（完卷時(shí)間120分鐘；滿分150分）
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一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知點(diǎn)在拋物線上，則的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．B．1C．2D．4
3．已知是兩個(gè)不共線的向量，若與是共線向量，則（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，則的面積為（ ）
A．2B．C．4D．
5．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，粗圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別在邊和上，則該粗圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
7．甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)分別有的人患了流感，且構(gòu)成以1為公差的等差數(shù)列．已知這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人，在此人患了流感的條件下，此人來自甲地區(qū)的概率最大，則的可能取值為（ ）
A．1.21B．1.34C．1.49D．1.51
8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．的最小值為1B．的最小值為1
C．為遞增數(shù)列D．為遞減數(shù)列
10．在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．平面
C．點(diǎn)到直線的距離為D．點(diǎn)到平面的距離為
11．通信工程中常用元數(shù)組表示信息，其中或．設(shè)表示和中相對(duì)應(yīng)的元素（對(duì)應(yīng)，）不同的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則存在5個(gè)5元數(shù)組，使得
B．若，則存在12個(gè)5元數(shù)組，使得
C．若元數(shù)組，則
D．若元數(shù)組，則
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則______．
13．底面半徑為2且軸截面為正三角形的圓錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)高為的圓錐，所得的圓臺(tái)的側(cè)面積為______．
14．在平面直角坐標(biāo)系中，整點(diǎn)（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)）在第一象限，直線，與分別切于兩點(diǎn)，與軸分別交于兩點(diǎn)，則使得周長(zhǎng)為的所有點(diǎn)的坐標(biāo)是______．
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）
已知函數(shù)是的零點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的值域．
16．（15分）
如圖，四棱錐的底面為正方形，平面平面在上，且．
（1）證明：平面；
（2）若為的中點(diǎn)，且，求平面與平面夾角的余弦值．
17．（15分）
人的性格可以大體分為“外向型”和“內(nèi)向型”兩種，樹人中學(xué)為了了解這兩種性格特征與人的性別是否存在關(guān)聯(lián)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取90名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)：
（1）以上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從該校男生中隨機(jī)抽取2人、女生中隨機(jī)抽取1人擔(dān)任志愿者．設(shè)這三人中性格外向型的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．
（2）對(duì)表格中的數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以得出獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論是這兩種性格特征與人的性別沒有關(guān)聯(lián)．如果將表格中的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷這兩種性格特征與人的性別之間的關(guān)聯(lián)性，得到的結(jié)論是否一致？請(qǐng)說明理由．
附：參考公式：．
18．（17分）
已知雙曲線，動(dòng)直線與軸交于點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，是的等比中項(xiàng)，．
（1）若兩點(diǎn)位于軸的同側(cè)，求取最小值時(shí)的周長(zhǎng)；
（2）若，且兩點(diǎn)位于軸的異側(cè)，證明：為等腰三角形．
19．（17分）
已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）求證：；
（3）若且，求證：．
2023~2024學(xué)年福州市高三年級(jí)2月份質(zhì)量檢測(cè)
數(shù)學(xué)試題
參考答案
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一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．【答案】A
【解析】集合包含所有小于1的實(shí)數(shù)，包含和1兩個(gè)元素，所以．
2．【答案】B
【解析】將點(diǎn)代入，可得，故的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為1．
3．【答案】D
【解析】依題意，設(shè)，又是兩個(gè)不共線的向量，所以，所以．
4．【答案】B
【解析】由余弦定理得，，所以，
所以．
5．【答案】D
【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，解得．故選D．
6．【答案】C
【解析】不妨設(shè)橢圓方程為，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，即，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以?br>7．【答案】D
【解析】設(shè)事件分別為“此人來自甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)”，事件分別為“此人患了流感，且分別來自甲、乙、丙地區(qū)”，事件為“此人患了流感”．
由題可知，，
所以，因?yàn)榇巳嘶剂肆鞲衼碜约椎貐^(qū)的概率最大，所以解得，故選D．
8．【答案】C
【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，則，又，所以，所以，所以，
所以，所以，即，
所以3是的一個(gè)周期；因?yàn)?，故C正確；
取符合題意的函數(shù)，則，
所以，又，故2不是的一個(gè)周期，所以，排除B；
因?yàn)椴皇呛瘮?shù)的最值，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，排除A；因?yàn)?，所以排除D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．【答案】ABC
【解析】假設(shè)的公差為，由，所以，又，
所以，所以．
選項(xiàng)A：，故時(shí)的最小值為1，A正確；
選項(xiàng)B：，令，所以，可知在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時(shí)取得最小值1，B正確；
選項(xiàng)C：，故為遞增數(shù)列，C正確；
選項(xiàng)D：，因?yàn)?，所以不是遞減數(shù)列，D錯(cuò)誤．
10．【答案】BC
【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易知，，，，，．
選項(xiàng)A，，，所以A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，顯然，可得平面，所以B正確；
選項(xiàng)C，記直線的單位方向向量為，則，又，
