1．如圖所示，在三棱錐O?ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OA=1，OB=2，OC=3，E，F(xiàn)，P分別為AC，BC，EF的中點，以OA，OB，OC方向上的單位向量為基底，求OP．
2．平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AA1=4，且∠A1AD=∠A1AB=60°，M為BD中點，P為BB1中點，設AB=a，AD=b，AA1=c.
（1）用向量a，b，c表示向量PM；
（2）求線段PM的長度．
3．如圖，已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1的側棱長為3，底面是邊長為4的菱形，且∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=π3，點E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上．
（1）若BE=13BB1，DF=23DD1，求證：A，E，C1，F(xiàn)四點共面；
（2）求VA1?AEF；
（3）若BE=13BB1，點F為線段DD1上（包括端點）的動點，求直線EF與平面ABB1A1所成角的正弦值的取值范圍．
4．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，點E為BC的中點，點H在線段PD上且DH=13DP．
（1）用向量AB，AD，AP表示向量PE；
（2）求EH的長．
5．如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=4，且PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱PD，PC的中點．
（1）用向量AC，AD，AE表示BF；
（2）求異面直線BF與CE所成角的余弦值．
6．在圖1中，四邊形ABCD為梯形，AD//BC，∠ABC=π6，∠BCD=π3，AD=CD=2，過點A作AE⊥AB，交BC于E．現(xiàn)沿AE將△ABE折起，使得BC⊥DE，得到如圖2所示的四棱錐B?AECD，在圖2中解答下列兩問：
（1）求四棱錐B?AECD的體積；
（2）若F在側棱BC上，BF=34BC，求證：二面角C?EF?D為直二面角．
7．如圖，三棱臺ABC?A1B1C1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB=6， BC=4，BB1=2，AC1與A1C相交于點D，AE=2EB，且DE∥平面BCC1B1．
（1）求三棱錐C?A1B1C1的體積；
（2）求直線CC1與平面A1B1C所成角的正弦值．
8．如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，△PBC為等腰直角三角形，且∠CPB=90°，四邊形ABCD為直角梯形，滿足AD//BC，CD⊥AD，BC=CD=2AD=4，PD=26．
（1）若點F為DC的中點，求cs?AP，BF?；
（2）若點E為PB的中點，點M為AB上一點，當EM⊥BF時，求|AM||AB|的值．
9．已知向量 a=(2，4，?2)，b=(?1，0，2)，c=(x，2，?1) .
（1）若 a ∥ c ，求 |c| ；
（2）若 b⊥c ，求 (a?c)?(2b+c) 的值.
10．如圖，在三棱柱 ABC?A1B1C1 中， ∠ABC=90° ， AB=1 ， BB1=BC=23 ， B1 在平面 ABC 的射影 H 為 BC 中點，以 H 為坐標原點， HC 的方向為 x 軸的正方向， HB1 的方向為 z 軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系 H?xyz ．
（1）分別求 A1 ， B1 ， C1 點坐標；
（2）求四棱錐 B?ACC1A1 的高．
11．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD=2，AB=1，BC=22，PA=1，AB⊥BC，N為PD的中點.
（1）求平面PAD與平面PBC所成夾角的余弦值；
（2）求點N到直線BC的距離；
（3）在線段PD上是否存在一點M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值為2626，若存在，求出DMDP的值；若不存在，說明理由.
12．如圖，在幾何體P?ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=π2，AD=2，AB=BC=1．
（1）求證：CD⊥平面PAC；
（2）若PC與平面ABCD所成角為π3，求點A到平面PCD的距離．
13．如圖，在底面是菱形的四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=6，∠ABC=60°，E是棱PD上一點，且PE=2DE
（1）求二面角E?AC?D的大小
（2）在棱PC上是否存在一點F，使得BF//平面ACE？證明你的結論。
14．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=2，底面ABCD為直角梯形，∠BAD=90°，AB=2，CD=AD=1，N是PB的中點，點M，Q分別在線段PD與AP上，且DM=λMP，AQ=μQP.
