考點(diǎn)一：分式的定義 考點(diǎn)二：分式有意義的條件
考點(diǎn)三：分式的值為零的條件 考點(diǎn)四：分式的值
考點(diǎn)五：分式的基本性質(zhì) 考點(diǎn)六：約分
考點(diǎn)七：通分 考點(diǎn)八：最簡分式
考點(diǎn)九：最簡公分母 考點(diǎn)十：列代數(shù)式（分式）
考點(diǎn)考向
一．分式的定義
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因?yàn)?不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0．
（3）分式是兩個(gè)整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除號，還兼有括號的作用．
（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時(shí)，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡．
（5）分式是一種表達(dá)形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一種除法運(yùn)算，而不能稱之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)次冪表示的某些代數(shù)式如（a+b）﹣2，y﹣1，則為分式，因?yàn)閥﹣1＝僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，而非一種運(yùn)算形式．
二．分式有意義的條件
（1）分式有意義的條件是分母不等于零．
（2）分式無意義的條件是分母等于零．
（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號．
（4）分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號．
三．分式的值為零的條件
分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．
四．分式的值
分式求值歷來是各級考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時(shí)應(yīng)從已知條件和所求問題的特點(diǎn)出發(fā)，通過適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．
五．分式的基本性質(zhì)
（1）分式的基本性質(zhì)：
分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．
（2）分式中的符號法則：
分子、分母、分式本身同時(shí)改變兩處的符號，分式的值不變．
【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問題
1．分式中的系數(shù)化整問題：當(dāng)分子、分母的系數(shù)為分?jǐn)?shù)或小數(shù)時(shí)，應(yīng)用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)．
2．解決分式中的變號問題：分式的分子、分母及分式本身的三個(gè)符號，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變，注意分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，分子、分母應(yīng)為一個(gè)整體，改變符號是指改變分子、分母中各項(xiàng)的符號．
3．處理分式中的恒等變形問題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的．
六．約分
（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．
（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定．
①分式約分的結(jié)果可能是最簡分式，也可能是整式．
②當(dāng)分子與分母含有負(fù)號時(shí)，一般把負(fù)號提到分式本身的前面．
③約分時(shí)，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項(xiàng)式的，必須先分解因式．
（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．
七．通分
（1）通分的定義：把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．
（2）通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母．
①最簡公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)．
②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪的積．
（3）規(guī)律方法總結(jié)：通分時(shí)若各分式的分母還能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最簡公分母，最簡公分母的系數(shù)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)，因式為各分母中相同因式的最高次冪，各分母中不相同的因式都要作為最簡公分母中的因式，要防止遺漏因式．
八．最簡分式
最簡分式的定義：
一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫最簡分式．
和分?jǐn)?shù)不能化簡一樣，叫最簡分?jǐn)?shù)．
九．最簡公分母
（1）最簡公分母的定義：
通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．
（2）一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．
