一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 已知集合，若，則（ ）
A. 3B. 1C. -1D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】由，得到求解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時，，根據(jù)元素的互異性可知，；
當(dāng)時，，不滿足元素的互異性，舍去，
故選：B.
2. 已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A. -1B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)乘方的法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)虛部的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)?br>所以，所以的虛部為，
故選：C.
3. 二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，
令，所以常數(shù)項(xiàng)為，
故選：A
4. 已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合偶函數(shù)定義與指數(shù)冪的運(yùn)算計算即可得.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
即，
整理得恒成立，
所以，則.
故選：B.
5. 已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，且軸，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意直線過雙曲線的左頂點(diǎn)得，再由求出，然后利用點(diǎn)也在直線上得到，從而求解.
【詳解】易知直線經(jīng)過的左頂點(diǎn)，
設(shè)，因?yàn)檩S，所以，解得，或（舍去），
所以點(diǎn)坐標(biāo)為，則，整理得，
所以，即，解得（舍去），或，
所以的離心率為，故C正確.
故選：C.
6. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出可得答案.
【詳解】在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，設(shè)，
則，所以在上單調(diào)遞增，
則，所以，則的最小值為.
故選：C.
7. 已知，則（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分別將和分別平方相加求出，然后逆用正弦兩角差公式并結(jié)合倍角公式從而求解.
【詳解】由得，，
由得，，
兩式相加得，，
則，
所以，故D正確.
故選：D.
8. 在數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)與之間插入一個首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)，記構(gòu)成的新數(shù)列為，若，則前65項(xiàng)的和為（ ）
A. B. -13C. D. -14
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列中及其后面項(xiàng)的和為，求解.
【詳解】解：數(shù)列為：，
，
設(shè)及其后面項(xiàng)的和為，則，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.
所以前65項(xiàng)的和為，
故選：A.
二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）
9. 已知S為圓錐的頂點(diǎn)，為該圓錐的底面圓的直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，，則（ ）
A. 該圓錐的體積為
B.
C. 該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大于
D. 二面角的正切值為
【答案】AC
【解析】
【分析】求得該圓錐的體積判斷選項(xiàng)A，求得的長度判斷選項(xiàng)B，求得該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角判斷選項(xiàng)C，求得二面角的正切值判斷選項(xiàng)D.
【詳解】如圖，因?yàn)椋詾榈妊苯侨切危?br>又，則，所以，
則，
所以該圓錐的體積為正確；
易知為直角三角形，且，又，
則，所以錯誤；
該圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，其弧長為，
扇形半徑為，設(shè)扇形圓心角為，
所以，所以該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大于正確；
取的中點(diǎn)，連接，則為的中位線，
所以，
所以為二面角的平面角，
易知為直角三角形，所以錯誤.
故選：.
10. 已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，直線經(jīng)過的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第三象限），則（ ）
A. B. 的周長為8
C. D. 以為直徑的圓過點(diǎn)
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)條件求出的值，判定A錯誤；由橢圓定義可得的周長為8，判定B正確；聯(lián)立方程組求出，可得，判定C正確；，所以，判定D正確.
【詳解】易知直線經(jīng)過的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，
所以，則2，所以錯誤；
由橢圓的定義可知，的周長為正確；
由上可知的方程為，
由解得，
則，
所以正確；
由得，
，所以，
則以為直徑的圓過點(diǎn)正確.
故選：.
11. 若函數(shù)在處取得極值，則（ ）
A.
B. 為定值
C. 當(dāng)時，有且僅有一個極大值
D. 若有兩個極值點(diǎn)，則是的極小值點(diǎn)
【答案】ABC
【解析】
【分析】求導(dǎo)，由題意可知，是方程的一個變號實(shí)數(shù)根，則，即可判斷A；由判斷 B；當(dāng)時，可得，當(dāng)時，當(dāng)時，即可判斷C；將代入整理得，則方程有不相等的實(shí)數(shù)根與，分類討論，結(jié)合極值點(diǎn)的定義可判斷D.
【詳解】的定義域?yàn)?，則，
，
由題意可知，是方程的一個變號實(shí)數(shù)根，
則，故A正確；
由得，，故B正確；
當(dāng)時，因?yàn)椋?br>所以函數(shù)開口向下，且與軸正半軸只有一個交點(diǎn)，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有且僅有一個極大值，故C正確；
將代入整理得，
