命題人：陳淼君 劉海軍 曹菲菲 審題人：徐凡訓(xùn)
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
第I卷
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.命題“”為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
4.對(duì)于任意非零向量，若在上的投影向量互為相反向量，下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，若，則（ ）
A.-3 B. C.3 D.
6.若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.4
7.首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結(jié)合再利用的競(jìng)賽場(chǎng)館，它的設(shè)計(jì)創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動(dòng)，被形象地稱為雪飛天.雪飛天的助滑道可以看成一條線段和一段圓弧組成，如圖所示.在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系下圓弧所在圓的方程為.若某運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，起跳后的飛行軌跡是一個(gè)對(duì)稱軸在軸上的拋物線的一部分，則該拋物線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
8.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A.為遞減數(shù)列 B.為遞增數(shù)列
C.數(shù)列有最小項(xiàng) D.數(shù)列有最大項(xiàng)
二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為14
B.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則
C.若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)
D.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是-4
10.以下命題正確的是（ ）
A.設(shè)與是定義在上的兩個(gè)函數(shù)，若恒成立，且為奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)
B.若對(duì)任意，都有成立，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上也單調(diào)遞增
C.已知，函數(shù)若函數(shù)在上的最大值比最小值多，則實(shí)數(shù)的取值集合為
D.已知函數(shù)滿足，函數(shù)，且與的圖象的交點(diǎn)為，則的值為8
11.已知函數(shù)的部分圖象如圖1所示，分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過作軸的垂線，交軸于，點(diǎn)為該部分圖象與軸的交點(diǎn).將繪有該圖象的紙片沿軸折成直二面角，如圖2所示，此時(shí)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的有（ ）
A.
B.
C.圖2中，
D.圖2中，是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積大于
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.的展開式中的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）
13.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，分別交軸于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為6，過作外角平分線的垂線與直線交于點(diǎn)，則__________.（為坐標(biāo)原點(diǎn)）
14.在三棱錐中，，且，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的體積為__________.
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)在側(cè)棱上，.
（1）證明：是側(cè)棱的中點(diǎn)；
（2）求二面角的正弦值.
16.（15分）中國(guó)跳水隊(duì)有“跳水夢(mèng)之隊(duì)”的稱號(hào)，在國(guó)際賽場(chǎng)上有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)跳水運(yùn)動(dòng)也得到了廣泛推廣，獲得了越來(lái)越多的人的喜愛，現(xiàn)有A，B，C，…，J共10位跳水愛好者自發(fā)組建了跳水訓(xùn)練營(yíng)，并邀請(qǐng)教練甲幫助訓(xùn)練.教練訓(xùn)練前對(duì)10位跳水員測(cè)試打分，得分情況如圖中虛線所示；集訓(xùn)后再進(jìn)行測(cè)試，10位跳水員得分情況如圖中實(shí)線所示，規(guī)定滿分為10分，記得分在8分以上的為“優(yōu)秀”.
（1）將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷跳水員的優(yōu)秀情況與訓(xùn)練是否有關(guān)？并說(shuō)明原因；
（2）從這10人中任選3人，在這3人中恰有2人訓(xùn)練后為“優(yōu)秀”的條件下，求這3人中恰有1人是訓(xùn)練前也為“優(yōu)秀”的概率；
（3）跳水員將對(duì)“5米?7.5米和10米”這三種高度進(jìn)行集訓(xùn)，且在訓(xùn)練中進(jìn)行了多輪測(cè)試.規(guī)定：在每輪測(cè)試中，都會(huì)有這3種高度，且至少有2個(gè)高度的跳水測(cè)試達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測(cè)試才記為“優(yōu)秀”.每輪測(cè)試中，跳水員在每個(gè)高度中達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個(gè)高度互不影響且每輪測(cè)試互不影響.如果跳水員在集訓(xùn)測(cè)試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)平均值達(dá)到3次，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪測(cè)試？
附：，其中.