②如果各分母都是多項(xiàng)式，就可以將各個(gè)分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．
十．列代數(shù)式（分式）
（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．
（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義． ②分清數(shù)量關(guān)系． ③注意運(yùn)算順序．④規(guī)范書寫格式．⑤正確進(jìn)行代換．
注意代數(shù)式的正確書寫：出現(xiàn)除號的時(shí)候，用分?jǐn)?shù)線代替．
考點(diǎn)精講
一．分式的定義（共1小題）
1．（2022春?贛榆區(qū)校級月考）下列各式：，﹣，xy2，，，其中是分式的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】根據(jù)分式的定義逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：分式有﹣，，共2個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的定義，能熟記分式的定義是解此題的關(guān)鍵，式子（A、B是整式）中，分母B中含有字母，則叫分式．
二．分式有意義的條件（共1小題）
2．（2022春?六合區(qū)校級月考）分式有意義，x的取值范圍是 ．
【分析】根據(jù)分式有意義的條件，使分式分母不等于0，列出不等式，解不等式即可得出答案．
【解答】解：∵分式 有意義，
∴3x﹣2≠0，
解得，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查分式有意義的條件，即：分母不等于0，如果式子中含有多個(gè)分母，那么這幾個(gè)分母都不能為0．
三．分式的值為零的條件（共1小題）
3．（2022?亭湖區(qū)校級開學(xué)）當(dāng)x＝ 3 時(shí)，分式的值為零．
【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．兩個(gè)條件需同時(shí)具備，缺一不可．
【解答】解：分式的值為零，即x2﹣9＝0，
∵x≠﹣3，
∴x＝3．
故當(dāng)x＝3時(shí)，分式的值為零．
故答案為3．
【點(diǎn)評】由于該類型的題易忽略分母不為0這個(gè)條件，所以常以這個(gè)知識點(diǎn)來命題．
四．分式的值（共7小題）
4．（2022秋?高郵市期末）已知x2﹣3x﹣m＝0，則代數(shù)式的值是（ ）
A．3B．2C．D．
【分析】先將已知等式變形為x2﹣m＝3x，再代入求解即可．
【解答】解：由x2﹣3x﹣m＝0得x2﹣m＝3x，
則，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的化簡求值，根據(jù)所求式子，正確變形已知等式是解題關(guān)鍵．
5．（2022春?溧水區(qū)期中）關(guān)于分式的判斷，下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)x＝2時(shí)，分式的值為零
B．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，分式無意義
C．當(dāng)x≠2時(shí)，分式有意義
D．無論x為何值，分式的值總為負(fù)數(shù)
【分析】利用分式有無意義、值為0的條件，逐個(gè)判斷得結(jié)論．
【解答】解：當(dāng)x＝2時(shí)，分式無意義，故A說法錯(cuò)誤；
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，分式的值為0，故B說法錯(cuò)誤；
當(dāng)x≠2時(shí)，分式有意義，故C說法正確；
當(dāng)x＝3時(shí)，分式的值不為負(fù)數(shù)，故D說法錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了分式有無意義及值為0的條件．當(dāng)分式的分母為0時(shí)，分式無意義；當(dāng)分式的分子為0，分母不為0時(shí)分式的值為0；當(dāng)分式的分母不為0時(shí)，分式總有意義．
6．（2021春?沭陽縣校級期末）已知＝0，求的值．
【分析】直接利用算術(shù)平方根的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)結(jié)合分式有意義的條件得出x，y的值，進(jìn)而代入求出答案．
【解答】解：∵＝0，
∴x﹣3y＝0，x2﹣9＝0，x+3≠0，
解得：x＝3，y＝1，
則＝＝2．
所以的值是2．
【點(diǎn)評】此題主要考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)，正確得出x，y的值是解題關(guān)鍵．
7．（2022春?鼓樓區(qū)期中）閱讀材料．
已知，求的值．
解：由，得，
顛倒分子與分母的位置為，
因?yàn)椋剑?br>所以．
回答問題：
已知a，b，c為非零實(shí)數(shù)，，，求代數(shù)式的值．
【分析】先分別求得的倒數(shù)，再將計(jì)算結(jié)果代入的倒數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：∵，，，
∴＝6，＝8，＝10，
∴++＝6+8+10，
∴，
∴＝24，
∴，
，
∴＝．
【點(diǎn)評】此題考查的是分式的計(jì)算，能夠根據(jù)已知等式進(jìn)行正確變形是解決此題的關(guān)鍵．
8．（2021春?江都區(qū)校級期中）小明和小強(qiáng)一起做分式的游戲，如圖所示他們面前各有三張牌（互相可以看到對方的牌），自己任選兩張牌做分子和分母，組成一個(gè)分式，然后兩人取定一個(gè)相同的x值，再計(jì)算分式的值，值大者為勝．為使分式有意義，他們約定x是大于3的正整數(shù)．
（1）請分別寫出小明和小強(qiáng)可能組成的分式中，值最大的分式（直接寫出結(jié)果）；