則方程有不相等的實(shí)數(shù)根與，即，
當(dāng)時，時，時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，
當(dāng)時，時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，故D錯誤，
故選：ABC.
12. 今年是共建“一帶一路”倡議提出十周年.某校進(jìn)行“一帶一路”知識了解情況的問卷調(diào)查，為調(diào)動學(xué)生參與的積極性，凡參與者均有機(jī)會獲得獎品.設(shè)置3個不同顏色的抽獎箱，每個箱子中的小球大小相同質(zhì)地均勻，其中紅色箱子中放有紅球3個，黃球2個，綠球2個；黃色箱子中放有紅球4個，綠球2個；綠色箱子中放有紅球3個，黃球2個，要求參與者先從紅色箱子中隨機(jī)抽取一個小球，將其放入與小球顏色相同的箱子中，再從放入小球的箱子中隨機(jī)抽取一個小球，抽獎結(jié)束.若第二次抽取的是紅色小球，則獲得獎品，否則不能獲得獎品，已知甲同學(xué)參與了問卷調(diào)查，則（ ）
A. 在甲先抽取的是黃球的條件下，甲獲得獎品的概率為
B. 在甲先抽取的不是紅球的條件下，甲沒有獲得獎品的概率為
C. 甲獲得獎品的概率為
D. 若甲獲得獎品，則甲先抽取綠球的機(jī)會最小
【答案】ACD
【解析】
【分析】設(shè)出事件后，結(jié)合條件概率與全概率公式逐個計算即可得.
【詳解】設(shè)，，，分別表示先抽到的小球的顏色分別是紅、黃、綠的事件，
設(shè)表示再抽到的小球的顏色是紅的事件，
在甲先抽取的是黃球的條件下，甲獲得獎品的概率為：
，故A正確；
在甲先抽取的不是紅球的條件下，甲沒有獲得獎品的概率為：
，故B錯誤；
由題意可知，，
，由全概率公式可知，甲獲得獎品的概率為：
，故C正確；
因?yàn)榧撰@獎時紅球取自哪個箱子的顏色與先抽取小球的顏色相同，
則，
，
，
所以甲獲得獎品時，甲先抽取綠球機(jī)會最小，故D正確.
故選：ACD.
三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）
13. 已知向量，向量滿足，則__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由平方求解.
【詳解】解：由，得，
由，得，
則，所以.
故答案為：
14. 已知正三棱臺的上?下底面邊長分別為和，它的一個側(cè)面的面積為，則該正三棱臺的體積為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)正三棱臺的性質(zhì)及題中條件分別求出側(cè)面的高和正三棱臺的高，然后利用棱臺體積公式即可求解.
【詳解】設(shè)該正三棱臺側(cè)面的高為，由題意可知，，所以，
該正三棱臺的上底面的面積為，
下底面的面積為，
設(shè)正三棱臺的高為，則，
故該正三棱臺的體積為.
故答案為：.
15. 已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則滿足“的面積為”的的一個值為__________.
【答案】（或，或）
【解析】
【分析】由的面積為，得到或，進(jìn)而得到圓心到直線的距離為或求解.
【詳解】解：由的面積為，得，
解得，則或，
易知圓心到直線的距離為或，
由點(diǎn)到直線的距離公式可知，，或，
解得或或.
故答案為：1(或，或)
16. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則不等式在區(qū)間上的解集為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)、正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】由圖可知，解得，
由圖可知，，
又，所以或，
當(dāng)時，，
因?yàn)?，所以?dāng)時，顯然有，
因此函數(shù)先是增函數(shù)，顯然不符合圖象，
當(dāng)時，
因?yàn)椋援?dāng)時，顯然有，
因此函數(shù)先是減函數(shù)，符合圖象特征，
令，或，因?yàn)椋?br>所以，
即，
由
所以有，
因?yàn)椋?br>所以令，則有，
而，所以，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定的值.
四?解答題（本大題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
17. 記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
（1）求的值；
（2）若，且的周長為，求邊上的高.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，結(jié)合正弦、余弦定理，求得，即可求解；
（2）根據(jù)題意得到，結(jié)合（1）得到，聯(lián)立方程組求得，再由余弦定的值，利用，即可求解.
【小問1詳解】
解：由，可得，所以，
又由正弦定理和余弦定理，可得，
整理得，所以.
【小問2詳解】
解：由，且的周長為，可得，
又由（1）可知，，即，所以，
聯(lián)立方程組，解得，
所以，
則，
所以邊上的高為.
18. 記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由退位相減可得，又可得，繼而可知數(shù)列為等比數(shù)列，則通項(xiàng)可求；
（2）由（1）可得、繼而可求，并將其裂項(xiàng)再求和，即可證明不等式.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)時，，
兩式相減得，，
化簡可得，
所以，即，
又可得，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
可得
【小問2詳解】
由（1）可知，，
所以，
則，
，
，
，
因?yàn)?，所以?br>則.
19. 為檢驗(yàn)預(yù)防某種疾病的兩種疫苗的免疫效果，隨機(jī)抽取接種疫苗的志愿者各100名，化驗(yàn)其血液中某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)（該醫(yī)學(xué)指標(biāo)范圍為，統(tǒng)計如下：
個別數(shù)據(jù)模糊不清，用含字母的代數(shù)式表示.
（1）為檢驗(yàn)該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)在內(nèi)的是否需要接種加強(qiáng)針，先從醫(yī)學(xué)指標(biāo)在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人，再次抽血化驗(yàn)進(jìn)行判斷.從這8人中隨機(jī)抽取4人調(diào)研醫(yī)學(xué)指標(biāo)低的原因，記這4人中接種疫苗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）根據(jù)（1）化驗(yàn)研判結(jié)果，醫(yī)學(xué)認(rèn)為該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)低于50，產(chǎn)生抗體較弱，需接種加強(qiáng)針，該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)不低于50，產(chǎn)生抗體較強(qiáng)，不需接種加強(qiáng)針.請先完成下面的列聯(lián)表，若根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為接種疫苗與志愿者產(chǎn)生抗體的強(qiáng)弱有關(guān)聯(lián)，求的最大值.