（1）當λ=1時，求平面MDN與平面DNC的夾角大小；
（2）若MQ∥平面PBC，證明：μ=1+2λ.
答案解析部分
1．【答案】解：令OA，OB，OC方向上的單位向量分別為m，j，k，則{i，j，k}是單位正交基底．
因為OP=OE+EP=12(OA+OC)+12EF==12(OA+OC)+14AB
=12(OA+OC)+14(OB?OA)
=14OA+14OB+12OC=14i+14×2j+12×3k
=14i+12j+32k，
所以|OP|=(14i+12j+32k)2=116+14+94=414，
所以OP的長度為414．
2．【答案】（1）解：因為M為BD中點，P為BB1中點，AB=a，AD=b，AA1=c，
所以PM=PB+BM=12B1B+12BD=?12BB1+12(AD?AB)
=12AD?12AB?12BB1=12(AD?AB?AA1)=12(b?a?c)
（2）解：因為平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AA1=4，且∠A1AD=∠A1AB=60°，
所以|a|=|b|=2，|c|=4，a?b=0，a?c=b?c=2×4×12=4，
所以PM2=14(b?a?c)2=14(b2+a2+c2?2a?b?2b?c+2a?c)
=14×(4+4+16?0?8+8)=6
所以|PM|=6，即線段PM長為6
3．【答案】（1）證明：∵AC1=AB+AD+AA1，AE=AB+13AA1，AF=AD+23AA1，
∴AE+AF=AC1，所以A，E，C1，F(xiàn)四點共面.
（2）解：∵BB1//平面AA1D1D，
∴BB1上的所有的點到平面AA1D1D的距離都相等，
同理DD1上所有的點到AA1B1B的距離也相等，
∴VA1?AEF=VF?A1EA=VA1?ABD=16VA1B1C1D1?ABCD，
∵∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=π3，
∴點A1在平面ABCD的射影落在AC上，過點A1作A1G⊥AC，過點G作GH⊥AB，
∵A1G⊥平面ABCD，
∴A1G⊥AB，又A1G與GH是平面A1GH內(nèi)兩條相交直線，
∴AB⊥平面A1GH，∴AB⊥A1H，在直角三角形A1HA中，∠A1AH=60，
A1A=3，解得AH=32，
又在直角三角形AHG中，∠HAG=30，∴AG=3，
在直角三角形A1GA中，可得A1G=6，
∴VA1?AEF=VA?A1EF=VA1?ABD=16VA1B1C1D1?ABCD=16×SABCD×A1G=42；
（3）解：設AB與CD的交點為O，以點O為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，由（2）可知AG=3，A1G=6，
∴A1(3，0，6)，A(23，0，0)，D(0，?2，0)，B(0，2，0)，
由AA1=DD1=BB1，可求得D1(?3，?2，6)，B1(?3，2，6)，
∴AB=(?23，2，0)，AA1=(?3，0，6)，
設n=(x，y，z)為平面A1AB的法向量，
∴?23x+2y=0?3x+6z=0，取z=2，∴x=2，y=23，
∴n=(2，23，2)，
∵BE=13BB1，∴E(?33，2，63)，
設DF=λDD1(0≤λ≤1)，∴F(?3λ，?2，6λ)，
∴EF=(?3λ+33，?4，6λ?63)，
設直線EF與平面ABB1A1所成角的為θ，
∴sinθ=|EF?n|EF||n||=|?8332×9λ2?6λ+17|=4639λ2?6λ+17，
∵0≤λ≤1，16≤9λ2?6λ+17≤20，
∴sinθ∈[23015，63]．
4．【答案】（1）因為點E為BC的中點，所以BE=12BC=12AD，
所以PE=PA+AB+BE=AB+12AD?AP；
（2）因為點H在線段PD上且DH=13DP，
所以PH=23PD，
所以PH=23PD=23(AD?AP)=23AD?23AP，
所以EH=PH?PE=16AD?AB+13AP，
因為在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，AB，AD?底面ABCD
所以AB⊥AD，PA⊥AB，PA⊥AD，
則AD?AB=AD?AP=AB?AP=0，
∴|EH|2=(16AD?AB+13AP)2
=136AD2+AB2+19AP2?13AD?AB+19AD?AP?23AB?AP=136+1+49=5336，
∴|EH|=536．
5．【答案】（1）解：BF=BC+CF=AD+12CP=AD+12(CD+DP)=AD+12(AD?AC)+12DP=AD+12(AD?AC)+DE=AD+12(AD?AC)+AE?AD=12AD?12AC+AE.
