人教A版2019高中數學選修二《數學歸納法的概念》教學設計 課題數學歸納法的概念教學目標1.通過實例引出數學歸納法的概念，探索并掌握數學歸納法證明的思路及步驟，能用之解決相應的數學問題。2.體會完全歸納法與不完全歸納法的異同點，進一步認識特殊與一般之間的轉化關系，提升數學邏輯能力。教學重點數學歸納法的概念。教學難點數學歸納法概念的探求思路及工程.教學準備教師準備：PPT課件。學生準備：預習課本P44—P47。教學過程一、導入新課：情境一、“摸球實驗”:問題1：一個盒子里有十個乒乓球，請幾個同學從盒中分別摸出一個球，并判斷乒乓球的顏色,由此猜想這盒子中所有乒乓球的顏色. (1)這個猜想對嗎？                   (2)怎樣判斷這個猜想是對的？ (3)為什么可以一個一個摸出來看？     (4)如果是無限的呢？情境二、“通項公式求法”:問題2：一個數列的通項公式是n       (1)分別求123      (2)由此猜想出n的值？這個猜想正確嗎？ (1) 123, (2)如果由此作出結論：對于一切， 都成立，那么就錯了，因為45結論:由上面兩個例子看出：由幾個特殊的事例得出一般的結論有時是對的，有時是錯的，只有經過嚴格的證明，不完全歸納得出的結論才是正確的. 老師通過PPT向學生展示現實生活中的歸納問題，提出問題，引起懸念，從而導出新課，進一步啟發(fā)學生用觀察和推理的方法學習這節(jié)課的內容。 二、知識梳理：       通過上面的例子，提出問題，引起懸念，進一步帶領學生探究現實生活中的歸納問題以及解決此類問題的方法。閱讀課本P44-P47，回答下列問題：1.新知探究：(1)歸納法：由一些特殊事例得出一般結論的推理方法，分為完全歸納法和不完全歸納法。(2)完全歸納法:把研究對象一一都考查到了而推出結論的歸納法稱為完全歸納法；(3)不完全歸納法:根據事物的部分(而不是全部)特例得出一般結論的推理方法.(4)不完全歸納法的缺憾之處：僅根據一系列有限的特殊事例得出一般結論是要冒很大風險的，因為有可能產生不正確的結論。問題3：在數列{n }中，1,   ,先計算2 , 34的值，再推測通項n 的公式.解析：    , ,      ,…      猜想       (不完全歸納法)問題4：對于小于6的自然數n，不等式   成立嗎 ？                  ∴對于小于6的自然數n,不等式成立.   （完全歸納法） 學以致用是每個人必備的思維模型，特別是學生，更要會化解知識體系，故請看下面的練習。三、 跟蹤練習：1.下面看一個比較熟悉的數學問題:等差數列的通項公式： n  回顧等差數列通項公式推導過程：              問題5：這個猜想對嗎？ 怎樣證明？有沒有更好的方法呢？        歸納與證明：如何證明由不完全歸納法得到的一般結論？第一個正式研究此課題的是意大利科學家莫羅利科.     拓展和提升本節(jié)課的數學知識和思維方法是數學學習中必不可少的一個重要環(huán)節(jié)，請學習下一個環(huán)節(jié)。四、課堂互動：問題6.多米諾骨牌                                                                          條件1：第一塊要倒下;條件2：當前面一塊倒下時，后面一塊必須倒下.    是否滿足這兩個條件就可以保證所有的骨牌倒下？      骨牌是1塊，2塊，……,無數塊,而我們要證的等差數列的通項公式也是要證明n=1,2,3,…… 成立,那么是否可將多米諾骨牌游戲的原理類比到與正整數有關的數學命題上？多米諾骨牌游戲的原理                與正整數有關的數學命題 (1)第一塊要倒下                      (1)n=1時命題成立 (2) 當前面一塊倒下時，               (2)假設n=k(k≥1,k?N*)成立,    后面一塊必須倒下                    則n=k+1時結論也成立。 根據(1)和(2),可知無論多               根據(1)和(2),可知對任意的少塊骨牌都能全部倒下.                 正整數n*，命題都成立.進一步總結數學歸納法的兩個步驟：(1)時命題成立；(2)假設成立，則時結論也成立。        我們把用這種模式來證明與正整數有關的數學命題叫作數學歸納法下面解釋一下用數學歸納法來證題是可行的，有效的： (1)推理過程：      2.假設n=k成立的依據:  根據第1步，n=1成立，取k=1，這時假設n=k=1成立就不是假設而是一個已經成立的事實了，再根據第2步，由n=k=1成立就可推出n=k+1=1+1＝2成立，再取k＝2，這時假設n=k=2成立就不是假設而是一個已經成立的事實了；如此取下去，每一個假設n=k成立都是有依據的。所以用數學歸納法來證明數學問題是有效的和可靠的，大家可以放心大膽使用!  數學核心素養(yǎng)價值觀的形成是當今數學課改中必不可少的，請回答下列問題五、素養(yǎng)形成：  例：用數學歸納法證明：如果{n}是一個等差數列，那么n1對于一切都成立。證明思路：先證明“第一項滿足公式”, （證題基礎）          再證明命題“若某一項滿足公式，則下一項也滿足公式”（遞推關系）                           (條件)            （結論）證明:(1)當n=1時,左邊是1,右邊是11,等式是成立的。     (2)假設時等式成立,就是 k1            那么時，k1=這就是說，當n=k+1時，等式也成立。因此,根據(1)和(2)可知,等式對于任何n∈N*都成立.       及時總結，歸納概括，是學習中必須學會的思維模式，進一步提升和拓展，請看：六、課堂總結：1.知識清單：       2.數學歸納法 ：(1)基本思想：遞推的思想.(2)適用范圍：與正整數有關的數學命題.(3)證題步驟：兩個步驟、一個結論缺一不可，否則結論不能成立；(4)在證明遞推步驟時,必須使用歸納假設,必須進行恒等變換。課后作業(yè)課本P47.   練習：1、2.板書設計1.歸納法的概念：                     課堂互動：                          2.不完全歸納法的概念：                           3.完全歸納法的概念：4.數學歸納法探究：                                  跟蹤練習：                           素養(yǎng)訓練： 教學反思探究數學歸納法的證明方法，來揭示不完全歸納法的正確性思維要求比較高，學生接受有個過程。   

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高中數學人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

4.4* 數學歸納法

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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