一、單選題
1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1，2，-3)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為（ ）
A．(-1，-2，3)B．(-1，-2，-3)C．(-1，2，-3)D．(1，2，3)
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱的特點(diǎn)直接求解即可.
【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對(duì)稱，則這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都不變，它們的豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，
所以點(diǎn)P(1，2，-3)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為(1，2，3).
故選：D
2．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由直線方程，結(jié)合斜率與傾斜角關(guān)系求傾斜角的大小.
【詳解】由直線方程為，即斜率為，
若傾斜角為，則，故.
故選：B
3．過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求直線方程，求出的值，即可得出所求直線的方程.
【詳解】因?yàn)樗笾本€與直線平行，可設(shè)所求直線方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，解得.
因此，所求直線方程為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知直線的一般方程為.
（1）與直線平行的直線的方程可設(shè)為；
（2）與直線垂直的直線的方程可設(shè)為.
4．設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用橢圓的定義即可得解.
【詳解】因?yàn)闄E圓，
所以，則，
因?yàn)椋?br>所以.
故選：B.
5．已知圓，直線，則直線被圓所截的弦長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，從點(diǎn)向直線作垂線，垂足為，連結(jié)，由點(diǎn)到直線的距離公式，可求出，再結(jié)合，可求出答案.
【詳解】設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，從點(diǎn)向直線作垂線，垂足為，連結(jié)，
則，.
故選：C.
6．圓心在直線上且與軸相切于點(diǎn)的圓的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，求出圓心坐標(biāo)和半徑，繼而求出圓的方程.
【詳解】解：根據(jù)題意：所求圓的圓心在直線上，
則設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，
又由所求圓與軸相切于點(diǎn)，則圓心在直線上，則，
所求圓的半徑，
故所求圓的方程為，
所以A正確，B，C，D錯(cuò)誤.
故選：A
7．圓：與圓：的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．外切C．內(nèi)切D．相離
【答案】A
【分析】根據(jù)圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系判斷圓的位置系即可.
【詳解】圓：為，即圓心為，半徑為，
圓：為，即圓心，半徑為，
因?yàn)閳A心距，
所以，故兩圓相交，
故選：A
8．“”是方程“表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，結(jié)合充要條件的定義即可求解.
【詳解】若，則表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，
若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，
所以“”是方程“表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的充要條件，
故選：C
9．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則原點(diǎn)到點(diǎn)的距離可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知，點(diǎn)在圓上，利用圓的幾何性質(zhì)可求得的取值范圍，即可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】由題意可得，即，即點(diǎn)在圓上，
，所以，原點(diǎn)在圓內(nèi)，如下圖所示：
圓的圓心為，半徑為，
由三角不等式可得，即，
所以，B選項(xiàng)合乎要求.
故選：B.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若點(diǎn)在圓內(nèi)，為圓上一點(diǎn)，則.
10．由曲線圍成的圖形的面積為（ ）
A．2B．4C．5D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)直線的一般式方程以及截距式方程的概念求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線方程為；
當(dāng)時(shí)，曲線方程為；
當(dāng)時(shí)，曲線方程為；
當(dāng)時(shí)，曲線方程為；
作圖如下，
所以圍成圖形是一個(gè)菱形，面積為.
故選：B.
11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).若，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，其中，所以，，因?yàn)椋?，所以，由可得，所以，則
，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以.
故選：C
12．已知圓的圓心為原點(diǎn)，且與直線相切.點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，如圖所示，則直線恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由圓的圓心為原點(diǎn)且與直線相切即得圓的方程，又，是它的切線，可知，一定在以為直徑為圓心的圓上，即為兩圓的公共弦，即可求出直線的方程，進(jìn)而找到定點(diǎn)
【詳解】依題意知，圓的半徑且圓心為
∴圓的方程為
∵，是圓的兩條切線
∴，，即，在以為直徑的圓上
若設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為
∴以為直徑的圓的方程為，，化簡(jiǎn)得，
∵為兩圓的公共弦
∴直線的方程為，，即
∴直線恒過(guò)定點(diǎn)
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)問題，首先根據(jù)已知條件求出兩圓方程，由兩圓過(guò)相同的兩點(diǎn)，即有公共直線求出切點(diǎn)弦的直線方程，進(jìn)而確定定點(diǎn)
二、填空題
13．若，，且，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.