（2）小強(qiáng)思考了一下，哈哈一笑，說：“雖然我是三張帶減號的牌，但我一定是勝者”，小強(qiáng)說的有道理嗎？請你通過計(jì)算說明．
小明的牌：
小強(qiáng)的牌：
【分析】（1）根據(jù)分式值的意義，確定分式的分子和分母即可；
（2）作差法即可比較出與的大?。?br>【解答】解：（1）∵x是大于3的正整數(shù)．
∴x﹣1＞x﹣2＞x﹣3＞0，x+3＞x+2＞x+1＞0，
∴小明用x+3作分子，x+1作分母，其分式的值最大，
小強(qiáng)用x﹣1作分子，x﹣3作分母，其分式的值最大，
∴小明：；小強(qiáng)：；
（2）小強(qiáng)說的有道理，理由如下：﹣＝；
∴當(dāng)x是大于3的正整數(shù)時(shí)，＜0；
即＜；
故小強(qiáng)說的有道理．
【點(diǎn)評】本題考查分式的定義及分式的加減運(yùn)算，解題關(guān)鍵是利用作差法比較大?。?br>9．（2022春?洪澤區(qū)期中）小紅、小剛、小明三位同學(xué)在討論：當(dāng)x取何整數(shù)時(shí)，分式的值是整數(shù)？
小紅說：這個(gè)分式的分子、分母都含有x，它們的值均隨x取值的變化而變化，有點(diǎn)難．
小剛說：我會解這類問題：當(dāng)x取何整數(shù)時(shí)，分式的值是整數(shù)？3是x+1的整數(shù)倍即可，注意不要忘記負(fù)數(shù)哦．
小明說：可將分式與分?jǐn)?shù)進(jìn)行類比．本題可以類比小學(xué)里學(xué)過的“假分?jǐn)?shù)”，當(dāng)分子大于分母時(shí)，可以將“假分?jǐn)?shù)”化為一個(gè)整數(shù)與“真分?jǐn)?shù)”的和．比如：＝＝2+（通常寫成帶分?jǐn)?shù)：2）．類比分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母次數(shù)時(shí)，可稱這樣的分式為“假分式”，若將化成一個(gè)整式與一個(gè)“真分式”的和，就轉(zhuǎn)化成小剛說的那類問題了！
小紅、小剛說：對！我們試試看！…
（1）解決小剛提出的問題；
（2）解決他們共同討論的問題．
【分析】（1）只要3是x+1的倍數(shù)即可；
（2）將分式化成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和，5是x+1的倍數(shù)即可．
【解答】解：（1）當(dāng)x+1＝±1，±3時(shí)，分式的值是整數(shù)，
∴x＝0，﹣2，2，﹣4．
（2）＝3﹣，
當(dāng)x+1＝±1，±5時(shí)，分式的值為整數(shù)，
∴x＝0，﹣2，4，﹣6．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的整數(shù)值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，看懂題意是解題的關(guān)鍵．
10．（2021春?海州區(qū)期中）已知：，
（1）若A＝，求m的值；
（2）當(dāng)a取哪些整數(shù)時(shí)，分式B的值為整數(shù)；
（3）若a＞0，比較A與B的大小關(guān)系．
【分析】（1）根據(jù)分式的值相等，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（2）根據(jù)拆項(xiàng)法，可得1﹣，根據(jù)是整數(shù)，可得a的值；
（3）根據(jù)作差法，可得答案．
【解答】解：（1）由A＝，得
＝1﹣＝，2﹣m＝1，解得m＝1；
（2）B＝＝1﹣，∴當(dāng)a+4＝±1時(shí)B為整數(shù)
a＝﹣3，a＝﹣5．
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，A﹣B＝﹣＜0，
A＜B．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的值，利用分式的值得出方程是解題關(guān)鍵．
五．分式的基本性質(zhì)（共2小題）
11．（2022春?泰州月考）下列變形中，正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
【解答】解：A、＝﹣1，符合題意；
B、＝，不符合題意；
C、＝＝﹣，不符合題意；
D、＝（c≠0），不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，熟知分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變是解題的關(guān)鍵．
12．（2022春?銅山區(qū)期中）如果把分式中的x和y都擴(kuò)大為原來的3倍，那么分式的值（ ）
A．不變B．?dāng)U大3倍
C．縮小為原來的D．?dāng)U大9倍
【分析】根據(jù)x，y都擴(kuò)大3倍，即可得出分子擴(kuò)大9倍，分母擴(kuò)大3倍，由此即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵x，y都擴(kuò)大為原來3倍，
∴分子3xy擴(kuò)大9倍，分母x﹣y擴(kuò)大3倍，
∴分式的值擴(kuò)大3倍．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)x、y的變化找出分子分母的變化．
六．約分（共6小題）
13．（2022春?淮安區(qū)期末）化簡分式的結(jié)果是 ．
【分析】直接將分式的分子分解因式，進(jìn)而化簡得出答案．
【解答】解：原式＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】此題主要考查了約分，正確化簡分式是解題關(guān)鍵．
14．（2022春?宿豫區(qū)期中）約分：＝ ．
【分析】把分子分母的公因式2ab約去即可．
【解答】解：＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查分式的化簡，解題的關(guān)鍵是掌握分式的約分的方法，理解最簡分式的意義，屬于中考基礎(chǔ)題．
