時(shí)量：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)，則中整數(shù)個(gè)數(shù)為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】求得集合，結(jié)合集合中的不等式，即可得到集合中元素的個(gè)數(shù).
【詳解】由集合，
可得集合中的元素包含整數(shù)有：，
以上整數(shù)滿足集合中不等式的有，
所以中整數(shù)個(gè)數(shù)為.
故選：D.
2. 已知母線長(zhǎng)為5的圓錐的側(cè)面積為，則這個(gè)圓錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由勾股定理可得圓錐的高，然后結(jié)合錐體的體積公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，高為，由已知，，則，從而，所以.
故選：B.
3. 若A，B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 .
A. 第一象限.B. 第二象限.C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【詳解】因?yàn)锳，B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，所以
即>0,因此點(diǎn)位于第二象限，選B.
4. 已知，，，，且四邊形ABCD為平行四邊形，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量減法和向量相等的定義即可求得之間的關(guān)系，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).
【詳解】，
而在平行四邊形ABCD中，，所以，
又，，，，
則，也即.
故選：B.
5. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則有（ ）
A. 為等差數(shù)列B. 為等比數(shù)列
C. 為等差數(shù)列D. 為等比數(shù)列
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)得到，即可判斷AB選項(xiàng)；根據(jù)，得到即可判斷CD選項(xiàng).
【詳解】由題意，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，
當(dāng)時(shí)，，兩式相減，可得，
可得，即，又由，當(dāng)時(shí)，，所以，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，所以AB錯(cuò).
當(dāng)時(shí)，，又由時(shí)，，適合上式，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為；又由，所以數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，故D正確，C錯(cuò).
故選：D.
6. 為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：汽車駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL.據(jù)儀器監(jiān)測(cè)，某駕駛員喝了二兩白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小時(shí)末的酒精含量都比上一個(gè)小時(shí)末減少25%，那么此人在開車前至少要休息（參考數(shù)據(jù)：，）（ ）
A. 4.1小時(shí)B. 4.2小時(shí)C. 4.3小時(shí)D. 4.4小時(shí)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意列不等式，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式解不等式即可.
【詳解】設(shè)經(jīng)過小時(shí)，血液中的酒精含量為，則.
由，得，則.因?yàn)?，則
，所以開車前至少要休息4.2小時(shí).
故選：B.
7. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)的導(dǎo)數(shù)是，且恒成立，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，得到，得到為增函數(shù)，得到，即可求解.
詳解】設(shè)，則，
故在定義域上是增函數(shù)，所以，
即，所以.
故選：D.
8. 若正三棱錐滿足，則其體積的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)正三棱錐的底邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，
，
，
設(shè)該三棱錐的高為，
由正弦定理可知：，
所以，

又.
由
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
在上存在唯一的極大值點(diǎn)，且在時(shí)取得最大值為.
故正三棱錐體積的最大值為，
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)得到正三棱錐底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)的關(guān)系.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，且，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，作差法得到，結(jié)合，得到結(jié)論；B選項(xiàng)，可舉出反例；CD選項(xiàng)，作差法比較大小.
【詳解】對(duì)于A，，又，故，A正確；
對(duì)于B，不妨設(shè)，則，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，，
∵，∴，，，
∴，∴，所以C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，，
∵，∴，，∴，
∴，所以D正確.
故選：AD
10. 設(shè)正方體中，，，的中點(diǎn)分別為，，，則（ ）
A. B. 平面與正方體各面夾角相等
C. 四點(diǎn)共面D. 四面體，體積相等
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用余弦定理可求得和，知A正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面角向量求法可求得B正確；由異面直線定義可確定C錯(cuò)誤；利用線面平行的判定可證得平面，由此可知D正確.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，
則，，，
，，
又，，，A正確；
對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，
，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，；
又平面，平面和平面的法向量分別為，，，
，
平面與正方體各面夾角相等，B正確；
對(duì)于C， 分別延長(zhǎng)，，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
，，四邊形為平行四邊形，；
，，為的中位線，，
不重合，
平面，平面，，
與為異面直線，四點(diǎn)不共面，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，連接，
，，四邊形為平行四邊形，
，又，，
平面，平面，平面，
則點(diǎn)到平面的距離相等，四面體，體積相等，D正確.
故選：ABD.