【詳解】由可得，所以
解得，故，
故答案為：
14．橢圓的離心率是 ．
【答案】
【分析】求出、、的值，即可得出橢圓的離心率.
【詳解】在橢圓中，，，，
因此，橢圓的離心率是.
故答案為：.
15．若兩條直線與互相垂直，則a的值為 .
【答案】4
【分析】?jī)芍本€斜率均存在時(shí)，兩直線垂直，斜率相乘等于-1，據(jù)此即可求解.
【詳解】由題可知，.
故答案為：4.
三、雙空題
16．如圖，在正方體中，為中點(diǎn)，則與平面所成角的大小為 ；CD與AE所成角的余弦值為 .
【答案】 45°
【分析】由CD⊥，得是與平面所成角，由此能求出與平面所成角的大??；由CD∥AB，得∠BAE是CD與AE所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出CD與AE所成角的余弦值．
【詳解】在正方體中，E為中點(diǎn)，
∵CD⊥，
∴是與平面所成角，
∵CD＝，CD⊥，
∴＝45°，
∴平面與平面所成角的大小為45°；
∵CD∥AB，∴∠BAE是CD與AE所成角（或所成角的補(bǔ)角），
∵AB⊥，
在中
不妨設(shè)AB＝2，則，
∴CD與AE所成角的余弦值為．
故答案為：45°；．
四、填空題
17．已知圓，，．若圓上存在點(diǎn)使，則正數(shù)的值可以是 ．（寫出一個(gè)滿足條件的值即可）
【答案】（答案不唯一）.
【分析】設(shè)，根據(jù)題意得到，再根據(jù)的幾何意義得到，從而得到答案.
【詳解】圓，圓心，半徑，
設(shè)，則，，
因?yàn)?，所以?br>即，
因?yàn)楸硎緢A上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
，
所以，即.
正數(shù)的值可以是（答案不唯一）.
故答案為：（答案不唯一）.
18．曲線是平面內(nèi)與定點(diǎn)和定直線的距離的積等于4的點(diǎn)的軌跡.給出下列四個(gè)結(jié)論：
①曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；
②曲線關(guān)于軸對(duì)稱；
③曲線與軸有3個(gè)交點(diǎn)；
④若點(diǎn)在曲線上，則的最小值為.
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
【答案】①②④
【分析】先設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意構(gòu)建關(guān)系，令，得知圖象過(guò)原點(diǎn)，即判斷①正確③錯(cuò)誤；關(guān)系式中用代替，等式不變，即判斷②正確；利用關(guān)系解出，再計(jì)算求解函數(shù)最值，即判斷④正確.
【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．
①當(dāng)時(shí)，，
∴曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故①正確；
②將中的用代替，該等式不變，
∴曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故②正確；
③令，則，故曲線與軸只有個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；
④∵，
∴，由解得，
∴若點(diǎn)在曲線上，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故④正確．
綜上所述，所有正確的結(jié)論為①②④.
故答案為：①②④.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
本題的解題關(guān)鍵在于求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，才能利用方程研究性質(zhì)，即突破難點(diǎn).
五、解答題
19．在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，Q為中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）合理建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，證明，即可證明；
（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量的夾角公式求直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫妫?br>所以，又，
建立以A為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸的空間直角坐標(biāo)系（如圖）．
因?yàn)椋?br>所以，
又Q為中點(diǎn)，所以．
所以，，
所以，
所以．
（Ⅱ）解：設(shè)平面的法向量為，
則因?yàn)?，?br>所以，
令，得，則．
∵，
∴直線與平面所成角的正弦值為.
20．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且______.
(1)求圓的方程；
(2)求以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程.
從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線中，并解答上面的問題.
①圓經(jīng)過(guò)；②圓心在直線上；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分別對(duì)條件①②討論，結(jié)合題意設(shè)出圓的方程，待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出弦的中點(diǎn)與圓心所在直線的斜率，進(jìn)而求出弦所在的直線的斜率，再求直線方程即可.