所以向量在直線上的投影向量為，
則有到直線的距離為，故C正確；
選項(xiàng)D，設(shè)平面的法向量為，由，
可求得，又，所以點(diǎn)到平面的距離，
故D錯(cuò)誤．
11．【答案】ACD
【解析】選項(xiàng)A：滿足條件的數(shù)組共有個(gè)，故A正確；
選項(xiàng)B：滿足條件的數(shù)組共有個(gè)，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：設(shè)中對(duì)應(yīng)項(xiàng)同時(shí)為0的共有個(gè)，同時(shí)為1的共有個(gè)，從而對(duì)應(yīng)項(xiàng)一項(xiàng)為1與另一項(xiàng)為0的共有個(gè)，這里，從而，而，故C正確，同理D正確．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．【答案】
【解析】依題意可知，所以．
13．【答案】
【解析】由已知可得圓臺(tái)的上底面半徑，下底面半徑，母線長(zhǎng)，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為．
14．【答案】或
【解析】因?yàn)橹本€分別與相切于兩點(diǎn)，且直線分別與軸交于兩點(diǎn)，所以，
所以的周長(zhǎng)為
，
所以，設(shè)，所以，因?yàn)闉檎c(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
備注：只寫出一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)不得分．
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．【解析】（1）由已知可得，
解得，
即，
又，可得．
（2）由，可得
，
其中，
則當(dāng)時(shí)取得最小值時(shí)取得最大值2，
故函數(shù)的值域?yàn)椋?br>16．【解法一】
（1）因?yàn)椋?br>所以平面，
又平面，所以，
又，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面
（2）由（1）得平面，又平面，所以，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br>又，所以，所以，
由（1）知兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則．
所以，
顯然平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的法向量為，則
即取，則，
所以，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
【解法二】
（1）因?yàn)?，所以平面?br>又平面，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>平面，所以平面，又平面，所以，
又平面平面，
所以平面．
（2）由（1）知兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．
設(shè)，則，
所以，
由，得，解得，或（舍去），
所以，
所以，
顯然平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的法向量為，則
即取，則，
則，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
17．【解法一】
（1）由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知，外向型男生在所有男生中占比為，外向型女生在所有女生中占比為，故從該校男生中隨機(jī)抽取一人為外向型男生的概率是，從該校女生中隨機(jī)抽取一人為外向型女生的概率是．
則的所有可能取值為0，1，2，3．
則，
，
所以．
（2）零假設(shè)為：這兩種性格特征與人的性別無關(guān)聯(lián)．
由所獲得的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來10倍，可知
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷這兩種性格特征與人的性別有關(guān)聯(lián)，與原來的結(jié)論不一致，原因是每個(gè)數(shù)據(jù)擴(kuò)大為原來的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來的10倍，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化．
【解法二】
（1）由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知，外向型男生在所有男生中占比為，外向型女生在所有女生中占比為，故從該校男生中隨機(jī)抽取一人為外向型男生的概率是，從該校女生中隨機(jī)抽取一人為外向型女生的概率是．
從該校男生中隨機(jī)抽取2人，抽到性格外向型的人數(shù)記為；從該校女生中隨機(jī)抽取1人，抽到性格外向型的人數(shù)記為，則，
所以，
所以．
（2）略，同解法一．
18．【解法一】
（1）因?yàn)閯?dòng)直線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)榈挠医裹c(diǎn)為，所以點(diǎn)為的右焦點(diǎn)．
設(shè)，
因?yàn)閮牲c(diǎn)位于軸的同側(cè)，所以，
因?yàn)槭堑牡缺戎许?xiàng)，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，
當(dāng)時(shí)，所以，所以軸，
由解得，
所以，所以，
由雙曲線的定義得，
所以，
即的周長(zhǎng)為36
（2）設(shè)，
由得，
因?yàn)橹本€與交于兩點(diǎn)，
所以且，
由，可得，故，
又兩點(diǎn)位于軸的異側(cè)，所以，所以，即，
所以，解得，
所以，所以，
所以，
不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，根據(jù)雙曲線定義，得，即
解得，所以是等腰三角形．
【解法二】
（1）設(shè)
由得，
因?yàn)橹本€與交于兩點(diǎn)，
所以且，
由兩點(diǎn)位于軸的同側(cè)，可得，解得，
又是的等比中項(xiàng)，故可得，
故，
即，
又，故，
可得，即且，所以，
當(dāng)即時(shí)，所以軸，由解得，
所以，所以，
又，所以，
所以，
即的周長(zhǎng)為36．
（2）因?yàn)閮牲c(diǎn)位于軸的異側(cè)，故，所以，
且由（1）知，
解得或，
當(dāng)時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
又的垂直平分線的斜率為，所以的垂直平分線方程為，
即，
又點(diǎn)在直線上，所以，即為等腰三角形．
當(dāng)時(shí)，同理可證，為等腰三角形．
綜上所述，為等腰三角形．
19．【解法一】
（1）的定義域?yàn)?，?br>記，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減
所以，即，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．
（2）先證，記，則，
記，則，所以時(shí)，遞增；
時(shí)，遞減．
所以，所以，又，所以，故．
再證，即證，記，
則，
記，則，所以在遞增，
所以，所以，即，
所以．
（3）由（2）知的最大值為0．
因?yàn)榍?，則之中至少有一個(gè)大于1，
不妨設(shè)，則，由（1）可知為減函數(shù)，所以，
所以，
因?yàn)?br>，
記，則，
因?yàn)?，所以，所以，所以?br>【解法二】
（1）略，同解法一
（2）構(gòu)造函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，所以，
構(gòu)造函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
所以，即，即成立．
所以，
所以，
9分則只需證明，即，而顯然成立，
所以．
（3）先證，記，則，
記，則，所以時(shí)，遞增；
時(shí)，遞減．
所以，所以，又，所以，故．
所以，
因?yàn)榍遥?br>所以，
所以，所以，則．外向型
內(nèi)向型
男性
45
15
女性
20
10
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635

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