17.（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓與直線R），四個(gè)點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在橢圓上，剩余一個(gè)點(diǎn)在直線上.
（1）求橢圓的方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)在直線上，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，使得，再過作直線，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
18.（17分）已知函數(shù).
（1）若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）已知.
（i）證明：；
（ii）若，證明：.
19.（17分）已知等比數(shù)列的公比為，其所有項(xiàng)構(gòu)成集合，等差數(shù)列的公差為，其所有項(xiàng)構(gòu)成集合.令，集合中的所有元素按從小到大排列構(gòu)成首項(xiàng)為1的數(shù)列.
（1）若集合，寫出一組符合題意的數(shù)列和；
（2）若，數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列，，且數(shù)列的前5項(xiàng)成公比為的等比數(shù)列.當(dāng)時(shí)，求的值；
（3）若數(shù)列是首項(xiàng)為1的無(wú)窮數(shù)列，求證：“存在無(wú)窮數(shù)列，使”的充要條件是“是正有理數(shù)”（有理數(shù)都能表示成，且與互質(zhì)）的形式）.
湖南師大附中2024屆高三月考試卷（六）
數(shù)學(xué)參考答案
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.D 【解析】因?yàn)榧希?，錯(cuò)誤；
由于，但，故不是的子集，錯(cuò)誤，
錯(cuò)誤；
，D正確，故選：D.
2.A 【解析】由，得，
所以，所以，
所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.
3.C 【解析】因?yàn)槊}“”為假命題，所以命題“”為真命題，即對(duì)恒成立，所以，因?yàn)?
所以命題“”為假命題的一個(gè)充分不必要條件是.故選：C.
4.D 【解析】由題意得，在上的投影為，同理，在上的投影為，因?yàn)槿我夥橇阆蛄吭谏系耐队跋蛄炕橄喾聪蛄?，所以在上的投影互為相反?shù)，所以，則，即c.故選：D.
5.C 【解析】由三角函數(shù)的定義可知，，得，所以角終邊上一點(diǎn)為.故選：C.
6.C 【解析】因?yàn)椋?br>所以.
因?yàn)椋?
所以，即.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.故選：C.
7.A 【解析】由題意知，又，
直線的方程為，即.
由得或
即或.又為靠近軸的切點(diǎn)，.
設(shè)飛行軌跡的拋物線方程為，則在點(diǎn)處的切線斜率為，解得，
，解得，
即拋物線方程為.故選：A.
8.C 【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
由可得，又，所以即，又，所以，即，
故等比數(shù)列首項(xiàng)，公比滿足或.
當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列為正負(fù)項(xiàng)交替的擺動(dòng)數(shù)列，故不單調(diào)；
當(dāng)時(shí)，，等比數(shù)列單調(diào)遞減，故A，B不正確；
又，且，
所以當(dāng)時(shí)，由于，
則，
此時(shí)數(shù)列的最小項(xiàng)為，最大項(xiàng)為；
當(dāng)時(shí)，有，
則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，有最小項(xiàng)，無(wú)最大項(xiàng)，故C正確，D不正確.
故選：C.
二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.BCD 【解析】因?yàn)椋缘?0百分位數(shù)為，錯(cuò)誤；
若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，
則，
則，B正確；
若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，
則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C正確；
對(duì)于D，樣本點(diǎn)的中心為，所以，而對(duì)于回歸直線方程，
因?yàn)榇藭r(shí)線性回歸方程為，所以，所以，D正確.故選：BCD.
10.ABD 【解析】對(duì)于，令，則，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以恒成立等價(jià)于，
因此，即，可知也是奇函數(shù)，所以正確；
對(duì)于，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，
因?yàn)楹愠闪ⅲ裕?br>從而.
令，則，可得，
所以在上也單調(diào)遞增，正確.