【詳解】（1）選①：
設(shè)圓的方程為，
由題意得 解得
所以圓的方程為，即．
選②：
設(shè)圓的方程為，
由題意得 解得
所以圓的方程為．
（2）由（1）知圓心的坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入圓的方程，可得，則點(diǎn)在圓內(nèi)，
因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，
弦的斜率，
則弦所在的直線方程為，即．
21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若直線的傾斜角為，求直線的方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由過(guò)動(dòng)點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，可得，繼而由可得，列式化簡(jiǎn)即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）由直線的傾斜角為，可得直線的斜率，結(jié)合，可得直線的斜率，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式可得直線的方程.
【詳解】（1）因?yàn)檫^(guò)動(dòng)點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，
所以，
又，所以，，
又，即，
所以可得,,化簡(jiǎn)可得，
因?yàn)榕c兩點(diǎn)不重合所以
則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
（2）因?yàn)橹本€的傾斜角為，
所以直線的斜率，
又，所以直線的斜率,
又點(diǎn)，所以直線的方程為,
即.
22．如圖，在多面體ABCDEF中，梯形ADEF與平行四邊形ABCD所在平面互相垂直，.
(1)求證：BF∥平面CDE；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判斷線段BE上是否存在點(diǎn)Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】(1)詳見解析
(2)
(3)存在點(diǎn)；
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判斷定理，作輔助線，轉(zhuǎn)化為證明線線平行；
（2）證得，，兩兩垂直，從而建立以D點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的一個(gè)法向量，根據(jù)法向量的夾角求得二面角的余弦值；
（3）設(shè)，求得平面的法向量為，若平面平面，則，從而解得的值，找到Q點(diǎn)的位置.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，
因?yàn)?，所以，且?br>所以四邊形是平行四邊形，所以，且,
又因?yàn)?且，所以,,
所以四邊形是平行四邊形，所以,
因?yàn)槠矫?平面，
所以平面；
（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，?br>所以平面，平面，則，故，，兩兩垂直，所以以，，所在的直線分別為軸、軸和軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，為平面的一個(gè)法向量.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，，得，
令，得.
所以.
如圖可得二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
（3）結(jié)論：線段上存在點(diǎn)，使得平面平面.
證明如下：
設(shè)，
所以.
設(shè)平面的法向量為，又因?yàn)椋?br>所以，，即，
若平面平面，則，即，
解得.所以線段上存在點(diǎn)，使得平面平面，
且此時(shí).
23．已知橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且右焦點(diǎn)為，點(diǎn)B在橢圓上，且點(diǎn)C為點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)B在第一象限且為等邊三角形，求該等邊三角形的邊長(zhǎng)；
(3)設(shè)P為橢圓E上異于B，C的任意一點(diǎn)，直線與x軸分別交于點(diǎn)M，N，判斷是否為定值？若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)是定值4，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)題干條件得到，結(jié)合，求出，，得到橢圓方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)等邊三角形得到，再由，求出，從而得到等邊三角形的邊長(zhǎng)；
（3）設(shè)出，，則，利用兩點(diǎn)式表達(dá)出直線的方程，求出，，結(jié)合求出是定值4.
【詳解】（1）長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且右焦點(diǎn)為,
所以，
因?yàn)椋?br>所以，解得：，
故，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）若點(diǎn)B在第一象限且為等邊三角形，
設(shè)，，
則，
又，故，
該等邊三角形的邊長(zhǎng)為；
（3）是定值4，理由如下：
因?yàn)镻為橢圓E上異于B，C的任意一點(diǎn)，
所以直線的斜率存在，
設(shè)，，則，，，
則，
則直線，
令得：，則，
直線，
令得：，則，
所以
因?yàn)椋?br>所以，
故，
故是定值，為4.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線與直線結(jié)合問題，設(shè)出直線方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，結(jié)合題目信息，進(jìn)行求解，本題中設(shè)出的未知數(shù)較多，需要結(jié)合橢圓方程用到消元思想，進(jìn)行求解定值問題..

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