（2）解：以A為坐標原點，AB，AD，AP正方向為x，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，
則B(2，0，0)，C(2，2，0)，F(xiàn)(1，1，2)，E(0，1，2)，∴BF=(?1，1，2)，CE=(?2，?1，2)，
∴|cs|=|BF?CE||BF|?|CE|=56×3=5618，
即異面直線BF與CE所成角的余弦值為5618.
6．【答案】（1）解：在圖1中，∵∠ABC=π6，AE⊥AB，∴∠AEB=π3，
又∠BCD=π3，∴AE//CD，
又AD//BC，
∴四邊形AECD為平行四邊形，
∵AD=CD，
∴平行四邊形AECD為菱形．
在圖2中，連接AC，則DE⊥AC，
又BC⊥DE，AC，BC?平面ABC，
AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABC，
∵AB?平面ABC，∴AB⊥DE
∵AE⊥AB，AE∩DE=E，AE，DE?平面AECD，
∴AB⊥平面AECD
VB?AECD=13SAECD×AB=13×(AD×AEsinπ3)×(AEtanπ3)=4
（2）解：在圖2中，以A為原點，以AD所在的直線為y軸建立如圖所示的直角坐標系，則B(0，0，23)，D(0，2，0)，E(3，1，0)，C(3，3，0)，
EF=EB+BF=EB+34BC=(?3，?1，23)+34(3，3，?23)=(?34，54，32)
設面CEF的一個法向量為n1=(x1，y1，z1)，EC=(0，2，0)，
由n1?EC=0n1?EF=0?2y1=0?34x1+54y1+32z1=0
令z1=1，則x1=2，y1=0，取n1=(2，0，1)
設面DEF的一個法向量為n2=(x2，y2，z2)，ED=(?3，1，0)，
由n2?ED=0n2?EF=0??3x2+y2=0?34x2+54y2+32z2=0
令x2=1，則y2=3，z2=?2，取n2=(1，3，?2)
所以n1?n2=0，∴n1⊥n2，從而二面角C?EF?D為直二面角
7．【答案】（1）解：由題意，∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC=AB，AB⊥BC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面ABB1A1，
∵BB1?平面ABB1A1，
∴BC⊥BB1，
又AC⊥BB1，BC∩AC=C，
BC，AC?平面ABC，
∴BB1⊥平面ABC，
連接C1B，
∵DE//平面BCC1B1，
DE?平面ABC1，
平面ABC1∩平面BCC1B1=C1B，
∴DE∥C1B，
∵AE=2EB，
∴AD=2DC1，
∴A1C1=12AC．
∴三棱錐C?A1B1C1底面A1B1C1的面積S1=12×2×3=3，
高?=BB1=2，
∴其體積為：V=13S1?=13×3×2=2．
（2）證明：由題意及（1）得，以B為坐標原點，分別以BA，BC，BB1為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖．
A(6，0，0)，C(0，4，0)，B1(0，0，2)，A1(3，0，2)，C1(0，2，2)，
則B1A1=(3，0，0)，B1C=(0，4，?2)，CC1=(0，?2，2)．
設平面A1B1C的法向量為n=(x，y，z)，
由n?B1A1=3x=0n?B1C=4y?2z=0，
取y=1，則x=0，z=2
所以n=(0，1，2)，
設CC1與平面A1B1C所成角為β，
所以sinβ=|n?CC1||n||CC1|=25×22=1010．
8．【答案】（1）解：因為△PBC為等腰直角三角形，∠CPB=90°，BC=CD=4，所以PC=PB=22，
又PD2=(26)2=24，PC2+CD2=(22)2+42=24，所以DC⊥PC．
而CD⊥AD，CD//BC，故CD⊥BC，
因PC∩BC=C，PC，BC?平面PBC，故CD⊥平面PBC.