15．（2022春?寶應(yīng)縣期中）化簡：＝ ．
【分析】直接將分式的分母分解因式，再利用分式的性質(zhì)化簡得出答案．
【解答】解：＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】此題主要考查了約分，正確化簡分式是解題關(guān)鍵．
16．（2022春?洪澤區(qū)期中）約分：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用分式的性質(zhì)化簡得出答案；
（2）首先將分子與分母分解因式，進(jìn)而化簡得出答案．
【解答】解：（1）原式＝＝﹣6a；
（2）原式＝＝．
【點(diǎn)評】此題主要考查了約分，正確分解因式再約分是解題關(guān)鍵．
17．（2020春?濱湖區(qū)期中）約分：
（1）；
（2）．
【分析】（1）將找到分子、分母的公因式，再約分即可得；
（2）先將分子、分母因式分解，再約去公因式即可得．
【解答】解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝＝．
【點(diǎn)評】本題主要考查約分，由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．
18．（2021春?沭陽縣期中）約分：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用分式的性質(zhì)化簡得出答案；
（2）直接利用分式的性質(zhì)化簡得出答案．
【解答】解：（1）＝﹣3xy；
（2）
＝﹣
＝﹣．
【點(diǎn)評】此題主要考查了分式的約分，正確化簡分式是解題關(guān)鍵．
七．通分（共2小題）
19．（2022春?泗陽縣期中）（1）約分：
（2）通分：與
【分析】（1）直接利用分式的性質(zhì)化簡，進(jìn)而得出答案；
（2）首先得出最簡公分母，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝＝；
（2）與，最簡公分母為：3a2bc，
則＝＝，
＝＝．
【點(diǎn)評】此題主要考查了通分與約分，正確掌握分式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
20．（2018春?沭陽縣期中）（1）通分：；
（2）通分：，．
【分析】找出最簡公分母，根據(jù)分式的通分法則計(jì)算即可．
【解答】解：（1）＝，＝；
（2）＝，＝．
【點(diǎn)評】本題考查的是分式的通分、約分，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
八．最簡分式（共1小題）
21．（2022秋?泰山區(qū)期末）分式，，，中，最簡分式有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】最簡分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而進(jìn)行約分．
【解答】解：分子分母有公因式x2﹣1，
；；這三個(gè)是最簡分式．
故選：C．
【點(diǎn)評】最簡分式就是分子和分母沒有可以約分的公因式．
九．最簡公分母（共2小題）
22．（2022春?南京期末）分式與﹣的最簡公分母是（ ）
A．6x3yB．6x2yC．18x2yD．18x3y
【分析】確定最簡公分母的方法是：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個(gè)因式；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．
【解答】解：分式與﹣的最簡公分母是6x2y．
故選：B．
【點(diǎn)評】此題考查了最簡公分母，熟練掌握最簡公分母的找法是解本題的關(guān)鍵．
23．（2022春?梁溪區(qū)校級期中）分式與的最簡公分母是 xyz ．
【分析】確定最簡公分母的方法是：
（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；
（2）凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個(gè)因式；
（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．
【解答】解：分式與的分母分別是xy、yz，所以最簡公分母xyz．
故答案為：xyz．
【點(diǎn)評】本題考查了最簡公分母的定義及求法．通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里． ②如果各分母都是多項(xiàng)式，就可以將各個(gè)分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．
一十．列代數(shù)式（分式）（共2小題）
24．（2022春?溧陽市期中）用漫灌方式給綠地澆水，a天用水10噸，改用噴灌方式后，10噸水可以比原來多用5天，那么噴灌比漫灌平均每天節(jié)約用水 噸．
【分析】漫灌時(shí)平均每天的用水量為噸，噴灌平均每天用水量為噸，然后求它們的差即可．
【解答】解：噴灌比漫灌平均每天節(jié)約用水量為﹣＝（噸）．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了列代數(shù)式（分式）：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義． ②分清數(shù)量關(guān)系． ③注意運(yùn)算順序．④規(guī)范書寫格式．⑤正確進(jìn)行代換．
25．（2022春?梁溪區(qū)校級期中）甲、乙兩地相距x千米，某人從甲地前往乙地，原計(jì)劃y小時(shí)到達(dá)，因故延遲了2小時(shí)到達(dá)，則他平均每小時(shí)比原計(jì)劃少走的千米數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【分析】實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃多走的路程＝實(shí)際速度﹣原計(jì)劃速度，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【解答】解：∵原計(jì)劃速度為千米/時(shí)，實(shí)際速度為千米/時(shí)，
