參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
號：20699741．（2022春?銅梁區(qū)期末）下列根式是最簡二次根式的是（ ）
A．18aB．a(chǎn)2+4C．2a3D．13
【分析】利用最簡二次根式定義判斷即可．
【解答】解：A、原式＝32a，不符合題意；
B、原式為最簡二次根式，符合題意；
C、原式＝a2a，不符合題意；
D、原式=33，不符合題意．
故選：B．
2．（2022春?高青縣期末）若y=x?2+4?2x?3，則（x+y）2022等于（ ）
A．1B．5C．﹣5D．﹣1
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得x＝2，從而求得y＝﹣3，進而解決此題．
【解答】解：∵y=x?2+4?2x?3，
∴x﹣2≥0，4﹣2x≥0．
∴x≥2，x≤2．
∴x＝2．
∴y=x?2+4?2x?3=0+0﹣3＝﹣3．
∴（x+y）2022＝（2﹣3）2022＝（﹣1）2022＝1．
故選：A．
3．（2022春?河西區(qū)期中）已知96n是整數(shù)，正整數(shù)n的最小值為（ ）
A．96B．6C．24D．2
【分析】根據(jù)96＝42×6n，若96n是整數(shù)，則96n一定是一個完全平方數(shù)，即可求解．
【解答】解：96＝42×6n，則96n是整數(shù)，
則正整數(shù)n的最小值6．
故選：B．
4．（2022春?饒平縣校級期末）下列各式中，一定是二次根式的個數(shù)為（ ）
3，m，x2+1，34，?m2?1，a3（a≥0），2a+1（a＜12）
A．3個B．4個C．5個D．6個
【分析】根據(jù)二次根式的定義即可作出判斷．
【解答】解：3一定是二次根式；
當(dāng)m＜0時，m不是二次根式；
對于任意的數(shù)x，x2+1＞0，則x2+1一定是二次根式；
34是三次方根，不是二次根式；
﹣m2﹣1＜0，則?m2?1不是二次根式；
a3是二次根式；
當(dāng)a＜12時，2a+1可能小于0，不是二次根式．
故選：A．
5．（2022春?麻城市期中）已知x+y＝﹣5，xy＝4，則yx+xy的值是（ ）
A．?52B．52C．±52D．254
【分析】根據(jù)已知條件得出x、y同號，并且x、y都是負(fù)數(shù)，求出x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，再求出答案即可．
【解答】解：∵x+y＝﹣5，xy＝4，
∴x、y同號，并且x、y都是負(fù)數(shù)，
解得：x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，
當(dāng)x＝﹣1，y＝﹣4時，yx+xy=?4?1+?1?4
＝2+12
=52；
當(dāng)x＝﹣4，y＝﹣1時，yx+xy=?1?4+?4?1
=12+2
=52，
則yx+xy的值是52，
故選：B．
6．（2022春?沙坪壩區(qū)校級月考）已知方程x+3y=300，則此方程的正整數(shù)解的組數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先把300化為最簡二次根式，由x+3y=300可知x，y化為最簡根式應(yīng)與3為同類根式，即可得到此方程的正整數(shù)解的組數(shù)有三組．
【解答】解：∵300=103，x，y為正整數(shù)，
∴x，y化為最簡根式應(yīng)與3為同類根式，只能有以下三種情況：
x+3y=3+93=43+63=73+33=103．
∴x1=3y1=27，x2=48y2=12，x3=147y3=3，共有三組解．
故選：C．
7．（2022春?沙坪壩區(qū)校級月考）下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ）
A．0.49與30.7B．5x2y與15xy2
C．x?y與x+yx2?y2D．yxx3y5與xyxy2
【分析】把四組式子化成最簡二次根式后根據(jù)同類二次根式的定義進行判斷．
【解答】解：A、0.49=0.7，不是二次根式，本項錯誤；
B、5x2y=x5y，15xy2=y55x，不是同類二次根式，本項錯誤；
C、x+yx2?y2=1x?yx?y與x?y是同類二次根式，本項正確；
D、yxx3y5=y3xy，xyxy2=xx不是同類二次根式，本項錯誤，
故選：C．
8．（2022春?內(nèi)黃縣校級月考）如圖、在一個長方形中無重疊的放入面積分別為16cm2和12cm2的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（ ）
A．（4﹣23）cm2B．（83?4）cm2C．（83?12）cm2D．8cm2
【分析】欲求S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由題意得S正方形ABCH＝HC2＝16cm2，S正方形LMEF＝LM2＝LF2＝12cm2，故HC＝4cm，LM＝LF＝23cm，進而解決此題．