以點C為原點，CP，CD所在直線分別為x，z軸，過點C作PB的平行線為y軸，建立空間直角坐標系C?xyz，如圖所示．
則P(22，0，0)，B(22，22，0)，F(xiàn)(0，0，2)，A(2，2，4)，B(22，22，0)．
則AP=(2，?2，?4)，BF=(?22，?22，2)，
所以cs?AP，BF?=AP?BF|AP|?|BF|=2×(?22)+(?2)×(?22)+(?4)×225×25=?25．
（2）解：由（1）知E(22，2，0)，設AM=tAB，
而AB=(2，2，?4)，所以AM=(2t，2t，?4t)，
所以M(2+2t，2+2t，4?4t)，所以EM=(2t?2，2t，4?4t)，
又BF=(?22，?22，2)，
因為EM⊥BF，故EM?BF=0，
所以?22×(2t?2)?22×2t+8?8t=0，解得t=34，
所以|AM||AB|=34．
9．【答案】（1）∵ a ∥ c ，
∴ x2=24=?1?2 ，
∴ x=1 ，
∴ c=（1，2，?1） ，
|c|=6 .
（2）∵ b⊥c ，
∴ ?x+2×0?1×2=0 ，
∴ x=?2 ，
∴ c=(?2，2，?1) ，
∴ a?c=(4，2，?1) ， 2b+c=(?4，2，3) ，
∴ (a?c)?(2b+c)=?15
10．【答案】（1）解：因為 B1 在平面 ABC 的射影 H 為 BC 中點，所以 B1H⊥ 平面 ABC ．
又 BB1=BC=23 ，所以 BH=3，B1H=3 ．
則 A(?3，1，0) ， B(?3，0，0) ， C(3，0，0) ， B1(0，0，3) ， C1(23，0，3) ，
設 A1(x，y，z) ，由已知得 AA1=BB1=(3，0，3) ，即 (x+3，y?1，z)=(3，0，3) ，
解得 x=0 ， y=1 ， z=3 ， A1(0，1，3)
（2）解：四棱錐 B?ACC1A1 的高為 B 到平面 ACC1A1 的距離． CC1=(3，0，3) ， AC=(23，?1，0) ．
設平面 ACC1A1 的法向量為 n=(x，y，z) ，則 CC1?n=0AC?n=0 ，即 3x+3z=023x?y=0 ，
令 z=?1 ，可得 x=3 ， y=6 ，所以可取 n=(3，6，?1) ．
BA=(0，1，0) ， B 到平面 ACC1A1 的距離 d=|BA?n||n|=|6|3+36+1=31010 ．
所以四棱錐 B?ACC1A1 的高為 31010
11．【答案】（1）解：如圖所示：Q為CD中點，連接AQ，
則AB=CQ=1，AB∥CQ，AB⊥BC，
則四邊形ABCQ為矩形，故AQ⊥AB，
以AQ，AB，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(22，1，0)，D(22，?1，0)，P(0，0，1)，N(2，?12，12).