附：，其中.
【答案】（1）分布列見解析，
（2）列聯(lián)表見解析，2
【解析】
【分析】（1）由抽樣調(diào)查性質(zhì)可得抽取接種疫苗人數(shù)，計算出的所有可能取值的對應(yīng)概率可得分布列，由分布列可計算期望；
（2）結(jié)合的計算公式計算出對應(yīng)的范圍即可得.
【小問1詳解】
從醫(yī)學(xué)指標(biāo)在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人中，
接種疫苗有2人，接種疫苗有6人，
由題意可知，可能取值為，
，
的分布列為：
則；
【小問2詳解】
列聯(lián)表如下：
則，
由題意可知，，
整理得，，
解得或，
又，則，
所以，
故的最大值為2.
20. 如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且.
（1）證明：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算法則求得為的中點(diǎn)，再利用線面平行的判定定理即可得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量法求出直線與平面所成角的正弦值，從而求解.
【小問1詳解】
設(shè)，則，
，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
解得，則點(diǎn)為的中點(diǎn).
連接，設(shè)，連接，
因?yàn)樗倪呅螢榫匦危詾榈闹悬c(diǎn)，
在中，中位線，所以，
又平面平面，
所以平面.
.
【小問2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，則，所以，
由可知，，
易知四邊形為平行四邊形，
又平面，所以平面，所以.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)，所以，
則，
所以，
設(shè)平面一個法向量為，
由得取，則，
設(shè)直線與平面所成角為，
則.
故直線與平面所成角的正弦值為.
21. 已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過三點(diǎn)中的兩點(diǎn).
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)都在第二象限，記直線的傾斜角分別為，且.若直線與直線交于點(diǎn)，不同于點(diǎn)的點(diǎn)滿足軸，當(dāng)時，設(shè)的面積分別為，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性，分類討論進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)直線的斜率公式、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合三角形面積公式、點(diǎn)到直線距離公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)殛P(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，所以拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)中的一點(diǎn)，
由題意可知，拋物線經(jīng)過，
當(dāng)拋物線的方程為時，
將點(diǎn)代入的方程得，，解得，
驗(yàn)證可知，拋物線不經(jīng)過點(diǎn)，不滿足題意；
當(dāng)拋物線的方程為時，
將點(diǎn)代入的方程得，，解得，
驗(yàn)證可知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)，滿足題意，
故拋物線的方程為.
小問2詳解】
由（1）可知，，
設(shè)的方程為，設(shè)，
由得，
，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)，
同理可知，.
直線的斜率為，
其方程，
即①
同理可知直線的方程，
即②
由①②解得，，
所以點(diǎn)在直線上，由軸可知，點(diǎn)在直線上，
設(shè)，由可知，，
則，所以，
解得，
由上可知，，
原點(diǎn)到直線的距離為，
到直線的距離為，
所以，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號，
因?yàn)?，所以?br>由得，，
故的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對的表達(dá)式進(jìn)行變形，用基本不等式進(jìn)行求解.
22. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的極值；
（2）設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，若為的兩個零點(diǎn)，證明：.
【答案】（1）極大值為.
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，再利用極值定義即可求得函數(shù)的極值；
（2）先將不等式轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)證得，進(jìn)而證得原不等式成立.
【小問1詳解】
的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，此時無極值；
當(dāng)時，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故只存在極大值且為.
【小問2詳解】
由為的兩個零點(diǎn)得，，
所以，
則，
又
.
由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
若為的兩個零點(diǎn)，則，
所以.
要證，需證，
需證，
又，
即證，
因?yàn)椋瑒t，則，
所以需證，
即證，
令，需證，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
則，故.
該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)
接種疫苗人數(shù)
10
50
接種疫苗人數(shù)
30
40
疫苗
抗體
合計
抗體弱
抗體強(qiáng)
疫苗
疫苗
合計
0.25
0.025
0.005
1.323
5.024
7.879
2
3
4
疫苗
抗體
合計
抗體弱
抗體強(qiáng)
疫苗
100
疫苗
100
合計
60
140
200