∴實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃少走（）千米，
故選：C．
【點(diǎn)評】考查列代數(shù)式（分式），得到實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃多走的路程的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．
鞏固提升
一、單選題
1．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，的值為零B．當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，的值總為正數(shù)
C．無論x為何值，不可能得整數(shù)值D．當(dāng)時(shí)，有意義
【答案】B
【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于0；分式的值為正數(shù)的條件是分式的分子、分母同號；分式值是0的條件是分子等于0，分母不為0即可得到結(jié)論．
【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，無意義，故本選項(xiàng)不合題意；
B、當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，的值總為正數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；
C、當(dāng)或2時(shí)，能得整數(shù)值，故本選項(xiàng)不合題意；
D、當(dāng)時(shí)，有意義，故本選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件和分式的值為零的條件．分式有意義的條件是分母不等于0．分式值是0的條件是分子是0，分母不是0．
2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）下列是最簡分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根據(jù)最簡分式的定義逐一分析判斷即可．
【詳解】解：A、，該選項(xiàng)不符合題意．
B、是最簡分式．該選項(xiàng)符合題意．
C、，該選項(xiàng)不符合題意．
D、，該選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了最簡分式的識別，熟記定義：“一個(gè)分式的分子與分母，除1以外沒有其它的公因式時(shí)，這樣的分式叫做最簡分式”是解本題的關(guān)鍵．
3．（2022春·江蘇·八年級專題練習(xí)）根據(jù)分式的基本性質(zhì)填空：，括號內(nèi)應(yīng)填（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把分式的分母與分子同時(shí)除以(x+1)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵分式的分母與分子同時(shí)除以(x+1)得，，
∴括號內(nèi)應(yīng)填x-1．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，熟知分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變是解答此題的關(guān)鍵．
4．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）下列變形中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)，對選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：A、，選項(xiàng)正確，符合題意；
B、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、當(dāng)時(shí)，等號右邊的式子沒有意義，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的有關(guān)性質(zhì)．
5．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）把，，通分的過程中，不正確的是（ ）
A．最簡公分母是B．
C．D．
【答案】D
【分析】按照通分的方法依次驗(yàn)證各選項(xiàng)，找出不正確的答案．
【詳解】A、最簡公分母為，正確，該選項(xiàng)不符合題意；
B、，通分正確，該選項(xiàng)不符合題意；
C、，通分正確，該選項(xiàng)不符合題意；
D、通分不正確，分子應(yīng)為，該選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．解題的關(guān)鍵是通分保證（1）各分式與原分式相等；（2）各分式分母相等．
6．（2023秋·江蘇南通·八年級如皋市實(shí)驗(yàn)初中校考期末）若把分式中和的值都擴(kuò)大3倍，則分式的值（ ）
A．?dāng)U大3倍B．不變C．縮小3倍D．?dāng)U大9倍
【答案】B
【分析】根據(jù)題意分別用和去代換原分式中的和，利用分式的基本性質(zhì)化簡即可．
【詳解】解：分別用和去代換原分式中的和得，
，
可見新分式與原分式相等，分式的值不變，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，分式的值不變，是解題的關(guān)鍵．
7．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）在，，，，中分式的個(gè)數(shù)有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】B
