的命題，
（2）教學(xué)難點：在“歸納遞推”的步驟中，由假設(shè)n=kk∈N?，k≥n0時命題成立證明n=k+1時命題也成立.
教學(xué)資源和教學(xué)方法
教學(xué)過程
教學(xué)環(huán)節(jié)
師生活動
設(shè)計意圖
教師個人二次備課
環(huán)節(jié)一
復(fù)習(xí)回顧，引入新課
問題1 上一節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法，認(rèn)識、理解了數(shù)學(xué)歸納法的原理，你能復(fù)述用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的步驟嗎？在使用數(shù)學(xué)歸納法的過程中，歸納遞推的本質(zhì)是什么？
師生活動 學(xué)生作答，師生共同回顧、鞏固相關(guān)內(nèi)容.
本節(jié)課的主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，其目的是讓學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟，深刻理解數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)，不斷積累使用數(shù)學(xué)歸納法解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)歸納法的思想方法.
環(huán)節(jié)二
典例剖析，應(yīng)用方法
例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明：
12+22+?+n2=16nn+12n+1n∈N?
師生活動 學(xué)生獨立思考并書寫證明過程，然后教師在全班展示部分學(xué)生的證明過程，同學(xué)進(jìn)行點評.在展示交流過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生重點關(guān)注：
（1）證明過程中，兩個步驟是否清晰；
（2）在第二步用歸納遞推證明n=k+1時命題成立時，是否用到了n=k時成立這一條件；
（3）是否標(biāo)注了k的取值范圍.
例3 已知數(shù)列{an}滿足a1=0，2an+1?anan+1=1n∈N?,試猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
師生活動 學(xué)生獨立思考、解答，并進(jìn)行展示.同時，教師引導(dǎo)學(xué)生思考如下幾個問題：
（1）數(shù)列{an}的遞推關(guān)系是什么？
（2）根據(jù)遞推關(guān)系，a2，a3，a4的值各是多少？
（3）根據(jù)a2，a3，a4的值猜想數(shù)列{an}的的通項公式是什么？
（4）怎樣用數(shù)學(xué)歸納法證明所猜想的通項公式？
通過這幾個問題，把整個題目進(jìn)行分解，引導(dǎo)學(xué)生逐步解決以上問題，最終達(dá)到解決問題的目的.
追問 本例與上一節(jié)課中的探究問題有什么區(qū)別與聯(lián)系？
師生活動 學(xué)生小組交流、討論，并展示成果，教師適時參與交流.
例4 設(shè)x為實數(shù)，且x>?1，x≠0，n為大于1的正整數(shù)，若數(shù)列
x，x1+x，x1+x2，?，x1+xn?1，?
的前n項和為Sn，試比較Sn與nx的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
師生活動 教師先引導(dǎo)學(xué)生思考下面的問題：
（1）數(shù)列的前n項和Sn怎么求？
（2）這里n的值是從多少開始的？當(dāng)n=2，3，4時，Sn與nx的大小關(guān)系怎樣？
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想時，第二步歸納遞推中P（k）與Pk+1的關(guān)系是怎樣的？
在此基礎(chǔ)上，學(xué)生獨立思考，書寫解答過程，并以小組為單位進(jìn)行討論，然后請部分學(xué)生展示其解答過程.
追問1 關(guān)于本例的證明，還有其他的解答思路嗎？
師生活動 學(xué)生將不同于前一種的解題思路進(jìn)行展示，學(xué)生、教師點評.
追問2 根據(jù)本例題的證明結(jié)果，你能得到一個一般性的結(jié)論嗎？
師生活動 學(xué)生分組討論、交流，根據(jù)證明的結(jié)果，可以得到不等式1+xn>1+nx，其中x∈R且x>?1，x≠0，n∈N?且n>1.教師適時引導(dǎo)，這就是著名的貝努利不等式，該不等式還可以進(jìn)一步引申拓展，有興趣的同學(xué)可以課后去探究.
這是一個證明恒等式的問題，使學(xué)生進(jìn)一步熟悉用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的基本過程和表述規(guī)范.
例3與第1課時中的探究問題十分相似，設(shè)計本題目的有二：一是讓學(xué)生進(jìn)一步體會“先猜后證”的探究問題的方式，即觀察—歸納—猜想—證明；二是讓學(xué)生體會“遞推關(guān)系相同，而初始條件不同，則數(shù)列的通項公式不一定相同”，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中養(yǎng)成不斷總結(jié)和反思的習(xí)慣.