設平面PAD的法向量為n1=(x1，y1，z1)，則AP?n1=z1=0AP?n1=22x1?y1=0，
取x1=1得到n1=(1，22，0)，
設平面PBC的法向量為n2=(x2，y2，z2)，則BC?n2=22x2=0BP?n2=?y2+z2=0，
取y2=1得到n2=(0，1，1)，
故平面PAD與平面PBC所成角的余弦值為|cs?n1，n2?|=|n1?n2||n1|?|n2|=2232=23.
（2）解：BN=(2，?32，12)，BC=(22，0，0)，則cs?BN，BC?=BN?BC|BN|?|BC|=4322×22=23，
?BN，BC?∈[0，π]，故，
點N到直線BC的距離為|BN|sin?BN，BC?=322×53=102
（3）解：令DM=λDP，λ∈[0，1]，
設M(x，y，z)，則(x?22，y+1，z)=λ(?22，1，1)，
則M(22?22λ，λ?1，λ)，即CM=(?22λ，λ?2，λ)，
平面PBC的一個法向量n2=(0，1，1)，故2626=|CM?n2||CM|?|n2|=|2λ?2|28λ2+(λ?2)2+λ2，21λ2?50λ2+24=0，
解得λ=23或λ=127（舍），
故存在點M滿足條件，DMDP=23.
12．【答案】（1）證明略
（2）解：點A到平面PCD的距離為62．
13．【答案】（1）解：取BC的中點為G，連接AG，
因為在底面為菱形的四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=6，∠ABC=60°
所以AG⊥BD，AG=62?32=33
以A為原點，AG，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系
則A(0，0，0)，C(33，3，0)，D(0，6，0)，P(0，0，6)
因為點E在PD上，且PE=2DE，∴E(0，4，2)
AE=(0，4，2)，AC=(33，3，0)
設平面ACE的法向量為n=(x，y，z)
則n?AC=33x+3y=0n?AE=4x+2y=0，取x=1，得n=(1，?3，?2)
平面ACD的法向量為m=(0，0，1)
設二面角E?AC?D的大小為θ
則csθ=|m?n||m|?|n|=28=22，∴θ=π4
則二面角E?AC?D的大小為π4
（2）解：設在棱PC上存在點F(a，b，c)，且PF=λPC，0≤λ≤1，使得BF//平面ACE
則(a，b，c?1)=(32λ，12λ，?λ)，解得F(32λ，12λ，?λ)
因為B=(32，?12，0)，所以BF→(32λ?32，12λ+12，1?λ)，
因為平面ACE的法向量(1，?3，?2)，BF//平面ACE
所以BF→?n→=32λ?32?32λ?32?2+2λ=0
解得λ=1+32?(0，1)
則在棱PC上不存在一點F，使得BF//平面ACE
14．【答案】（1）解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(1，0，0)，C(1，1，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2).
當λ=1時，M(12，0，1)，N(0，1，1)，
則MN=(?12，1，0)，DN=(?1，1，1)，CN=(?1，0，1).
設平面MDN的法向量為m=(x，y，z)，平面DNC的法向量為n=(a，b，c)，
∴?12x+y=0且?x+y+z=0，?a+c=0且?a+b+c=0，令y=1，a=1，
則m=(2，1，1)，n=(1，0，1)，
∴cs?m，n?=36×2=32，
∴平面MDN與平面DNC的夾角大小為30°.
（2）證明：設M(x′，y′，z′)，由DM=λMP，得(x′?1，y′，z′)=λ(?x′，?y′，2?z′)，
∴M(11+λ，0，2λ1+λ)，
同理由AQ=μQP，得Q(0，0，2μ1+μ)，∴MQ=(?11+λ，0，2μ1+μ?2λ1+λ).
PB=(0，2，?2)，BC=(1，?1，0)，設平面PBC的法向量為p=(x1，y1，z1)，
∴2y1?2z1=0且x1?y1=0，令x1=1，則p=(1，1，1)，
∴p?MQ=0，則?11+λ+2μ1+μ?2λ1+λ=0，即μ=1+2λ .

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