1．已知拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為.
（1）求拋物線的方程；
（2）過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點A，B和M，N.設(shè)線段，的中點分別為P，Q，求證：直線恒過一個定點.
2．已知橢圓，離心率為，兩焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8.
（1）求橢圓的方程；
（2）圓的切線交橢圓于兩個不同點，交軸于點，且，求面積的最大值．
3．已知拋物線的準(zhǔn)線為，過拋物線上一點向軸作垂線，垂足恰好為拋物線的焦點，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)與軸的交點為，過軸上的一個定點的直線與拋物線交于兩點．記直線的斜率分別為，若，求直線的方程.
4．設(shè)動點與定點的距離和到定直線的距離的比是.
（1）求動點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；
（2）當(dāng)時，記動點的軌跡為，動直線與拋物線相切，且與曲線交于點，.求面積的最大值.
5．已知橢圓的長軸長為2a，焦點是、，點到直線的距離為，過點且傾斜角為45°的直線l與橢圓交于A、B兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求線段的長.
6．已知的兩個頂點分別為橢圓的左焦點和右焦點，且三個內(nèi)角滿足關(guān)系式．
（1）求線段的長度；
（2）求頂點的軌跡方程．
7．橢圓的左、右頂點分別為A，B，過左焦點的直線與橢圓交于C，D兩點（其中C點位于x軸上方），當(dāng)CD垂直于x軸時，
（1）求橢圓的方程；
（2）記直線AC，BD的斜率分別為，問；是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
8．已知動點到直線的距離與它到點的距離之差為
（1）求點的軌跡方程，并寫出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2）若曲線的準(zhǔn)線與軸的交點為，點在曲線上，且，求的面積；
（3）若過點的直線交曲線于兩點，求證：以為直徑的圓過原點.
9．已知點，，動點滿足關(guān)系式．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）是過點且斜率為2的直線，是軌跡上（不在直線上）的動點，點在直線上，且，求的最大值及此時點的坐標(biāo)．
10． 已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．
（1）求雙曲線的方程．
（2）已知雙曲線的左、右頂點分別為，，直線與雙曲線的左、右支分別交于點，（異于點，）．設(shè)直線，的斜率分別為，，若點在雙曲線上，證明為定值，并求出該定值．
11．如圖，雙曲線的離心率為，實軸長為，，分別為雙曲線的左右焦點，過右焦點的直線與雙曲線右支交于，兩點，其中點在第一象限．連接與雙曲線左支交于點，連接分別與，軸交于，兩點．
（1）求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求面積的最小值．
12．已知雙曲線．
（1）求與雙曲線有共同的漸近線，且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與雙曲線交于、兩點，且、的中點坐標(biāo)為，求直線的斜率．
13．已知為拋物線的焦點，為坐標(biāo)原點，為的準(zhǔn)線上的一點，線段長度的最小值為.
（1）求的方程；
（2）過點作一條直線，交于，兩點，試問在準(zhǔn)線上是否存在定點，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方?若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
14．已知拋物線：上有一點，為拋物線的焦點，，且.
（1）求拋物線的方程；
（2）過點向圓：（點在圓外）引兩條切線，交拋物線于另外兩點，，求證：直線過定點.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：因為拋物線的焦點F為，
雙曲線的漸近線方程為：，即，
則，解得，故拋物線的方程為：.
（2）證明：設(shè)A，B兩點坐標(biāo)分別為，，則點P的坐標(biāo)為.
由題意可設(shè)直線的方程為，
由得，，
因為直線與曲線C交于A，B兩點，所以，，
所以點P的坐標(biāo)為.
由題知，直線的斜率為，同理可得點Q的坐標(biāo)為.
當(dāng)時，有，此時直線PQ的斜率，
所以直線PQ的方程為，整理得，
于是直線PQ恒過定點.
當(dāng)時，直線PQ的方程為，也過定點.
綜上，直線PQ恒過定點.
2．【答案】（1）
（2）解：由題意可設(shè)直線，
因為與單位圓相切，所以，
再由它們聯(lián)立方程組得：，
消去y得：，
所以，
點Q到直線距離，
所以面積為，
當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值。
3．【答案】（1）解：由題意，
代入，
得，
，
拋物線的方程為.