【解答】解：如圖．
由題意知：S正方形ABCH＝HC2＝16cm2，S正方形LMEF＝LM2＝LF2＝12cm2，
∴HC＝4cm，LM＝LF＝23cm．
∴S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCDE
＝HL?LF+MC?ME
＝HL?LF+MC?LF
＝（HL+MC）?LF
＝（HC﹣LM）?LF
＝（4﹣23）×23
＝（83?12）（cm2）．
故選：C．
9．（2022春?沙坪壩區(qū)校級月考）二次根式除法可以這樣解：如2+32?3=(2+3)(2+3)(2?3)(2+3)=7+43．像這樣通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫分母有理化，判斷下列選項正確的是（ ）
①若a是2的小數(shù)部分，則3a的值為2+1；
②比較兩個二次根式的大小16?2＞15?3；
③計算23+3+253+35+275+57+?+29997+9799=1?33；
④對于式子15?2，對它的分子分母同時乘以5?2或5或7﹣210，均不能對其分母有理化；
⑤設(shè)實數(shù)x，y滿足（x+x2+2022）（y+y2+2022）＝2022，則（x+y）2+2022＝2022；
⑥若x=n+1?nn+1+n，y=1x，且19x2+123xy+19y2＝1985，則正整數(shù)n＝2．
A．①④⑤B．②③④C．②④⑤⑥D(zhuǎn)．②④⑥
【分析】①a=2?1，把3a直接分母有理化即可判斷；
②把16?2和15?3分別分母有理化比較大小即可；
③把23+3+253+35+275+57+?+29997+9799的各項先分母有理化，再裂成兩項計算即可；
④按照題意，分別進行分母有理化計算即可判斷；
⑤先化簡成x+x2+2022=y2=2022?y和y+y2+2022=x2+2022?x兩個式子，把兩個式子相加即可求出x+y＝0，再判斷即可；
⑥分別把x和y分母有理化，求出x+y和xy的值，代入19x2+123+19y2＝1985，求出x2+y2＝98，再求出x+y的值即可．
【解答】解：①若a是2的小數(shù)部分，則3a=32?1=3(2+1)(2?1)(2+1)=32+3，
故①錯誤，不符合題意；
②∵16?2=6+2(6?2)(6+2)=6+22，15?3=5+32，6+2＞5+3，
∴16?2＞15?3，
故②正確，符合題意；
③23+3+253+35+275+57+?+29997+9799
=3?33+53?3515+75?5735+...+9997?97999603
＝1?33+33?55+55?77+...+9797?9999
＝1?9999
＝1?1133，
故③錯誤；
④15?2=5?2(5?2)(5?2)=5?27?210，
15?2=5(5?2)×5=55?10，
15?2=7?210(5?2)(7?210)=7?210155?172，
∴均不能對其分母有理化，
故④正確；
⑤∵（x+x2+2022）（y+y2+2022）＝2022，
∴（x+x2+2022）=2022y+y2+2022，
∴x+x2+2022=y2+2022?y，
同理y+y2+2022=x2+2022?x，
兩式相加得，x+y＝0，
∴（x+y）2+2022＝2022，
故⑤正確；
⑥x=n+1?nn+1+n=(n+1?n)2(n+1+n)(n+1?n)=2n+1﹣2n(n+1)，
y=1x=n+1+nn+1?n=2n+1+2n(n+1)，
∴x+y＝4n+2，xy＝1，x＞0，y＞0，
∴19x2+123+19y2＝1985，
∴x2+y2＝98，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝100，
∴x+y＝10，
∴n＝2，
故⑥正確；
故選：C．
10．（2022?鄞州區(qū)校級自主招生）設(shè)S=1+112+122+1+122+132+?+1+120162+120172，則S最接近的整數(shù)是（ ）
A．2015B．2016C．2017D．2018
【分析】先對通式進行化簡，然后將S的各項代入計算即可．
【解答】解：∵1+1n2+1(n+1)2
=n2(n+1)2+n2+(n+1)2[n(n+1)]2
=[n(n+1)]2+2n(n+1)+1[n(n+1)]2
=(n2+n+1)2[n(n+1)]2
=n2+n+1n(n+1)
＝1+1n(n+1)
＝1+1n?1n+1，
S=1+112+122+1+122+132+?+1+120162+120172
＝（1+1?12）+（1+12?13）+…+（1+12016?12017）
＝2016+（1?12+12?13+13?14+?+12016?12017
＝2017?12017，
所以S最接近的整數(shù)是2017，
故選：C．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（2022?合肥模擬）使代數(shù)式x?2x有意義的x的取值范圍是 x≥2 ．