相關(guān)試卷

湖南省長沙市湖南師大附中2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份湖南省長沙市湖南師大附中2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），文件包含湖南省長沙市湖南師大附中2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題原卷版docx、湖南省長沙市湖南師大附中2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題Word版含解析docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共23頁， 歡迎下載使用。

湖南省長沙市湖南師大附中2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期月考（六）數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份湖南省長沙市湖南師大附中2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期月考（六）數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），共20頁。試卷主要包含了若，則的最小值為，已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則，下列說法正確的是，以下命題正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖南省長沙市湖南師大附中2024屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份湖南省長沙市湖南師大附中2024屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），文件包含湖南省長沙市湖南師大附中2024屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試題原卷版docx、湖南省長沙市湖南師大附中2024屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試題Word版含解析docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共33頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024屆湖南省長沙市湖南師大附中高三上學(xué)期月考（四）數(shù)學(xué)試題含答案

2024屆湖南省長沙市湖南師大附中高三上學(xué)期月考（四）數(shù)學(xué)試題含答案
湖南省長沙市長郡中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期月考（四）數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

湖南省長沙市長郡中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期月考（四）數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）
湖南省長沙市湖南師大附中2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期月考（七）試題（Word版附解析）

湖南省長沙市湖南師大附中2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期月考（七）試題（Word版附解析）
湖南省長沙市雅禮中學(xué)2023屆高三上學(xué)期月考（一）數(shù)學(xué)（Word版附解析）

湖南省長沙市雅禮中學(xué)2023屆高三上學(xué)期月考（一）數(shù)學(xué)（Word版附解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部