蘇科版八年級(jí)下冊(cè)第12章 二次根式12.1 二次根式當(dāng)堂檢測(cè)題

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1．已知x、y為實(shí)數(shù)，且y=x?2023+2023?x+1，則x+y的值是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)求出x的值，代入求得y的值，代入代數(shù)式求值即可．
【詳解】解：∵x?2023≥0，2023?x≥0，
∴x?2023=0，
∴x=2023，
∴y=1，
∴x+y=2023+1=2024，
故選：C．
2．已知x?11?7?x+x?92=3y?2，則2x?18y2的值為（ ）．
A．22B．20C．18D．16
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)將已知化簡(jiǎn)，再將原式變形求出答案．
【詳解】解：解：∵x?11一定有意義，
∴x≥11，
∴x?11?7?x+x?92=3y?2，
x?11+7?x+x?9=3y?2，
整理得：x?11=3y，
∴x?11=9y2，
則2x?18y2=2x?2x?11=22．
故答案為：22．
3．已知﹣1＜a＜0，化簡(jiǎn)(a+1a)2?4+(a?1a)2+4的結(jié)果為_(kāi)__．
【分析】根據(jù)題意得到a?1a>0，a+1a0，a±2b>0)化簡(jiǎn)呢？如能找到兩個(gè)數(shù)m，n(m>0,n>0)，使得(m)2+(n)2=a，即m+n=a，且使m?n=b，即m?n=b，那么a±2b=(m)2+(n)2±2m?n=(m±n)2 ∴ a±2b=|m±n|，雙重二次根式得以化簡(jiǎn)．
例如化簡(jiǎn)：3±22，
因?yàn)?=1+2且2=1×2，
∴3±22=(1)2+(2)2±21×2∴3±22=|1±2|，
由此對(duì)于任意一個(gè)二次根式只要可以將其化成a±2b的形式，且能找到m，n(m>0,n>0)使得m+n=a，且m?n=b，那么這個(gè)雙重二次根式一定可以化簡(jiǎn)為一個(gè)二次根式．
請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)閱讀上述材料，完成下列問(wèn)題：
(1)填空：5±26=___________，12±235=___________；
(2)化簡(jiǎn)：9±62；
(3)計(jì)算：3?5+2±3．
【分析】（1）仿照閱讀材料，把被開(kāi)方數(shù)變形成完全平方式，即可得答案；
（2）把62變形成218，仿照閱讀材料的方法可得答案；
（3）將5變形成254，3變形成234，再把被開(kāi)方數(shù)變形成完全平方式，即可算得答案．
【詳解】（1）解：5±26=(3±2)2=3±2，
12±235=(7±5)2=7±5，
故答案為：3±2，7±5；
（2）9±62=9±218=(6±3)2=6±3；
（3）3?5+2+3
=3?254+2+234
=(52?12)2+(32+12)2
=52?12+32+12
=10+62，
同理可得3?5+2?3=10+6?222．
2．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+22=1+22，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：
若設(shè)a+b2=m+n22=m2+2n2+2mn2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a=m2+2n2，b=2mn．這樣小明就找到了一種把類(lèi)似a+b2的式子化為平方式的方法，請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：
(1)若a+b7=m+n72，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時(shí)，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=______，b=______；
(2)若a+63=m+n32，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；
(3)化簡(jiǎn)下列格式：
①5+26
②7?210
③4?10+25+4+10+25．
【分析】（1）利用完全平方公式展開(kāi)可得到用m、n表示出a、b；
（2）利用（1）中結(jié)論得到6=2mn，利用a、m、n均為正整數(shù)得到m=1，n=3或m=3，n=1，然后利用a=m2+3n2計(jì)算對(duì)應(yīng)a的值；
（3）設(shè)4?10+25+4+10+25=t，兩邊平方得到t2=4?10+25+4 +10+25 +216?(10+25)，然后利用（1）中的結(jié)論化簡(jiǎn)得到t2=6+25，最后把6+25寫(xiě)成完全平方形式可得到t的值．
【詳解】（1）設(shè)a+b7=m+n72=m2+7n2+2mn7（其中a、b、m、n均為整數(shù)），
則有a=m2+7n2，b=2mn；
故答案為：m2+7n2，2mn；
（2）∵6=2mn，
∴mn=3，
∵a、m、n均為正整數(shù)，
∴m=1，n=3或m=3，n=1，
當(dāng)m=1，n=3時(shí)，a=m2+3n2=12+3×32=28；
當(dāng)m=3，n=1時(shí)，a=m2+3n2=32+3×12=12；
即a的值為12或28；
（3）①5+26=3+2+23×2=3+22=3+2
②7?210=5+2?25×2=5?22=5?2
③設(shè)4?10+25+4+10+25=t，
則t2=4?10+25+4 +10+25 +216?(10+25)
=8+26?25
=8+2(5?1)2
=8+25?1
=6+25
=5+12，
∴t=5+1．
3．小明在做二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，遇到了比較復(fù)雜的二次根式5?26，通過(guò)資料的查詢(xún)，他得到了該二次根式的化簡(jiǎn)過(guò)程如下
5?26=2?2×2×3+3
＝22?2×2×3+32
＝2?32
=2?3
=3?2
(1)結(jié)合以上化簡(jiǎn)過(guò)程，請(qǐng)你動(dòng)手嘗試化簡(jiǎn)4?23．
(2)善于動(dòng)腦的小明繼續(xù)探究：當(dāng)a，b，m，n為正整數(shù)時(shí)，若a+2b= m+n2，則a+2b=(m+n)+2mn ，所以a=m+n,b=mn，若a+217= m+n2，且a，m，n為正整數(shù)，m>n；求a，m，n的值．
