2024年中考數(shù)學專題訓練專題06 二次函數(shù)與等腰三角形有關(guān)的問題（知識解讀）-試卷下載-教習網(wǎng)

【專題說明】
二次函數(shù)之等腰三角形存在性問題，主要指的是在平面直角坐標系下，已知一條邊（或兩個頂點）的等腰三角形存在，求第三個頂點的坐標的題型.主要考察學生對轉(zhuǎn)化思想、方程思想、幾何問題代數(shù)化的數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的靈活運用。
【解題思路】
等腰三角形的存在性問題
【方法1 幾何法】“兩圓一線”
（1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有AB=AC；
（2）以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA=CB．
注意：若有重合的情況，則需排除．
以點 C1 為例，具體求點坐標：
過點A作AH⊥x軸交x軸于點H，則AH=1，
又
類似可求點 C2 、C3、C4 ．關(guān)于點 C5 考慮另一種方法．
【方法2 代數(shù)法】點-線-方程
表示點：設(shè)點C5坐標為(m,0)，又A（1,1）、B（4,3），
表示線段：

聯(lián)立方程：，，
總結(jié)：
【典例分析】
【考點1 等腰角形的存在性】
【典例1】（2020?泰安）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c交x軸于點A（﹣4，0）、B（2，0），交y軸于點C（0，6），在y軸上有一點E（0，﹣2），連接AE．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）拋物線對稱軸上是否存在點P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標，若不存在，請說明理由．
【變式11】（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，點A的坐標為（﹣1，0），點C坐標為（0，3），對稱軸為x＝1．點M為線段OB上的一個動點（不與兩端點重合），過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．
（1）求拋物線及直線BC的表達式；
（2）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式1-2】（2022?榮昌區(qū)自主招生）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線y＝ax2+x+c沿射線BC平移，B，C的對應(yīng)點分別為M，N，當以點A，M，N為頂點的三角形是以MN為腰的等腰三角形時，請直接寫出點M的坐標，并任選其中一個點的坐標，寫出求解過程．
【典例2】（2020?貴港）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與線段BC交于點M，連接PC．當△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標．
【變式2-1】（2022?東營）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的表達式；
（2）在對稱軸上找一點Q，使△ACQ的周長最小，求點Q的坐標；
（3）點P是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點，當△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時，請直接寫出所有點M的坐標．
【變式2-1】（2021?大渡口區(qū)自主招生）如圖，若拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，直線y＝x﹣3經(jīng)過點B，C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線BC下方拋物線上一動點，過點P作PH⊥x軸于點H，交BC于點M，連接PC．
①線段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果沒有，請說明理由；
②在點P運動的過程中，是否存在點M，恰好使△PCM是以PM為腰的等腰三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
專題06 二次函數(shù)與等腰三角形有關(guān)的問題（知識解讀）
【專題說明】
二次函數(shù)之等腰三角形存在性問題，主要指的是在平面直角坐標系下，已知一條邊（或兩個頂點）的等腰三角形存在，求第三個頂點的坐標的題型.主要考察學生對轉(zhuǎn)化思想、方程思想、幾何問題代數(shù)化的數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的靈活運用。
【解題思路】
等腰三角形的存在性問題
【方法1 幾何法】“兩圓一線”
（1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有AB=AC；
（2）以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA=CB．
注意：若有重合的情況，則需排除．
以點 C1 為例，具體求點坐標：
過點A作AH⊥x軸交x軸于點H，則AH=1，
又
類似可求點 C2 、C3、C4 ．關(guān)于點 C5 考慮另一種方法．
【方法2 代數(shù)法】點-線-方程
表示點：設(shè)點C5坐標為(m,0)，又A（1,1）、B（4,3），
表示線段：