例4將等比數(shù)列求和、不等式的性質(zhì)和“先猜后證”的探究方法結(jié)合起來，意在讓學(xué)生明白：數(shù)學(xué)歸納法除了能證明關(guān)于正整數(shù)n的恒等式問題之外，還可以用于證明關(guān)于正整數(shù)n的不等式問題.到此，運用數(shù)學(xué)歸納法不僅證明了數(shù)列中的等差數(shù)列、等比數(shù)列等特殊數(shù)列的通項公式，而且還可以解決一些具有遞推關(guān)系的非特殊數(shù)列的通項公式求解問題，從而把數(shù)學(xué)歸納法真正融入數(shù)列的整體知識結(jié)構(gòu)之中.
追問1意在尋求一題多解，拓寬學(xué)生思路；追問2旨在引導(dǎo)學(xué)生加強總結(jié)、提煉，注重對平時學(xué)習(xí)中的例題、習(xí)題的加工，通過加工很可能就會得到一個非常有用的一般化結(jié)論，或數(shù)學(xué)史上重要的數(shù)學(xué)結(jié)論，同時要鼓勵學(xué)生善于學(xué)習(xí)、善于總結(jié)，善于透過現(xiàn)象看本質(zhì).
環(huán)節(jié)三
單元小結(jié)，升華知識
問題2 回顧本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，回答下列問題：
（1）我們是如何提出本單元所研究的問題的？
（2）我們是通過怎樣的方式得到數(shù)學(xué)歸納法原理的？
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的基本步驟是什么？
（4）用數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步的本質(zhì)是什么？
（5）在具體應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)n的命題時，應(yīng)注意哪些細(xì)節(jié)？
（6）你能畫出本單元的知識結(jié)構(gòu)框圖嗎？
師生活動 學(xué)生獨立思考，再小組交流討論.以下內(nèi)容供參考：
對（1），前面學(xué)習(xí)的等差數(shù)列通項公式是通過不完全歸納得到的，沒有經(jīng)過嚴(yán)格的證明，我們用已學(xué)習(xí)的證明方法，不能對這一類關(guān)于正整數(shù)n的命題進(jìn)行證明，因此需要學(xué)習(xí)新的證明方法，這就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的必要性.
對（2），一方面以一特殊的含遞推關(guān)系的數(shù)列的通項公式的猜想和證明為例，提出猜想，尋求證明猜想的方法；另一方面挖掘骨牌原理，類比、遷移骨牌原理尋找和構(gòu)建遞推關(guān)系，找到證明問題的方法，進(jìn)一步抽象方法，獲得數(shù)學(xué)歸納法原理.
對（3），用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的步驟是：第一步是歸納奠基，第二步是歸納遞推.
對（4），第二步的本質(zhì)是證明一個命題：條件是“n=k時命題成立”，結(jié)論是“n=k+1時命題也成立”.又由k的任意性，就保證了命題成立的遞推性。
對（5），應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法要注意的細(xì)節(jié)很多，一是注意歸納奠基這一步中n0的取值，二是在第二步要以“Pk為真”為前提條件，推證“Pk+1為真”，三是注意表述的規(guī)范，等等.
對（6），本單元的知識結(jié)構(gòu)圖如圖4.4 - 6.
環(huán)節(jié)四
目標(biāo)檢測，檢驗效果
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明下列等式：
?1+3?5+7+…+?1n2n?1+?1n+12n+1+?1n+22n+3=?1n+2n+2.
（1）要驗證當(dāng)n=1時等式成立，其左邊的式子應(yīng)為 ；
（2）當(dāng)n=k+1時，其左邊的式子應(yīng)為 .
檢測目標(biāo) 本題主要檢測學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法兩個步驟的掌握情況，測評學(xué)生準(zhǔn)確運用兩個步驟解決問題的能力.
2.已知數(shù)列{an}，{bn}的通項公式分別為an=2n，bn=n4，其中n∈N?.試推斷an>bn對哪些正整數(shù)n成立，證明你的結(jié)論.
檢測目標(biāo) 本題主要檢測學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的掌握情況，測評學(xué)生運用“先猜后證”的思想方法進(jìn)行推理論證的能力.
師生活動 學(xué)生獨立思考，若條件允許，可以在課堂內(nèi)完成，并完成點評.
第1題是根據(jù)教科書練習(xí)題目改編而成，主要評價學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解；第2題則是教科書的練習(xí)題，評價學(xué)生選擇使用數(shù)學(xué)歸納法的能力.
環(huán)節(jié)五
分層作業(yè)，應(yīng)用遷移
1.基礎(chǔ)性作業(yè)
（1）必做題：教科書第51頁習(xí)題4.4第3、4、5題，
（2）選做題：教科書第51~52頁習(xí)題4.4第7、8、9、10題，第57頁復(fù)習(xí)參考題4第16題.
2.拓展性作業(yè)
課后查閱相關(guān)資料，領(lǐng)會數(shù)學(xué)歸納法的文化內(nèi)涵，形成研究報告或數(shù)學(xué)小論文.
作業(yè)設(shè)計
板書設(shè)計
教學(xué)反思

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4.4* 數(shù)學(xué)歸納法

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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