高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.4* 數(shù)學(xué)歸納法教案

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.4* 數(shù)學(xué)歸納法教案，共7頁(yè)。
教學(xué)設(shè)計(jì)課程基本信息課例編號(hào) 學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期上學(xué)期課題數(shù)學(xué)歸納法（1）教科書(shū)書(shū)名：普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)A版選擇性必修2                                   出版社：人民教育出版社                出版日期：2020年5月教學(xué)人員 姓名單位授課教師  指導(dǎo)教師  教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理和步驟，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)n的數(shù)學(xué)命題.2.借助具體實(shí)例，通過(guò)對(duì)證明一個(gè)數(shù)學(xué)命題的過(guò)程和多米諾骨牌全部倒下的過(guò)程的類比和分析，獲得證明數(shù)學(xué)命題的方法，進(jìn)而推廣為數(shù)學(xué)歸納法的原理和步驟.3.感受類比的數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的原理.教學(xué)難點(diǎn)：類比多米諾骨牌全部倒下的過(guò)程，理解數(shù)學(xué)歸納法的原理.教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng) 問(wèn)題導(dǎo)入問(wèn)題1 如何證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題？師生活動(dòng)：教師呈現(xiàn)問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生思考.問(wèn)題2 已知數(shù)列滿足，，計(jì)算，猜想其通項(xiàng)公式，并證明你的猜想.師生活動(dòng)：教師提醒學(xué)生：已知反映相鄰兩項(xiàng)關(guān)系的遞推公式，又已知首項(xiàng)，那么我們就可以求出該數(shù)列的每一項(xiàng).學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，令n=1，就有，把代入，可得.同理，令n=2，就有，把代入，可得.我們用同樣的方法可以求出也等于1.看上去這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都是1，由此猜想，該數(shù)列的通項(xiàng)公式就是.教師提出問(wèn)題：該如何證明這個(gè)猜想呢？有的學(xué)生可能會(huì)說(shuō)：從n=5開(kāi)始一個(gè)個(gè)往下驗(yàn)證唄！此時(shí)，教師提醒學(xué)生注意：一般來(lái)說(shuō)，與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n比較小時(shí)可以逐個(gè)驗(yàn)證.但當(dāng)n較大時(shí)，驗(yàn)證起來(lái)會(huì)很麻煩.尤其是我們這里要證明n取所有正整數(shù)都成立，這是一個(gè)無(wú)限的問(wèn)題，逐一驗(yàn)證是不可能的，我們無(wú)法用常規(guī)方法嚴(yán)格證明.因此，我們很有必要尋求一種新的方法，這種方法能讓我們通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)時(shí)命題都成立. 類比遷移問(wèn)題3 能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過(guò)對(duì)視頻的觀察，歸納使所有骨牌都能倒下的條件有兩個(gè)：第一塊骨牌倒下，并且任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定能導(dǎo)致后一塊倒下. 追問(wèn)（1）：條件（1）的作用是什么？師生活動(dòng)：教師提醒學(xué)生：如果第一塊骨牌不倒，那么后面的骨牌自然也不會(huì)倒.所以第一塊骨牌倒下，給所有骨牌倒下提供了基礎(chǔ)，這個(gè)條件必不可少.追問(wèn)（2）：條件（2）的作用是什么？師生活動(dòng)：教師提醒學(xué)生：若骨牌間距過(guò)大，導(dǎo)致前一塊骨牌無(wú)法推倒后一塊骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下.可以看出，條件（2）實(shí)際上是給出了一個(gè)遞推關(guān)系：第k塊骨牌倒下，能推出第k+1塊骨牌倒下.假設(shè)有無(wú)限多塊骨牌，我們可以想象前一塊推倒后一塊的動(dòng)作將永遠(yuǎn)進(jìn)行下去.也就是說(shuō)，無(wú)論有多少塊骨牌，只要保證這兩個(gè)條件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下.這就是骨牌原理.追問(wèn)（3）：證明猜想“數(shù)列的通項(xiàng)公式是”與多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問(wèn)題嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧猜想該數(shù)列通項(xiàng)公式是的過(guò)程：學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)過(guò)程蘊(yùn)含著一個(gè)與多米諾骨牌游戲的條件（2）類似的遞推結(jié)構(gòu)：以成立為條件，推出也成立.它相當(dāng)于命題：當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，則n=k+1時(shí)猜想也成立.學(xué)生在教師引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)只要能證明這個(gè)命題，就可以在的條件下，由這個(gè)命題得到：對(duì)任意正整數(shù)n，成立.教師引導(dǎo)學(xué)生證明該命題：如果n=k時(shí)猜想成立，即，那么，把代入，.也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立.這樣我們就證明了這個(gè)命題.我們猜想的通項(xiàng)公式也就得到了驗(yàn)證.教師引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)猜想的證明過(guò)程與骨牌原理進(jìn)行類比.教師總結(jié)：通過(guò)以上類比、遷移的過(guò)程，我們找到了“通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)時(shí)命題都成立”的方法.這個(gè)方法，就叫做數(shù)學(xué)歸納法. 學(xué)習(xí)新知問(wèn)題4 什么是數(shù)學(xué)歸納法？師生活動(dòng)：教師呈現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的定義：一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）證明當(dāng)（）時(shí)命題成立；（2）以“當(dāng)n=k（，k≥）時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.