【分析】一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
【詳解】解：，，分母中含字母，是分式；
，分母中不含字母，不是分式；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分式的定義，掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
8．（2023秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）若分式的值為0，則______．
【答案】3
【分析】根據(jù)分式的值為零的條件即可求出的值．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：
，
解得：，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為零的條件，即分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，熟練掌握該知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
9．（2022春·江蘇泰州·八年級校考階段練習(xí)）小明用元錢去購買某種練習(xí)本．這種練習(xí)本原價(jià)每本元（），現(xiàn)在每本降價(jià)1元，購買到這種練習(xí)本的本數(shù)為______．
【答案】
【分析】先由已知條件求出現(xiàn)在每本練習(xí)本的單價(jià)，再根據(jù)“金額÷單價(jià)＝數(shù)量”列出代數(shù)式便可．
【詳解】解：根據(jù)題意得，現(xiàn)在每本單價(jià)為（b﹣1）元，
則購買到這種練習(xí)本的本數(shù)為（本）．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是列代數(shù)式，掌握列代數(shù)式的方法是解題的關(guān)鍵．
10．（2021春·江蘇·八年級專題練習(xí)）若不改變分式的值，使分子與分母的最高次項(xiàng)的符號為正，則＝______．
【答案】
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)解答．
【詳解】原式＝．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的應(yīng)用，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
11．（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）已知，則的值為______．
【答案】
【分析】設(shè)k法將都用k表示出來，直接代值求解即可．
【詳解】設(shè)，則，
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查分式的求值，解題關(guān)鍵是用一個(gè)未知數(shù)表示出所有的未知數(shù)，直接化簡．
12．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知分式，當(dāng)時(shí)，分式無意義，則a＝________．
【答案】4
【分析】根據(jù)分母等于0分式無意義列式求解即可.
【詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，分式無意義，
∴，
解得：；
故答案為4．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式無意義的條件，當(dāng)分母不等于零時(shí)，分式有意義；當(dāng)分母等于零時(shí)，分式無意義．分式是否有意義與分子的取值無關(guān)．
13．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）分式，的最簡公分母是______．
【答案】##
【分析】根據(jù)最簡公分母的確定方法，求最簡公分母時(shí)，將各分母分解因式，將所有的表達(dá)式都化成積的形式，系數(shù)取最小公倍數(shù)，取各式所有分母因式的最高次冪的積，確定最簡公分母；
【詳解】∵3和2的最小公倍數(shù)是6，的最高次冪是2，的最高次幕是3，
∴是兩者的最簡公分母，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了最簡公分母，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握最簡公分母的確定方法步驟．
14．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）約分：
（1）___________；
（2）___________；
（3）___________．
【答案】
【分析】（1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性質(zhì)約分即可；
（2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性質(zhì)約分即可；
（3）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性質(zhì)約分即可．
【詳解】解：（1）；
故答案為：
（2）；
故答案為：
（3）
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了約分，約分的關(guān)鍵是找出分式分子分母的公因式．
15．（2017春·江蘇鹽城·八年級階段練習(xí)）不改變分式的值，把分式的分子、分母各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，得_________．
【答案】
【詳解】要想將分式分母各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，可將分式分母同乘以10，
即
故答案為.
