2023~2024學(xué)年第一學(xué)期福州市高一年級期末質(zhì)量檢測
數(shù)學(xué)試卷
（完卷時間：120分鐘；滿分：150分）
友情提示：請將所有答案填寫到答題卡上！請不要錯位、越界答題！
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.
A.B.C.D.
2.命題“，”的否定是
A.，B.，
C.，D.，
3.在下列區(qū)間中，方程的實數(shù)解所在的區(qū)間為
A.B.C.D.
4.已知集合，，則
A.B.C.D.
5.設(shè)，則“”是“”的
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
6.已知，，，則
A.B.C.D.
7.已知，則
A.B.C.D.
8.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放.已知過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時間（單位：h）的關(guān)系為（且，且），其圖象如下，則污染物減少至少需要的時間約為
（參考數(shù)據(jù)：，）
A.23小時B.25小時C.42小時D.44小時
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9.已知，則下列不等式成立的是
A.B.
C.D.
10.已知函數(shù)的部分圖象如下所示，則
A.
B.在上單調(diào)遞增
C.的圖象關(guān)于直線對稱
D.將的圖象向左平移個單位長度后所得的圖象關(guān)于原點對稱
11.已知函數(shù)的定義域為，，都有，且，則
A.B.
C.是增函數(shù)D.是偶函數(shù)
12.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有3個實數(shù)解，，，則
A.
B.
C.
D.關(guān)于的方程恰有3個實數(shù)解
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過定點，則的坐標是______.
14.已知扇形的弧長是，面積是，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為______.
15.已知函數(shù)不恒為0，且同時具備下列三個性質(zhì)：
①；②是偶函數(shù)；③，，.
寫出一個函數(shù)______.
16.用表示函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，已知.
（1）若，則的取值范圍是______.
（2）若，則的取值范圍是______.（第一空2分，第二空3分）
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.（10分）
已知函數(shù).
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求的取值范圍.
18.（12分）
已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點.
（1）求，，的值；
（2）將的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)，此時終邊所對應(yīng)的角為，求的值.
19.（12分）
已知函數(shù)，.
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.
20.（12分）
已知函數(shù).
（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）解不等式.
21.（12分）
已知函數(shù)為奇函數(shù)，.
（1）求實數(shù)的值；
（2），，使得，求實數(shù)的取值范圍.
22.（12分）
筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖，假定在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為的筒車開啟后按逆時針方向做勻速圓周運動，每分鐘轉(zhuǎn)1圈、筒車的軸心距離水面的高度為.設(shè)筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負數(shù)）.若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，則與時間（單位：s）之間的關(guān)系為.
（1）求，，，的值；
（2）若盛水筒在不同時刻，距離水面的高度相等，求的最小值；
（3）若筒車上均勻分布了12個盛水筒，在筒車運行一周的過程中，求相鄰兩個盛水筒距離水面的高度差的最大值.
數(shù)學(xué)參考答案與評分細則
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.B 8.D
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9.AD 10.ACD 11.BC 12.ABD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13..14.2.
15..（答案不唯一，如，（且）等均可）
16.（1）；（第一空2分） （2）.（第二空3分）
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.解：（1）.
因為，所以，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為7.
（2）由（1）知函數(shù)的最小值為7，
因為恒成立，所以，
解得，
所以的取值范圍是.
18.解法：（1）根據(jù)題意可得，，
則，，.
（注：每個三角函數(shù)值各2分）
（2）根據(jù)題意可得，
所以
解法二：（1）同解法一.
（2）根據(jù)題意可得，，
所以，
，
（注：解答過程有體現(xiàn)角與的關(guān)系，得1分）
所以.
19.解：（1）根據(jù)題意可得，，
即.
因為，所以，
所以，即.
所以
由，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
（2）因為，所以，
所以當，即時，；
當，即時，
20.解：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（注：結(jié)論后置不扣分）
證明：任取，且，則
由，得，
所以，，故，
即，所以，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（2）函數(shù)的定義域為，
因為，都有，且，
所以為偶函數(shù).
又由（1）知，在上是單調(diào)遞增，
所以等價于，
兩邊平方，得，
解得或，
所以不等式的解集為.
21.解：（1）因為是奇函數(shù)，所以，
即，
整理得.
所以.
解得，
當時，，舍去，
當時，函數(shù)的定義域為，符合題意.
所以。
（注：定義域沒寫不扣分，若用特殊值法求出的值，但未檢驗的扣1分）
（2）設(shè)，
根據(jù)題意可得，.
由（1）知，
當時，，故.
，
設(shè)，函數(shù)，.
①當時，，可得，符合題意；
②當時，，圖象的對稱軸為.
（i）當時，對稱軸，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，
由，得，即，
所以；
（ii）當時，
若，即時，，
由，得，
所以；
若，即村，，
由，得，
所以；
綜上所述，的取值范圍是.
22.解：（1）如圖，設(shè)筒車與水面的交點為，，連接，
過點作于點，過點分別作于點，于點，
則，
因為筒車轉(zhuǎn)一周需要1分鐘，所以，
故.
在中，
，
所以，即.
（2）由（1）知，.
不妨設(shè)，由題意得，
故，
所以，或，.
當，時，解得，
故，當且僅當，時，等號成立.
此時的最小值為60；
當，時，解得，
顯然當時，取得最小值40.
綜上，的最小值為.
（3）設(shè)在筒車運行一周的過程中，相鄰兩個盛水筒距離水面的高度差為
兩個相鄰的盛水筒的位置分別用和表示，則.
所以
，
當，即，時，
高度差的最大值為
（注：高度差的表達式不唯一）

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