對(duì)于C，若，函數(shù)在上的最大值為，最小值為或，
當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，無(wú)解，舍去；
若，當(dāng)時(shí)是單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減，
因?yàn)椋院瘮?shù)最大值為，
而，所以函數(shù)最小值為，
因此，解得，符合題意；
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值集合為，可得錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由可得函數(shù)關(guān)于成中心對(duì)稱；
而也關(guān)于成中心對(duì)稱；
所以與的圖象的交點(diǎn)關(guān)于成中心對(duì)稱；
從而，即D正確.
故選：ABD.
11.AC 【解析】函數(shù)的最小正周期為，
在圖2中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
，因?yàn)?，解得，故A正確；
所以，，則，可得，
又因?yàn)楹瘮?shù)在附近單調(diào)遞減，且，所以，，故錯(cuò)誤；
因?yàn)?，可得?br>又因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)的圖象在軸左側(cè)距離鈾最近的最高點(diǎn)，則，可得，
所以，，
因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)在軸右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱中心，所以，，可得，
翻折后，則有，
所以，，
所以，在圖2中，，故C正確；
在圖2中，設(shè)點(diǎn)，
可得，
，
易知為銳角，則，
所以，區(qū)域是坐標(biāo)平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，半徑為，且圓心角為的扇形及其內(nèi)部，
故區(qū)域的面積，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.120 【解析】由于，
所以的展開式中含的項(xiàng)為，
所以的展開式中的系數(shù)為120.
故答穼為：120.
13. 【解析】由題意知過點(diǎn)且直于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，
則，
故的周長(zhǎng)為，
由于，且是的中點(diǎn)，在上，則為的中位線，
則的周長(zhǎng)為周長(zhǎng)的一半，而的周長(zhǎng)為6，
即，則橢圓方程為，
則，
設(shè)外角平分線為，又過作外角平分線的重線與直線交于點(diǎn)，
故，則，
故.
故答案為：.
14. 【解析】取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：
，且，
均為等腰直角三角形，且，
為三棱錐的外接球直徑.
設(shè)，可得，設(shè)，
為的中點(diǎn)，則，同理可得，
平面平面，
，
在中，由余弦定理可得，即，可得，由，可得，化簡(jiǎn)可得，
即，
，解得，
因此，三棱錐外接球的體積為.
故答案為：.
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過程或演算步驟.
15.【解析】（1）證明：作交于點(diǎn)，則平面，
連接，則四邊形為直角梯形，
作，足為，則為矩形，
設(shè)，則，
，
由，得，
解得，即，
從而，
為側(cè)棱的中點(diǎn).
（2）解法一：，
又為等邊三角形.
又由（1）知為中點(diǎn)，，
取中點(diǎn)，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，
則，
由此知為二面角的平面角，
連結(jié)，在中，
，
.
二面角的正弦值為.
解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
易知，
，
令平面的法向量為，則即令，得.
同理可得，平面的法向量.
令二面角的大小為，則，
所求為.
16.【解析】（1）零假設(shè)：假設(shè)跳水員的優(yōu)秀情況與訓(xùn)練無(wú)關(guān).
列聯(lián)表為：
，
故根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，零假設(shè)不成立，即跳水員的優(yōu)秀情況與訓(xùn)練有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01.
（2）由圖可知：訓(xùn)練前后均不優(yōu)秀的有共2人，訓(xùn)練前后均優(yōu)秀的有共2人，訓(xùn)練前不優(yōu)秀而訓(xùn)練后優(yōu)秀的有6人，設(shè)“所選3人中恰有2人訓(xùn)練后為優(yōu)秀”，所選3人中恰有1人訓(xùn)練前為優(yōu)秀”，
則.
（3）設(shè)跳水員每輪測(cè)試為優(yōu)秀的概率為，則.
設(shè)測(cè)試次數(shù)為，則優(yōu)秀的次數(shù)，
故，故至少需進(jìn)行12輪測(cè)試.