【分析】（1）根據(jù)閱讀材料和完全平方公式以及二次根式的性質(zhì)解答；
（2）先將m+n2展開(kāi)，然后與a+217對(duì)邊得到a=m+n、17=mn，再根據(jù)a，m，n為正整數(shù)，m>n確定m、n的值，進(jìn)而求得a的值．
【詳解】（1）解：4?23
=1?2×1×3+3
=（1）2?2×1×3+（3）2
=（1?3）2
=1?3
=3?1．
（2）解：∵a+217= (m+n)2=m+2mn+n
∴a=m+n，17=mn
∵a，m，n為正整數(shù)，m>n
∴m=17，n=1，a=m+n=17+1=18．
4．閱讀材料：
材料一:數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過(guò)完全平方式及二次根式的性質(zhì)化去一層(或多層)根號(hào),如：(1)2+(2)2?2×1×2=(1?2)2=1?2=2?1
材料二：配方法是初中數(shù)學(xué)思想方法中的一種重要的解題方法，配方法的最終目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式來(lái)解決問(wèn)題，它的應(yīng)用非常廣泛，在解方程、化簡(jiǎn)根式、因式分解等方面都經(jīng)常 用到．
如：x2+22x+3=x2+2·2·x+(2)2+1=(x+2)2+1
∵(x+2)2≥0，∴(x+2)2+1≥1，即x2+22x+3≥1
∴x2+22x+3的最小值為1
閱讀上述材料解決下面問(wèn)題：
（1）4?23= ，5+26= ；
（2）求x2+43x+11的最值；
（3）已知x=3?13?43，求?14(4+23)x2y2+(3+1)xy?5的最值．
【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性質(zhì)即可求解；
（2）利用完全平方公式配方即可求解；
（3）先化簡(jiǎn)x,再代入代數(shù)式化簡(jiǎn)，最后求出其最值即可求解.
【詳解】（1）4?23=(3?1)2=3?1=3?1，5+26=(3+2)2=3+2=3+2；
故答案為：3?1；3+2
（2）∵x2+43x+11=x2+43x+12?1=(x+23)2?1≥-1
∴x2+43x+11的最小值為-1；
（3）∵x=3?13?43=3?(23?1)2=3?(23?1)=4?23=3?1
∴?14(4+23)x2y2+(3+1)xy?5
=?14(4+23)(4?23)y2+(3+1)(3?1)y?5
=?y2+2y?5
=?(y?1)2?4≤-4
故?14(4+23)x2y2+(3+1)xy?5的最大值為-4.
5．閱讀材料：康康在學(xué)習(xí)二次根式后、發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，
如：3+22=1+22，善于思考的康康進(jìn)行了以下探索：
設(shè)a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），
則有a+b2=m2+2n2+2mn2（有理數(shù)和無(wú)理數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等），
∴a=m2+2n2，b=2mn，這樣康康就找到了一種把式子a+b2化為平方式的方法．
請(qǐng)你仿照康康的方法探索并解決下列問(wèn)題：
(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分別表示a、b，得：a=________，b=________；
(2)若7?43=e?f32，且e、f均為正整數(shù)，試化簡(jiǎn)：7?43；
(3)化簡(jiǎn)：7+21?80．
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算進(jìn)行求解；
（2）將7?43變?yōu)?2?2×2×3+32即可求解；
（3）將7+21?80化為1+52進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：∵c+d32=c2+23cd+3d2=c2+3d2+23cd，
∴a=c2+3d2，b=2cd，
故答案為：c2+3d2，2cd；
（2）∵7?43=4?2×2×3+3=22?2×2×3+32=2?32，
∴7?43=2?32；
（3）7+21?80
=7+1?45+20=7+1?252
=7+25?1
=6+25
=1+25+5
=1+52
=1+5．
1．已知x(x?y)=3y(5y?x)，求2x?xy+3yx+xy?6y．
【分析】先根據(jù)所給的式子進(jìn)行因式分解求出x=3y，然后代入所求式子進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵x(x?y)=3y(5y?x)，
∴x2?xy=15y2?3xy，
∴x2+2xy?15y2=0，
∴x+5yx?3y=0，
∴x+5y=0或x?3y=0，
當(dāng)x+5y=0時(shí)，可以得到x=y=0所求式子無(wú)意義，應(yīng)該舍去，
∴x?3y=0，
∴x=3y，
∴x=9y
∴2x?xy+3yx+xy?6y=18y?3y+3y9y+3y?6y=3．
2．已知x=110?3，y=110+3．
（1）求x2+2xy+y2的值．
（2）求x2?4x+4x(x?2)?y2+2y+1y(y+1)值．
【分析】（1）先將x、y進(jìn)行分母有理化，再代入式子計(jì)算可得；
（2）先將式子化簡(jiǎn)再代入x、y進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）∵x=110?3=10+3，
y=110+3=10?3，
∴x+y=210，x?y=6，
∴x2+2xy+y2=(x+y)2=(210)2=40．
（2）∵x=10+3，y=10?3，
∴x?2>0，y+1>0，
∴x2?4x+4x(x?2)?y2+2y+1y(y+1)
=x?2x(x?2)?y+1y(y+1)
=1x?1y
=110+3?110?3
=10?3?10?3
=?6．
3．已知a=3?13+1，b=3+13?1
（1）求a2?ab+b2的值；
（2）若a的小數(shù)部分為m，b的小數(shù)部分為n，求m+nm－n的值．
【分析】（1）利用二次根式的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算求得a+b和ab，對(duì)所求式子利用完全平方公式變形，進(jìn)而整體代入求出即可；
（2）首先利用分母有理化法則求出a，b的值，根據(jù)1