11. 已知函數(shù)滿足，且在上有最大值，無(wú)最小值，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 若，則
C. 的最小正周期為4D. 在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為1012個(gè)
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)及正弦型函數(shù)的對(duì)稱性有，假設(shè)B中解析式成立，由得，進(jìn)而驗(yàn)證解析式，令，，，作差求，進(jìn)而求最小正周期，根據(jù)所得周期及正弦型函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)判斷區(qū)間零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】A，由題意在的區(qū)間中點(diǎn)處取得最大值，即，正確；
B，假設(shè)若，則成立，由A知，
而，故假設(shè)不成立，則錯(cuò)誤；
C，，且在上有最大值，無(wú)最小值，
令，，，
則兩式相減，得，即函數(shù)的最小正周期，故正確；
D，因?yàn)椋院瘮?shù)在區(qū)間上的長(zhǎng)度恰好為506個(gè)周期，
當(dāng)，即，時(shí)，在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為個(gè)，故錯(cuò)誤.
故選：AC.
12. 已知直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，與曲線相交于，兩點(diǎn)，，，的橫坐標(biāo)分別為，，.則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得其最大值，即可得到，然后對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)，得，令，可得，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，有極大值，即最大值.
設(shè)，得，令，則，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，有極大值，即最大值，
從而可得.由，得，故A正確；
由，得，即，
又，得，
又在上單調(diào)遞增，則，故B錯(cuò)誤；
由，得，即.
又，得，
又在上單調(diào)遞減，則，故C正確；
由前面知，，得，又由，
得，，則，.故D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和垂直關(guān)系可知，由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】在處的切線與直線垂直，，
又，，解得：.
故答案為：.
14. 圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為______.
【答案】
【解析】
分析】
轉(zhuǎn)化條件為直線過圓心，即可得解.
【詳解】由題意，圓的圓心為，
因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，
所以圓心在直線上，即，
所以.
故答案為：.
15. 如圖，正四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球M的球面上，側(cè)面是等邊三角形.若半球O的球心為四棱錐的底面中心，且半球與四個(gè)側(cè)面均相切，則半球O的體積與球M的體積的比值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】過四棱錐頂點(diǎn)和底面對(duì)棱中點(diǎn)作截面，此截面截半球得半圓，半圓與正四棱錐的截面等腰三角形的腰相切，由此可用棱錐的棱長(zhǎng)表示半球半徑，作正四棱錐對(duì)角面，對(duì)角面等腰三角形的外接圓是球的大圓，從而又可用棱錐棱長(zhǎng)表示球的半徑，由體積公式求得體積后得比值．
【詳解】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，作截面，把截面另外畫出平面圖形，如圖，則半球的半個(gè)大圓與的兩腰相切，是中點(diǎn)，為切點(diǎn)，
設(shè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，則，，，，
由對(duì)稱性知正四棱錐的對(duì)角面的外接圓是正四棱錐外接球的大圓，
，，，所以，是外接圓直徑，所以球的半徑為，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查球的體積，考查棱錐的內(nèi)切球與外接球問題，解題關(guān)鍵是作出正棱錐的截面，此截面截球的大圓，從而易得球半徑與棱錐的棱長(zhǎng)之間的關(guān)系．
16. 已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)和為，，且對(duì)于任意的正整數(shù)均有.（1）若，則______；（2）若，則滿足條件的無(wú)窮數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是______.
【答案】 ①. 2 ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】將代入，即可求出；由可得，兩式相減可得或，即可求出答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，，代入上式可求得.
已知，得，
當(dāng)時(shí)，，
即，所以或，
又，，所以（答案不唯一）.
故答案為:2；（答案不唯一）.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.
17. 在梯形中，，，，．
（1）求的值；
（2）若的面積為4，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理即可直接求解；
（2）由已知結(jié)合和差角公式及三角形面積公式可先求，然后結(jié)合余弦定理可求．
【小問1詳解】
解：在中，，，
由正弦定理得，則；
【小問2詳解】
解：因?yàn)?，為銳角，所以，
所以，
又為銳角，所以，
因?yàn)?，所以?br>由余弦定理得，
所以．
18. 已知數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意化簡(jiǎn)得到，得到數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由，得到，結(jié)合裂項(xiàng)求和及，即可得證.
【小問1詳解】
解：由，可得，即，
則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，
又由，可得，則，可得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
【小問2詳解】
解：由，則.
所以
.
因?yàn)?，所以?br>即.
19. 如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面，，，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)和直線的平面與，分別交于，兩點(diǎn).

（1）若為的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中作出線段，并說(shuō)明，的位置及作法理由；
（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）作圖見解析，為的中點(diǎn)，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，理由見解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得到，再結(jié)合為的中點(diǎn)即可得到為的中點(diǎn)，根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到平分，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到為的三等分點(diǎn)；
（2）設(shè)的坐標(biāo)為，然后利用空間向量的方法列方程，解方程即可求解.