16．（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算______．
【答案】b
【分析】先算乘方，再算除法．
【詳解】解：
故答案為：b．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的化簡能力．
17．（2021春·江蘇常州·八年級常州市清潭中學(xué)?？计谥校┤绻质降闹禐檎龜?shù)，則的取值范圍是__．
【答案】且
【分析】根據(jù)平方的非負(fù)性、分式的值為正數(shù)可得，，由此即可得．
【詳解】解：分式的值為正數(shù)，且，
且，
解得且，
故答案為：且．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為正數(shù)，正確列出不等式是解題關(guān)鍵．
18．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）根據(jù)分式的基本性質(zhì)填空：．______
【答案】
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子、分母同時(shí)乘以，即可求得．
【詳解】解：，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，熟練掌握和運(yùn)用分式的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
19．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知正整數(shù)x，y滿足，則符合條件的x，y的值有______組．
【答案】2
【分析】根據(jù)x，y均為正整數(shù)，可知、，據(jù)此建立不等式并求解可知，結(jié)合，可確定可知符合條件的x的值，然后根據(jù)確定與之對應(yīng)的y的值，即可確定符合條件的x，y的值的組數(shù)．
【詳解】解：∵x，y均為正整數(shù)，
∴，，
∴，
∴，解得，
結(jié)合，可知符合條件的x的值為：1、2、3、4、5、6、7、8、9，
對應(yīng)的y的值為：9、、、、、、、、，
∴符合條件的x、y的值為，，
∴符合條件的x，y的值有2組．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值以及一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意建立不等式并求解是解題關(guān)鍵．
三、解答題
20．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）約分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）分子分母約去即可；
（2）分子分母約去即可；
（3）首先把分子分母分解因式，然后再約去分子分母的公因式即可；
（4）首先把分子分母分解因式，然后再約去分子分母的公因式即可．
【詳解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式的約分，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì)．
21．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）通分：
(1)，，；
(2)，，．
【答案】(1)，，
(2)，，
【分析】（1）先找出最簡公分母，然后通分即可；
（2）先找出最簡公分母，然后通分即可．
【詳解】（1）解：∵，
，
∴，，的最簡公分母為：，
∴三個(gè)分式通分為：，，．
（2）解：∵，
，
，
∴分式，，的最簡公分母為：，
三個(gè)分式通分為：，，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了通分，解題的關(guān)鍵是熟記最簡公分母的定義，找出各個(gè)分母數(shù)字因數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母以及指數(shù)的最高次冪，即可寫出各分式的最簡公分母．
22．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”．而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)，如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．如：，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類似的，“假分式”也可以化為“帶分式”（即：整式與真分式的和的形式）．
如：；
再如：．
解決下列問題：
(1)分式是________分式（填“真”或“假”）；
(2)請將假分式化為帶分式的形式；
(3)若分式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)x的值．
【答案】(1)真
(2)
(3)整數(shù)x的值為－1，0，2，3
【分析】（1）利用真分式的定義判斷即可；
（2）根據(jù)題干中的方法拆解即可求解；
（3）將原式化為帶分式的形式后，利用整除的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）分式是真分式．
故答案為：真
（2）原式=
=
=
=
（3）原式=
=
=
=
=
∵分式的值為整數(shù)，
即=－2，－1，1，2
解得：x =－1，0，2，3
∴整數(shù)x的值為－1，0，2，3．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，分式中的新定義，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用題干中的定義和方法是解決本題的關(guān)鍵．
23．（2022春·江蘇泰州·八年級校考階段練習(xí)）已知等式
(1)①用含的代數(shù)式表示；
②若均為正整數(shù)，求的值；
(2)設(shè)，，分別是分式中的取（>>2）時(shí)所對應(yīng)的值，試比較的大小，說明理由．
【答案】(1)①
②或者
(2)，理由見詳解
【分析】（1）①合并含y的項(xiàng)，即可求解；②根據(jù)①的關(guān)系結(jié)合x、y為正整數(shù)即可求解；
（2）根據(jù)題條件可知，，即有．設(shè)，，根據(jù)，可得，則有，，進(jìn)而可得，依據(jù)，即可得．
【詳解】（1）①由得：，
即，
②∵x、y為正整數(shù)，，
∴可知y只能為1或者2，