聯(lián)立方程：，，
總結(jié)：
【典例分析】
【考點1 等腰角形的存在性】
【典例1】（2020?泰安）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c交x軸于點A（﹣4，0）、B（2，0），交y軸于點C（0，6），在y軸上有一點E（0，﹣2），連接AE．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）拋物線對稱軸上是否存在點P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】（1） y＝，（2） m＝時，△ADE的面積取得最大值為（3）點P坐標為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得，
所以二次函數(shù)的解析式為：y＝，
（2）y＝的對稱軸為x＝﹣1，
設(shè)P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），
可求PA2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20，
當PA2＝PE2時，9+n2＝1+（n+2）2，
解得，n＝1，此時P（﹣1，1）；
當PA2＝AE2時，9+n2＝20，
解得，n＝，此時點P坐標為（﹣1，）；
當PE2＝AE2時，1+（n+2）2＝20，
解得，n＝﹣2，此時點P坐標為：（﹣1，﹣2）．
綜上所述，
P點的坐標為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
【變式11】（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，點A的坐標為（﹣1，0），點C坐標為（0，3），對稱軸為x＝1．點M為線段OB上的一個動點（不與兩端點重合），過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．
（1）求拋物線及直線BC的表達式；
（2）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線對稱軸為x＝1，點B與A（﹣1，0）關(guān)于直線x＝1對稱，
∴B（3，0），
設(shè)y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，則，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
故拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，直線BC的解析式為y＝﹣x+3；
（2）存在，設(shè)Q（m，﹣m+3）（0＜m＜3），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC2＝OA2+OC2＝12+32＝10，AQ2＝（m+1）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣4m+10，CQ2＝m2+m2＝2m2，
∵以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形，
∴AC＝AQ或AC＝CQ或AQ＝CQ，
當AC＝AQ時，10＝2m2﹣4m+10，
解得：m＝0（舍去）或m＝2，
∴Q（2，1）；
當AC＝CQ時，10＝2m2，
解得：m＝﹣（舍去）或m＝，
∴Q（，3﹣）；
當AQ＝CQ時，2m2﹣4m+10＝2m2，
解得：m＝，
∴Q（，）；
綜上所述，點Q的坐標為（2，1）或（，3﹣）或（，）．
【變式1-2】（2022?榮昌區(qū)自主招生）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線y＝ax2+x+c沿射線BC平移，B，C的對應(yīng)點分別為M，N，當以點A，M，N為頂點的三角形是以MN為腰的等腰三角形時，請直接寫出點M的坐標，并任選其中一個點的坐標，寫出求解過程．
【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）設(shè)拋物線沿x軸負方向平移2m個單位，則沿y軸正方向平移m個單位，
∴B點平移對應(yīng)點M（4﹣2m，m），C的對應(yīng)點N（﹣2m，2+m），
∴AM＝，AN＝，MN＝2，
①當MN＝AM時，＝2，
解得m＝2+或m＝2﹣，
∴M（﹣2，2+）或（2，2﹣）；
②當MN＝AN時，＝2，
解得m＝或m＝﹣（舍），
∴M（4﹣2，）；
綜上所述：M點坐標為（﹣2，2+）或（2，2﹣）或（4﹣2，）．
【典例2】（2020?貴港）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與線段BC交于點M，連接PC．當△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3 （2）①n＝時，PM最大＝
②P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．
【解答】解：（1）將A，B，C代入函數(shù)解析式，得
，
解得，
這個二次函數(shù)的表達式y(tǒng)＝x2﹣2x﹣3；
（2）解法一：當PM＝PC時，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，
解得n1＝n2＝0（不符合題意，舍），n3＝2，
n2﹣2n﹣3＝﹣3，
P（2，﹣3）．
當PM＝MC時，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，
解得n1＝0（不符合題意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合題意，舍），
n2﹣2n﹣3＝2﹣4，
P（3﹣，2﹣4）．
綜上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．
解法二：當PM＝PC時，
∵BC：y＝x﹣3
∴∠ABC＝45°
∵PH⊥AB
∴∠BMH＝∠CMP＝45°
∴PM＝PC時，△CPM為等腰直角三角形，CP∥x軸
設(shè)P（n，n2﹣2n﹣3），則CP＝n
MP＝﹣n2+3n
∴n＝﹣n2+3n
解得n＝0（舍去）或n＝2，
∴P（2，﹣3）
當PM＝CM時，設(shè)P（n，n2﹣2n﹣3），
則＝﹣n2+3n
＝﹣n2+3n
∵n＞0
∴n＝﹣n2+3n
解得n＝3﹣
∴P（3﹣，2﹣4）
綜上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）
【變式2-1】（2022?東營）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的表達式；
（2）在對稱軸上找一點Q，使△ACQ的周長最小，求點Q的坐標；
（3）點P是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點，當△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時，請直接寫出所有點M的坐標．
【解答】解：（1）將點A（﹣1，0），點B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）連接CB交對稱軸于點Q，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∵A、B關(guān)于對稱軸x＝1對稱，
∴AQ＝BQ，
∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
當C、B、Q三點共線時，△ACQ的周長最小，
∵C（0，﹣3），B（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∴Q（1，﹣2）；
（3）當∠BPM＝90°時，PM＝PB，
∴M點與A點重合，
∴M（﹣1，0）；
當∠PBM＝90°時，PB＝BM，
如圖1，當P點在M點上方時，過點B作x軸的垂線GH，過點P作PH⊥GH交于H，過點M作MG⊥HG交于G，
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBH+∠MBG＝90°，
∵∠PBH+∠BPH＝90°，
∴∠MBG＝∠BPH，
∵BP＝BM，
∴△BPH≌△MBG（AAS），
∴BH＝MG，PH＝BG＝2，
設(shè)P（1，t），則M（3﹣t，﹣2），
∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，
解得t＝2+或t＝2﹣，
∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），
∵M點在對稱軸的左側(cè)，
∴M點坐標為（1﹣，﹣2）；
如圖2，當P點在M點下方時，
同理可得M（3+t，2），
∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，
解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，
∴M（1﹣，2）；
綜上所述：M點的坐標為（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．
【變式2-1】（2021?大渡口區(qū)自主招生）如圖，若拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，直線y＝x﹣3經(jīng)過點B，C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線BC下方拋物線上一動點，過點P作PH⊥x軸于點H，交BC于點M，連接PC．
①線段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果沒有，請說明理由；
②在點P運動的過程中，是否存在點M，恰好使△PCM是以PM為腰的等腰三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）對于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，
故點B、C的坐標分別為（3，0）、（0，﹣3），
將點B、C的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，
故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）設(shè)：點M（x，x﹣3），則點P（x，x2﹣2x﹣3），
①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，故PM有最大值，當x＝時，PM最大值為：；
②存在，理由：
PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；
PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；
MC2＝（x﹣3+3）2+x2；
（Ⅰ）當PM＝PC時，則（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，
解得：x＝0或2（舍去0），
故x＝2，故點P（2，﹣3）；
（Ⅱ）當PM＝MC時，則（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，
解得：x＝0或3±（舍去0和3+），
故x＝3﹣，則x2﹣2x﹣3＝2﹣4，
故點P（3﹣，2﹣4）．
綜上，點P的坐標為：（2，﹣3）或（3﹣，2﹣4）．

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