2023/2024學(xué)年度第一學(xué)期開學(xué)檢測試卷高二數(shù)學(xué)班級________  姓名________  學(xué)號________  成績________一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1．設(shè)集合，，，則A，B，C間的關(guān)系為（    ）A．        B．       C．         D．2．已知，，且，則的坐標為（    ）A．            B．           C．             D．3．某市6月前10天的空氣質(zhì)量指數(shù)為35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（    ）A．86                B．85.5               C．85                 D．84.54．向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若向量，則的值等于（    ）A．1                 B．               C．3                   D．5．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象的函數(shù)解析式為（    ）A．     B．     C．      D．6．已知四面體ABCD中，，，，點M在棱DA上，，N為BC中點，則（    ）A．    B．     C．     D．7．如圖，在直三棱柱中，點E，F分別是棱，BC的中點，則下列結(jié)論中不正確的是（    ）A．平面                     B．平面C．平面                      D．平面8．已知A，B，C，D，E是空間中的五個點，其中點A，B，C不共線，則“存在實數(shù)x，y，使得”是“平面ABC”的（    ）A．充分而不必要條件                       B．必要而不充分條件C．充分必要條件                           D．既不充分也不必要條件9．在西雙版納熱帶植物園中有一種原產(chǎn)于南美熱帶雨林的時鐘花，其花開花謝非常有規(guī)律．有研究表明，時鐘花開花規(guī)律與溫度密切相關(guān)，時鐘花開花所需要的溫度為20℃，但當氣溫上升到31℃時，時鐘花基本都會凋謝．在花期內(nèi)，時鐘花每天開閉一次．已知某景區(qū)有時鐘花觀花區(qū)，且該景區(qū)6時~14時的氣溫T（單位：℃）與時間（單位：小時）近似滿足函數(shù)關(guān)系式，則在6時14時中，觀的最時約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：）A．6.7時~11.6時      B．6.7時~12.2時      C．8.7時~11.6時       D．8.7時~12.2時10．已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①存在無數(shù)個零點；                     ②在上有最大值；③若，則；     ④區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間．其中所有正確結(jié)論的序號為（    ）A．①②③            B．②③④            C．①③               D．①②③④二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．若復(fù)數(shù)z滿足，則________．12．某地區(qū)有高中生3000人，初中生6000人，小學(xué)生6000人．教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視率，采用分層抽樣的方法，按高中生、初中生、小學(xué)生進行分層，如果在各層中按比例分配樣本，總樣本量為150，那么在高中生中抽取了________人．13．已知一個長方體的8個頂點都在一個球面上，且長方體的棱長為2，3，，則長方體的體對角線的長等于________；球的表面積等于________．14．在中，，，請給出一個b的值，使得滿足條件的三角形恰有兩個，則b的一個值是________．15．如圖，在棱長為2的正方體中，M，N分別是棱，的中點，點P在線段CM上運動，給出下列四個結(jié)論：①平面CMN截正方體所得的截面圖形是五邊形；②直線到平面CMN的距離是；③存在點P，使得；④面積的最小值是．其中所有正確結(jié)論的序號是________．三、解答題（共6小題，共85分）16．（本題滿分14分）已知函數(shù)，是的一個零點．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）請把的解析式化簡成的形式；（Ⅲ）當時，若曲線與直線有2個公共點，求m的取值范圍．17．（本題滿分14分）某工廠生產(chǎn)某款產(chǎn)品，該產(chǎn)品市場評級規(guī)定：評分在10分及以上的為一等品，低于10分的為二等品．下面是檢驗員從一批產(chǎn)品中隨機抽取的10件產(chǎn)品的評分：9.610.19.79.810.09.710.09.810.110.2經(jīng)計算得，其中為抽取的第i件產(chǎn)品的評分，．（Ⅰ）求這組樣本平均數(shù)和方差；（Ⅱ）若廠家改進生產(chǎn)線，使得生產(chǎn)出的每件產(chǎn)品評分均提高0.2．