17.【解析】（1）因?yàn)樗膫€(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在橢圓上，由橢圓的對(duì)稱性可知：必在啊圓上.若在橢圓上，則為橢圓的左頂點(diǎn).但，所以與在橢圓上矛盾.在橢圓上，
橢圓方程為.
（2）依題意可得方程為：.
且共線，為中點(diǎn)，在橢圓內(nèi)部.設(shè)，
因?yàn)榕c橢圓交于.
為中點(diǎn)，且于為的中垂線.設(shè)，
，
.
為中點(diǎn)，，
當(dāng)時(shí)，.
，
恒過，
當(dāng)時(shí)，直線為軸，過.
無(wú)論位于哪個(gè)位置，直線恒過.
18.【解析】（1）若是增函數(shù)，則，且，可得，
故原題意等價(jià)于對(duì)恒成立，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
則在上遞增，在上遞減，故，
的取值范圍為.
（2）（i）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
，則，即，
整理得，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
則在上遞減，在上遞增，
故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
今，可得，故；
（ii），則.
可知有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根.，由（1）知，
可得，
同理可得，構(gòu)建，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
且，故對(duì)恒成立，故在上單調(diào)遞減，
，則，即，
且，則，故，可得；
又，由（i）可得，即，
則，故，可得；
故.
19.【解析】（1）取為為，
則滿足：，故為等比數(shù)列.
而，故為等差數(shù)列，
故此時(shí)符合題意.
（2）因?yàn)榧现械乃性匕磸男〉酱笈帕袠?gòu)成首項(xiàng)為1的數(shù)列，
故中各項(xiàng)均為正數(shù)，所以中的各項(xiàng)均為正數(shù)，
而為無(wú)窮等差數(shù)列，故.
設(shè)的前5項(xiàng)為：，
因?yàn)椋?，此時(shí)必有，
事實(shí)上，若，則的前5項(xiàng)即是的前5項(xiàng)，與矛盾.
所以或.
若，則，所以，此時(shí)的前5項(xiàng)為，
即，所以數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，所以符合題意；
若，則或；
①時(shí)，有成等差數(shù)列，所以，解得，與矛盾；
②時(shí)，有，所以，所以的前5項(xiàng)為，
因?yàn)?，所以，即?br>所以，故，與為等差數(shù)列矛盾.
所以不可能.
綜上，的值為.
（3）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1的無(wú)窮數(shù)列，由（2）知，數(shù)列是遞增的數(shù)列；
對(duì)于公比不為1的無(wú)窮數(shù)列，必有.
否則，若為負(fù)，則相鄰兩項(xiàng)必有一項(xiàng)為負(fù)，
這與中的最小項(xiàng)為矛盾；
若，則當(dāng)時(shí)，，
即，這與中的最小項(xiàng)為矛盾.
先證明充分性：
當(dāng)是正有理數(shù)時(shí)，因?yàn)閿?shù)列是遞增的等差數(shù)列，所以，
設(shè)互質(zhì)，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，
所以數(shù)列的第項(xiàng)是數(shù)列的第項(xiàng)，
所以數(shù)列中的項(xiàng)都是數(shù)列的項(xiàng)，即.
再證明必要性：
假設(shè)是正無(wú)理數(shù)，因?yàn)?，即?shù)列中的項(xiàng)都是數(shù)列的項(xiàng)，故.
令，則，且，
因?yàn)?，即?br>整理得：，約去有，
因?yàn)?，且是無(wú)理數(shù)，所以消去并整理得，
故，與矛盾，所以假設(shè)不成立，即是有理數(shù).優(yōu)秀人數(shù)
非優(yōu)秀人數(shù)
合計(jì)
訓(xùn)練前
訓(xùn)練后
合計(jì)
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
C
D
C
C
A
C
BCD
ABD
AC
優(yōu)秀人數(shù)
非優(yōu)秀人數(shù)
合計(jì)
訓(xùn)練前
2
8
10
訓(xùn)練后
8
2
10
合計(jì)
10
10
20

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