（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在時，與題意不符，
所以直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為代入到中，
，
設(shè)，，則，
，
所以直線的方程為．
4．【答案】（1）解：設(shè) ， 則
化簡得 ，
當(dāng) 時， ， 軌跡為一條直線；
當(dāng) 時， ， 此時軌跡為焦點在 軸上的橢圓；
當(dāng) 時， ， 此時軌跡為焦點在 軸上的雙曲線；
綜上： 當(dāng) 時， 軌跡方程為 ， 軌跡為一條直線，當(dāng) 時， 軌跡方程為 ， 軌跡為焦點在 軸上的橢圓當(dāng) 時， 軌跡方程為 ， 軌跡為焦點在 軸上的雙曲線；
（2）解：當(dāng) 時，
當(dāng)直線 斜率不存在時， 又與 相切， 故此時直線 ， 此時 O， A， B 三點共線， 不合要求， 舍去， 設(shè)直線 ， 聯(lián)立 得
由 得 ， 顯然
聯(lián)立 得， ，由 ， 結(jié)合 ， 解得 設(shè) ，
則
設(shè)直線 與 軸交于點 ； 則 ，
則
將 代入得 ，
因為 ， 令 ， 則 ，
設(shè) ， 則設(shè) ， 則
當(dāng) 時， ， 當(dāng) 時， ，故 在 上單調(diào)遙增， 在 上單調(diào)遞減，故 在 處取得極大值， 也是最大值，
故 最大值為
5．【答案】（1）解：由已知且，解得.
則有，故橢圓方程為.
（2）解：直線l：，聯(lián)立直線與橢圓方程，，
設(shè)，，則有，，，
則，所以長為.
6．【答案】（1）解：將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，
則，即
可得，故
（2）解：，
由正弦定理，得
即動點到兩定點的距離之差為定值，
動點的軌跡是雙曲線的右支，且，
故頂點的軌跡方程為．
7．【答案】（1）解：因為橢圓的左焦點為，
所以，將代入，得，
故，所以
解得，所以，
橢圓方程為.
（2）解：因為直線CD過點，且點C位子x軸上方，所以直線CD斜率不為0，設(shè)直線CD的方程為，聯(lián)立消去x得，
方程的判別式，
設(shè)，由已知，
于是，
所以，
又橢圓的左頂點A的坐標(biāo)為，右頂點B的坐標(biāo)為(2，0)，
所以，
因為，
所以，
所以
所以為定值，定值為3．
8．【答案】（1）解：設(shè)，點到直線的距離與它到點的距離之差為，所以點到直線的距離與它到點的距離相等，由拋物線定義可得點的軌跡方程為，其中焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
（2）解：由（1）可得，，因為點在曲線上，所以設(shè)，
因為，所以，
化簡可得，又，所以.
（3）解：設(shè)過點直線方程為，聯(lián)立，化簡得，
，
設(shè)，所以，，
所以
所以以為直徑的圓圓心為，即，
半徑為
坐標(biāo)原點到圓心的距為離，
所以以為直徑的圓過原點.
9．【答案】（1）由橢圓的定義可知，又因為，根據(jù)求得
所以橢圓方程為：.
（2）設(shè)的坐標(biāo)為，且滿足
則直線；直線
聯(lián)立得：，所以
設(shè)
則當(dāng)時，所以
此時
10．【答案】（1）解：因為漸近線方程為，所以，即．
，，．
故的方程為．
（2）解：因為點在雙曲線上，所以，即．
聯(lián)立得．設(shè)，．
．，．
．
．因為，所以，所以．
．
故為定值，定值為．
11．【答案】（1）解：，，，
解得，，，雙曲線方程是；
（2）解：由（1）可知，設(shè)，，則直線的方程為，
聯(lián)立直線的方程與雙曲線方程，消去，整理可得，
恒成立.
由韋達定理可得，，所以，，所以點.
根據(jù)已知可知，，所以，.
同理解得，
所以，，
直線的方程為.
由可得，；由可得，.
由A、D坐標(biāo)可得直線的方程為，
則直線與y軸交點坐標(biāo)為，所以.
所以，.
令，
則.
設(shè)，則，
當(dāng)，即時有最小值，此時，（舍去負(fù)值）.
所以，.
當(dāng)且僅當(dāng)即時取到最小值，此時.
12．【答案】（1）解：設(shè)所求雙曲線方程為，
代入，得，
所以所求雙曲線方程為
（2）解：設(shè)，，因為、在雙曲線上，
得，
13．【答案】（1）解：依題意，為的準(zhǔn)線上的一點，線段長度的最小值為，
所以，所以拋物線的方程為.
（2）解：拋物線的焦點，準(zhǔn)線.
設(shè)，由于直線與拋物線有兩個交點，所以直線與軸不重合，
設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得：
，設(shè)，
則
，，
，
若“直線與的斜率之和等于直線斜率的平方”，
則，
，
，
，
，
，
，，解得或，
所以存在符合題意的定點，的坐標(biāo)是或.
14．【答案】（1）解：由已知得，且，
解得，∴拋物線的方程為.
（2）證明：由（1）知，設(shè)圓：
在圓外，，即；
當(dāng)過點的圓的切線有一條斜率不存在時，即是圓的一條切線，則，
是過點的圓的另一條切線；
此時切線與拋物線有且僅有一個交點，不合題意；
設(shè)過點的切線方程為，
設(shè)兩條切線的斜率分別為，，∴，
整理得，∴.
設(shè)直線方程為，代入的方程整理得，
設(shè)，，∴，，
∴，∴，即，
∴直線方程為，恒過點.

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