∴當(dāng)y=1時(shí)，x=4，當(dāng)y=2時(shí)，x=3，
即x、y的值為：或者；
（2），理由如下，
根據(jù)題條件可知，，
∵，
∴，
設(shè)，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，即，
則有：，
即
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
結(jié)論得證．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的運(yùn)算以及求解二元一次方程的正整數(shù)解等知識，解答本題要注重?fù)Q元的思想．
24．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如果一個(gè)分式的分子或分母可以因式分解，且這個(gè)分式不可約分，那么我們稱這個(gè)分式為“和諧分式”．
(1)下列分式：①； ②；③；④其中不是“和諧分式”的是(填寫序號即可)；
(2)若a為整數(shù)，且為“和諧分式”請求出a的值．
【答案】(1)②③④
(2)或或
【分析】（1）根據(jù)“和諧分式”的定義，進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)“和諧分式”的定義，可知可以進(jìn)行因式分解，且不能有因式，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：由題意，得：
①，是“和諧分式”；
②，分式可以約分，不是“和諧分式”；
③，分式可以約分，不是“和諧分式”；
④，分式可以約分，不是“和諧分式”；
綜上，不是“和諧分式”的是②③④；
故答案為：②③④；
（2）解：∵為“和諧分式”，
∴可以進(jìn)行因式分解，且不能有因式，
∴或或或，
∴或或．
【點(diǎn)睛】本題考查新定義，以及因式分解．理解并掌握“和諧分式”的定義，以及公式法和十字相乘法因式分解，是解題的關(guān)鍵．
25．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖所示的是小婷同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀，并回答相應(yīng)的問題：
×年×月×日，星期日
整體代入法求分式的值
今天我在一本數(shù)學(xué)課外書上看到這樣一道題：已知求分式的值．該題沒有給出x，y的值，怎樣求出分式的值？數(shù)學(xué)課外書上介紹了這兩種方法：
方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy，
∴原式＝
方法2：x y≠0，將分式的分子、分母同時(shí)除以x y得，
原式＝
(1)“方法一”中運(yùn)用了“分式”這一章的數(shù)學(xué)依據(jù)是 ．
(2)請你將“方法2”中的剩余解題過程補(bǔ)充完整．
(3)若（a，b都不為0），請直接寫出的值．
【答案】(1)分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．
(2)見解析
(3)1
【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)求解；
（2）將分式的分子、分母同時(shí)除以得原式，然后利用整體代入的方法計(jì)算；
（3）把代入分式中化簡即可．
【詳解】（1）“方法一”中運(yùn)用了“分式”這一章的數(shù)學(xué)依據(jù)是分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．
故答案為：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．
（2）∵，
∴原式＝
＝
＝，
∵，
∴，
∴原式=；
（3）∵，
∴，
∴=1．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)：靈活運(yùn)用分式的基本性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．也考查了整體代入的方法．
26．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知：代數(shù)式．
(1)當(dāng)為何值時(shí)，該式無意義？
(2)當(dāng)為何整數(shù)時(shí)，該式的值為正整數(shù)？
【答案】(1)
(2)或0
【分析】（1）根據(jù)分母等于0計(jì)算即可；
（2）根據(jù)值為整數(shù)進(jìn)行判斷求解即可；
【詳解】（1）解：由題意得：，
解得：；
（2）解：代數(shù)式的值為正整數(shù)，
或，
解得：或0．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的值，準(zhǔn)確分析，列出方程是解題的關(guān)鍵．
27．（2023秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列等式：
，
，
，
(1)依此規(guī)律進(jìn)行下去，第5個(gè)等式為 ，猜想第個(gè)等式為 ；
(2)證明（1）中猜想的第個(gè)等式．
【答案】(1)，
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)給定的等式的變化找出變化規(guī)律，依此規(guī)律即可得出結(jié)論；
（2）利用統(tǒng)分的方法即可得出等式的左邊=等式右邊，此題得證．
【詳解】（1）解：第5個(gè)等式為，猜想第個(gè)等式為；
故答案為：，；
（2）證明：等式左邊，等式右邊，
∴等式左邊=等式右邊
即
證畢．
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)據(jù)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
28．（2022春·江蘇·八年級專題練習(xí)）不改變分式的值，把下列分式的分子、分母中各項(xiàng)的系數(shù)化為整數(shù)．
（1） （2） ．
【答案】（1）；（2） ．
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)變形即可；
【詳解】解：（1）原式；
（2）原式=；
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級下冊電子課本 舊教材

10.1 分式

版本： 蘇科版

年級： 八年級下冊

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