【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計算即可得解．
【解答】解：由題意得，x﹣2≥0且x≠0，
解得x≥2且x≠0，
所以，x≥2．
故答案為：x≥2．
12．（2022秋?平昌縣月考）化簡：﹣a?1a化成最簡二次根式為 ?a ．
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：由題意a＜0，
﹣a?1a=(?a)2×(1?a)=?a，
故答案為：?a．
13．（2022春?玉林期中）若a=?1+1?4t2，b=?1?1?4t2，則aba+b= ﹣t ．（結(jié)果用含t的式子表示）
【分析】先根據(jù)二次根式的加法和二次根式的乘法法則求出a+b和ab的值，再求出答案即可．
【解答】解：∵a=?1+1?4t2，b=?1?1?4t2，
∴a+b=?1+1?4t2+?1?1?4t2=?1，
ab=?1+1?4t2×?1?1?4t2
=12?(1?4t)24=t，
∴aba+b=t?1
＝﹣t，
故答案為：﹣t．
14．（2022春?蘇州期末）像（5+2）（5?2）＝3、a?a=a（a≥0）、（b+1）（b?1）＝b﹣1（b≥0）…兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．請寫出3?2的一個有理化因式 3+2 ．
【分析】根據(jù)題意可以解答本題．
【解答】解：∵(3?2)(3+2)=1，
∴3+2是3?2的一個有理化因式．
故答案為：3+2（答案不唯一）．
15．（2022春?沙坪壩區(qū)校級月考）實數(shù)a、b滿足a2?4a+4+36?12a+a2=10?|b+4|?|b?2|，則a2+b2的最大值為 52 ．
【分析】根據(jù)a2=|a|化簡變形得：|a﹣2|+|a﹣6|+|b+4|+|b﹣2|＝10，a到2和6的距離之和＝4，b到﹣4和2的距離之和是6，得到2≤a≤6，﹣4≤b≤2，根據(jù)|a|最大為6，|b|最大為4即可得出答案．
【解答】解：原式變形為(a?2)2+(a?6)2+|b+4|+|b﹣2|＝10，
∴|a﹣2|+|a﹣6|+|b+4|+|b﹣2|＝10，
∴a到2和6的距離之和是4，b到﹣4和2的距離之和是6，
∴2≤a≤6，﹣4≤b≤2，
∴|a|最大為6，|b|最大為4，
∴a2+b2＝62+（﹣4）2＝36+16＝52．
故答案為：52．
16．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）已知x=n+1?nn+1+n，y=n+1+nn+1?n，且19x2+123xy+19y2＝1985，則正整數(shù)n的值為 2 ．
【分析】先將x，y分母有理化化簡為含n的代數(shù)式，可得x+y＝4n+2，xy＝1，然后將xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985，結(jié)果化簡為x2+y2＝98，進而求解．
【解答】解：∵x=n+1?nn+1+n=(n+1?n)2(n+1+n)(n+1?n)=（n+1?n）2＝2n+1﹣2n(n+1)，
y=n+1+nn+1?n，(n+1+n)2(n+1?n)(n+1+n)=（n+1+n）2＝2n+1+2n(n+1)，
∴x+y＝4n+2，xy＝1，
將xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985得19x2+123+19y2＝1985，
化簡得x2+y2＝98，
（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2＝100，
∴x+y＝10．
∴4n+2＝10，
解得n＝2．
故答案為：2．
三．解答題（共7小題，滿分52分）
17．（2022春?亭湖區(qū)校級月考）計算：
（1）3×6÷8；
（2）35+212?20+1432；
（3）ab2÷ba×a3b；（其中a＞0，b＞0）
（4）（3+5）2+（3?1）（3+1）．
【分析】（1）先算乘法，再算除法即可；
（2）先化簡，然后合并同類二次根式即可；
（3）根據(jù)二次根式的乘除法可以解答本題；
（4）根據(jù)完全平方公式和平方差公式將題目中的式子展開，然后合并同類二次根式和同類項即可．
【解答】解：（1）3×6÷8
＝32÷22
=32；
（2）35+212?20+1432
＝35+2?25+2
=5+22；
（3）ab2÷ba×a3b（其中a＞0，b＞0）
＝ba?ab?aab
＝aba3
＝a2ba；
（4）（3+5）2+（3?1）（3+1）
＝3+215+5+3﹣1
＝10+215．
18．（2022秋?管城區(qū)校級月考）如果13?7的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，求ab的值．
【分析】由13?7=3+72，可得整數(shù)部分是a＝2，小數(shù)部分是b=7?12，繼而求得ab的值．
【解答】解：∵13?7=3+7(3?7)(3+7)=3+72，
∵2＜7＜3，
