專題05 對(duì)角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用（能力提升）-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀?專項(xiàng)訓(xùn)練》（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題05 對(duì)角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用（能力提升）1．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE+FD． 2．如圖．在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE﹣FD． 3．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．求證：EF＝BE+FD．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明． 4．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°．直接寫出BE、DF、EF之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE+DF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)F，使得∠EAF＝∠BAD，則結(jié)論EF＝BE+DF是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明． 5．（1）方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為DC、BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF＝45°，連接EF．將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，易證△GAF≌△EAF，從而得到結(jié)論：DE+BF＝EF．根據(jù)這個(gè)結(jié)論，若CD＝6，DE＝2，求EF的長(zhǎng)．（2）方法遷移：如圖②，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，試探究線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想（不必說(shuō)明理由）． 6．（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，這樣就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段AE的取值范圍是　　；則中線AD的取值范圍是　　；（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，此時(shí)：BE+CF　　EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點(diǎn)作∠ECF＝70°，邊CE，CF分別交AB，AD于E，F兩點(diǎn)，連接EF，此時(shí)：BE+DF　　EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在圖③的四邊形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的結(jié)論仍然成立，則∠BCD＝　　（用含α的代數(shù)式表示）. 7．【閱讀理解】截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過(guò)在一條短邊上延長(zhǎng)一條線段與另一長(zhǎng)邊相等，從而解決問題．（1）如圖 1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，連結(jié)DA、DB、DC，且∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．解題思路：延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E，使CE＝BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+BDC＝180°，則∠ABD+∠ACD＝180°，因?yàn)椤?/span>ACD+∠ACE＝180°可證∠ABD＝∠ACE，易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請(qǐng)直接寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是　　；【拓展延伸】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC＝90°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【知識(shí)應(yīng)用】（3）如圖3，兩塊斜邊長(zhǎng)都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知30°所對(duì)直角邊等于斜邊一半，則PQ的長(zhǎng)為　　cm．（結(jié)果無(wú)需化簡(jiǎn)） 8．如圖，點(diǎn)P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分線OC上，AP⊥BP，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上．（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）當(dāng)∠APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，①OA+OB的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個(gè)定值．②請(qǐng)求出OA2+OB2的最小值．

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