特別地，當(dāng)時(shí)，命題就對(duì)從1開(kāi)始的正整數(shù)成立，也就是對(duì)所有正整數(shù)都成立. 追問(wèn)（1）：數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟都必要嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下理解第一步是命題遞推的基礎(chǔ)，確定了時(shí)命題成立，成為后面遞推的出發(fā)點(diǎn)，沒(méi)有它，遞推就成為無(wú)源之水.就好比多米諾骨牌，只有推倒其中一塊骨牌，后面的骨牌才有可能倒.我們把第一步稱為是歸納奠基.而第二步是命題遞推的依據(jù)，即確認(rèn)一種遞推關(guān)系，好比是多米諾骨牌游戲中，如果第k塊骨牌倒下，那么要保證第k+1塊骨牌也能倒下，再加之k的任意性，即保證了骨牌倒下去的傳遞性.類似地，借助第二步，命題成立的范圍就能從正整數(shù)開(kāi)始，向后一個(gè)數(shù)接一個(gè)數(shù)地?zé)o限傳遞到以后的每一個(gè)正整數(shù)，從而完成證明.所以，我們把第二步稱為是歸納遞推.“歸納奠基”和“歸納遞推”這兩個(gè)步驟缺一不可.只有把兩步的結(jié)論結(jié)合起來(lái)，才能斷定命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立. 追問(wèn)（2）：數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟之間有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：教師向?qū)W生解釋這兩個(gè)步驟之間既相互依存，又彼此聯(lián)系，是一個(gè)有機(jī)的整體.如果我們記P（n）是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題.第一步驗(yàn)證了當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即為真.第二步是證明一種遞推關(guān)系，實(shí)際上是要證明一個(gè)新命題：若為真，則也為真.完成這兩步，就有真，真……真，真…….結(jié)論就是為真，從而完成證明.需要注意的是，第二步實(shí)際上就是從推出：. 追問(wèn)（3）：如何理解的意義？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生注意，這個(gè)關(guān)系所關(guān)注的不是和是否分別成立，而是命題“若為真，則也為真”是否成立，它強(qiáng)調(diào)的是這二者之間是否有遞推關(guān)系. 典例鞏固例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，那么①對(duì)任何多成立.師生活動(dòng)：教師提醒學(xué)生注意因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式涉及全體正整數(shù)，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明的第一步應(yīng)證明n=1時(shí)命題成立.（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊，右邊=，所以①式成立.這樣就完成了第一步.關(guān)于第二步，教師引導(dǎo)學(xué)生明確證明的目標(biāo)，即要證明一個(gè)新命題：如果n=k時(shí)①式是正確的，那么n=k+1時(shí)①式也是正確的.（2）假設(shè)當(dāng)n=k（）時(shí)①式成立，即，學(xué)生尋找之間的遞推關(guān)系：根據(jù)等差數(shù)列的定義，有，于是，就是.學(xué)生此時(shí)可能會(huì)迷茫于接下來(lái)該沿著哪個(gè)方向化簡(jiǎn).教師引導(dǎo)學(xué)生注意：我們一定要把”證明的目標(biāo)“牢記在心！此時(shí)的目標(biāo)就是要證明n=k+1時(shí)①式也是正確的，把n給換成k+1，那也就是要證明.學(xué)生比較兩個(gè)式子，發(fā)現(xiàn)應(yīng)該要把d給提出來(lái)，即，它自然也就是，這樣我們就證明了n=k+1時(shí)①式也成立.由這兩步可知，①式對(duì)任何都成立. 課堂小結(jié)問(wèn)題5 這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？師生活動(dòng)：學(xué)生回顧本節(jié)課，歸納出這節(jié)課學(xué)習(xí)了一種證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的方法，就是數(shù)學(xué)歸納法. 追問(wèn)（1）：為什么要應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法？師生活動(dòng)：學(xué)生在教師指導(dǎo)下歸納：我們之所以要應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，是因?yàn)橛行﹩?wèn)題用常規(guī)方法很難解.此時(shí)，我們需要尋求新的思路，即：通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)時(shí)命題都成立.數(shù)學(xué)歸納法也就應(yīng)運(yùn)而生了.所以，引入數(shù)學(xué)歸納法是很有必要的，有些時(shí)候是其他方法難以替代的. 追問(wèn)（2）：數(shù)學(xué)歸納法是怎樣的一種方法？師生活動(dòng)：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下總結(jié)：首先，數(shù)學(xué)歸納法用來(lái)證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，證明的時(shí)候需要兩個(gè)步驟：一是證明當(dāng)時(shí)命題成立，它為后續(xù)的證明奠定了基礎(chǔ)，故稱之為歸納奠基；二是假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)也成立，也就是要證明一個(gè)遞推關(guān)系，故稱這一步為歸納遞推.這兩個(gè)步驟缺一不可，最終證明對(duì)所有正整數(shù)n，命題都成立. 追問(wèn)（3）：本節(jié)課用到了哪些研究方法？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的研究路徑，從整體上來(lái)看，我們先是探究等差數(shù)列通項(xiàng)公式的嚴(yán)格證明，由這一具體的問(wèn)題入手，從特殊到一般，最終得出數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟.為了更好地理解數(shù)學(xué)歸納法，我們從多米諾骨牌游戲入手，雖然多米諾骨牌游戲是一種現(xiàn)實(shí)情境，但它能揭示數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，類比價(jià)值較高.我們類比、遷移“骨牌原理”，獲得證明數(shù)學(xué)命題的方法，推廣得到數(shù)學(xué)歸納法的原理.教師提醒學(xué)生體會(huì)這其中的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程. 課后作業(yè)用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是，前n項(xiàng)和公式是（）.