∴2＜3+72＜3，
∴a＝2，b=3+72?2=7?12，
∴ab=a÷b＝2÷7?12=47?1=27+23．
19．（2022?自流井區(qū)校級自主招生）已知a?1+|4﹣b|＝0，先化簡，再求值．
（bab+b+aab?a）÷aba+b×a?ba+b．
【分析】首先把各個二次根式分母有理化，然后約分，最后求出a的值，代入即可．
【解答】解；（bab+b+aab?a）÷aba+b×a?ba+b
＝（bab+b+aab?a）×a+bab×a?ba+b，
＝（ab?ba?b?ab+aa?b）×a?bab，
=?a?bab，
∵a?1+|4﹣b|＝0，
∴a＝1，b＝4，
原式=?1?44=?54．
20．（2022春?閔行區(qū)校級期中）已知x=1a?a，求x+2+4x+x2x+2?4x+x2的值．
【分析】先將所求式子分母有理化，然后化簡，再根據(jù)x=1a?a，可以用a的代數(shù)式表示x，再將關(guān)于x的式子代入化簡后的式子，整理化簡即可．
【解答】解：x+2+4x+x2x+2?4x+x2
=(x+2+4x+x2)(x+2+4x+x2)(x+2?4x+x2)(x+2+4x+x2)
=(x+2)2+2(x+2)4x+x2+4x+x2(x+2)2?(4x+x2)
=x2+4x+4+2(x+2)4x+x2+4x+x2x2+4x+4?4x?x2
=2x2+8x+4+2(x+2)4x+x24
=x2+4x+2+(x+2)4x+x22，
∵x=1a?a，
∴x=1a?2+a，
∴x+2=1a+a，x2+4x+2＝a2+1a2，x2+4x＝a2+1a2?2，
則原式=a2+1a2+(1a+a)a2+1a2?22
=a2+1a2+(1a+a)(1a?a)22
=a2+1a2+(1a+a)(1a?a)2
=a2+1a2+1a2?a22
=2a22
=1a2．
21．（2022秋?市中區(qū)校級期中）如圖，正方形的面積為72厘米2，它的四個角是面積為8厘米2的小正方形，現(xiàn)將四個角剪掉，制作一個無蓋的長方體盒子，求這個長方體的體積是多少？（結(jié)果保留根號）
【分析】由大正方形的面積和小正方形的面積分別求得其邊長，再求得長方體的底邊與高，然后按照長方體的體積公式計算即可．
【解答】解：∵大正方形的面積為72厘米2，
∴大正方形的邊長為72=62（cm），
∵四個角是面積為8厘米2的小正方形，
∴小正方形的邊長為8=22（cm），
∴這個長方體的底邊長為：62?42=22（cm），高為22cm，
∴這個長方體的體積是：(22)2×22=162（cm3）．
22．（2022春?翔安區(qū)期末）觀察下列一組等式，然后解答后面的問題
（2+1）（2?1）＝1，（3+2）（3?2）＝1，（4+3）（4?3）＝1…
（1）觀察上面規(guī)律，計算下面的式子12+1+13+2+14+3+?+199+100
（2）利用上面的規(guī)律
比較11?10與12?11的大?。?br>【分析】（1）根據(jù)題目中材料，可以先將所求式子分母有理化，再化簡即可解答本題；
（2）根據(jù)上面的規(guī)律可以比較11?10與12?11的大小．
【解答】解：（1）12+1+13+2+14+3+?+199+100
=(2?1)+(3?2)+(4?3)+?+（100?99）
=2?1+3?2+4?3+?+100?99
=100?1
＝10﹣1
＝9；
（2）∵11?10=(11?10)(11+10)11+10=111+10，
12?11=(12?11)(12+11)12+11=112+11，
又∵12+11＞11+10，
∴111+10＞112+11，
即11?10＞12?11．
23．（2022春?羅山縣期末）先閱讀下列解答過程，再解答．
形如m±2n的化簡，只要我們找到兩個數(shù)a，b，使a+b＝m，ab＝n，
即（a）2+（b）2＝m，ab=n，那么便有：
m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b）．
例如：化簡：7+43．
解：首先把7+43化為7+212，這里m＝7，n＝12，
由于4+3＝7，4×3＝12，
即（4）2+（3）2＝7，4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
根據(jù)上述例題的方法化簡：13?242．
【分析】首先確定m＝13，n＝42，然后確定兩個數(shù)的和是13，積是42，然后根據(jù)例題即可解答．
【解答】解：∵m＝13，n＝42，
又∵6+7＝13，6×7＝42，
即（6）2＝6，（7）2＝7，6×7=42，
∴13?242=(6?7)2=7?6．

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初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級下冊電子課本 舊教材

12.1 二次根式

版本： 蘇科版

年級： 八年級下冊

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