【小問1詳解】
如圖，取為的中點(diǎn)，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).
理由如下：由四邊形為正方形得，，，
又平面，平面，所以平面.
又平面平面，為的中點(diǎn)，得，且為的中點(diǎn).
因?yàn)?，，平面，平面，所以∥平面?br>又，平面，所以平面平面，
平面平面，平分，得平分，
又，得到為的三等分點(diǎn)，且，從而作出線段.
【小問2詳解】
由題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，
于是，，，
設(shè)，則的坐標(biāo)為.
設(shè)平面的法向量為，則由得
令，得平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)直線與平面所成角為，則，
假設(shè)存在點(diǎn)使得直線與平面所成角的正弦值為，
則有，解得，.
所以線段上存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處，使得直線與平面所成角的正弦值為.
20. 2022年8月9日，美國(guó)總統(tǒng)拜登簽署《2022年芯片與科學(xué)法案》．對(duì)中國(guó)的半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)來(lái)說(shuō)，短期內(nèi)可能會(huì)受到“芯片法案”負(fù)面影響，但它不是決定性的，因?yàn)樗鼘⒓ぐl(fā)中國(guó)自主創(chuàng)新的更強(qiáng)爆發(fā)力和持久動(dòng)力．某企業(yè)原有400名技術(shù)人員，年人均投入萬(wàn)元，現(xiàn)為加大對(duì)研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術(shù)人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬(wàn)元．
（1）若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人？
（2）為了激勵(lì)研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在投入方面要同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入；②技術(shù)人員的年人均投入始終不減少．請(qǐng)問是否存在這樣的實(shí)數(shù)，滿足以上兩個(gè)條件，若存在，求出的范圍；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】（1）125.
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，解得，結(jié)合條件，可求得，由此可知調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為125人；
（2）由條件①得，由條件②得，假設(shè)存在同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件，則上述不等式恒成立，進(jìn)而求得，即，故確定存在，且.
【小問1詳解】
依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入為萬(wàn)元，
則，整理得，
解得，
因?yàn)榍?，所以，故?br>所以要使這名研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為125人.
【小問2詳解】
由條件①研發(fā)人員年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入，得，
上式兩邊同除以得，整理得；
由條件②由技術(shù)人員年人均投入不減少，得，解得；
假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù), 使得技術(shù)人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后，滿足以上兩個(gè)條件，
即恒成立，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立, 所以，
又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，取得最大值，所以，
所以，即，
即存在這樣的滿足條件，其范圍為.
21. 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)，在軸上，離心率為，點(diǎn)在上，且的周長(zhǎng)為6.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，求的面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率的公式、橢圓定義和求，，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理、，，三點(diǎn)共線和點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱得到點(diǎn)，然后利用割補(bǔ)的思路得到，最后利用換元和基本不等式的方法求最值即可.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、半短軸長(zhǎng)、半焦距分別為，，，
因?yàn)?，則.
因，則，即.
于是，解得，從而，.
因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
【小問2詳解】

設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得，
即，，解得.
設(shè)點(diǎn)，，則，.
因?yàn)辄c(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，則.設(shè)點(diǎn)，
因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，則，即，
即，即，
得.
所以，點(diǎn)為定點(diǎn)，.
.
令，則.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的面積的最大值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線求最值的思路：
（1）幾何的思路：根據(jù)幾何知識(shí)得到最值得情況，例如：兩點(diǎn)之間線段最短等等；
（2）代數(shù)的思路：將要求的用代數(shù)式表示出來(lái)，然后用函數(shù)的思路或不等式的思路求最值即可.
22. 已知函數(shù)，，設(shè)表示，的最大值，設(shè).
（1）討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）二次求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，從而分和兩種情況，求出在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）考慮時(shí)，在上恒成立，滿足；再考慮時(shí)，等價(jià)于在上恒成立，對(duì)求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，求出，令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合，得到，求出的取值范圍.
【小問1詳解】
，令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，無(wú)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
∴，而，，
∴，使得，∴在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
【小問2詳解】
①當(dāng)時(shí)，上恒成立，顯然；
②當(dāng)時(shí)，若，；若，.
∴等價(jià)于在上恒成立.
∵，∴.
令，則；令，則.
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
不妨令，則，則.
令，，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，
∴，故，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴
，
令，∴，
∴在上單調(diào)遞減，而，
∵在上恒成立，
∴，∴，即，
∴，
綜上所述，的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方

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