根據(jù)以上隨機抽取的10件產(chǎn)品改進后的評分，估計改進后該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品評分的平均數(shù)和方差；（Ⅲ）在第（Ⅱ）問前提下，再從改進后生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取的10件產(chǎn)品，估計這10件產(chǎn)品平均等級是否為一等品？說明理由．18．（本題滿分13分）向量與的夾角為，，，，．（Ⅰ）請用，t的關(guān)系式表示；（Ⅱ）在時取得最小值．當時，求夾角的取值范圍．19．（本題滿分15分）如圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD，平面ABCD，，，點F在棱PA上．（Ⅰ）求證：平面CDE；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若點F到平面PCE的距離為，求線段AF的長．20．（本題滿分14分）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）再從下列三個條件中，選擇兩個作為已知，使得存在且唯一，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：AB邊上的高為．注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，接第一個解答計分．21．（本題滿分15分）設(shè)，已知由自然數(shù)組成的集合，集合，，…，是S的互不相同的非空子集，定義數(shù)表：，其中，設(shè)，令是，，…，中的最大值．（Ⅰ）若，，且，求，，及；（Ⅱ）若，集合，，…，中的元素個數(shù)均相同，若，求n的最小值；（Ⅲ）若，，集合，，…，中的元素個數(shù)均為3，且，求證：的最小值為3．參考答案一、選擇題題號12345678910答案BDBCBCDBCA二、填空題11．5    12．30    13．4，（前3后2）    14．即可    15．①③④三、解答題16．解：（Ⅰ）由題設(shè)．所以．因為，所以．          2分所以．所以．          4分（Ⅱ）由（Ⅰ）．          8分（Ⅲ）因為，所以．于是，當且僅當，即時，取得最大值1；當且僅當，即時，取得最小值．又，即時，．          12分所以m的取值范圍是．          14分17．解：（Ⅰ）樣本平均值樣本方差．          6分（Ⅱ）估計改進后該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品評分的平均數(shù)，方差．          10分（Ⅲ）可以認為是一等品．因為改進后該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品評分由樣本數(shù)據(jù)估計平均數(shù)為，所以可以認為這10件產(chǎn)品平均等級為一等品不一定是一等品．因為樣本數(shù)據(jù)具有隨機性，所以新樣本平均值不一定達到10分及以上，所以新樣本平均等級不一定是一等品．          14分18．解：（Ⅰ）∵，∴，∴．          7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，且，故．          13分19．解：（Ⅰ）證明：在矩形ABCD中，．因為平面CDE，平面CDE，所以平面CDE．因為平面ABCD，平面ABCD，所以．因為平面CDE，平面CDE，所以平面CDE．又因為平面PAB，平面PAB，．所以平面平面CDE．因為平面PAB，所以平面CDE．          5分（Ⅱ）因為平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，．又因為ABCD是矩形，，所以AD，AB，PA兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，則，，，所以，．設(shè)平面PEC的一個法向量為，則，即．令，則，．于是．取平面PEA的法向量為．則．由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值是．          10分（Ⅲ）令線段AF的長為t，則，．所以，因為點F到平面PCE的距離．所以，即．解得或（舍）．所以線段AF的長為．          15分20．解：（Ⅰ）由已知可得：，∴，而，∴．          5分（Ⅱ）選①②：∵，，∴；由正定理得，∴；故．          14分選①③：∵，，∴；設(shè)線段CD是AB邊上的高的高，而，∴；∴；故．          14分選②③，第二問得0分．21．解：（Ⅰ），，，．          4分（Ⅱ）設(shè)使得，則，所以．所以至少有3個元素個數(shù)相同的非空子集．當時，，其非空子集只有自身，不符題意．當時，，其非空子集只有，，，不符題意．當時，，元素個數(shù)為1的非空子集有，，，元素個數(shù)為2的非空子集有，，．當時，，不符題意．當時，，不符題意．當時，，令，，，則，．所以n的最小值為4．          9分（Ⅲ）由題可知，，記為集合中的元素個數(shù)，則為數(shù)表第j列之和．因為是數(shù)表第i行之和，所以．因為，所以．所以．當，，，，，，時，，．所以的最小值為3．          15分

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