一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一項符合要求.
1. 已知向量，，若，則實數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線的坐標公式運算即可.
【詳解】因為，所以，得.
故選:D
2. 已知，，則“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
分析】由條件推結論可判斷充分性，由結論推條件可判斷必要性.
【詳解】若“”，則“”必成立；
但是“”，未必有“”，例如.
所以“”是“”成立的充分不必要條件.
故選：A.
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用誘導公式以及兩角和的正弦公式化簡可得結果.
【詳解】原式
.
故選：D.
4. 在△中，為邊上的中線，為的中點，則
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得，之后應用向量的加法運算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應用相反向量，求得，從而求得結果.
【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得
，
所以，故選A.
【點睛】該題考查的是有關平面向量基本定理的有關問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.
5. 設平面向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到在方向上的投影向量為，再計算求解即可.
【詳解】所以在方向上的投影向量.
故選：D.
6. 設函數(shù).若對任意的實數(shù)都成立，則的最小值為
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知條件推出函數(shù)的最大值，然后列出關系式求解即可．
【詳解】解：函數(shù)f（x）=cs（ωx﹣ ）（ω＞0），若f（x）≤f（）對任意的實數(shù)x都成立，可得： ，解得 ，
則ω的最小值為：．
故選：C.
【點睛】本題考查三角函數(shù)的最值的求法與應用，考查轉化思想以及計算能力．
7. 在菱形中，，，是的中點，是上一點，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量基本定理，用基底向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積運算即可求解.
【詳解】
故選:
8. 若函數(shù)在區(qū)間內僅有1個零點，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函數(shù)的零點，即對稱點的橫坐標，列出3個相鄰的對稱點，由在內僅有一個零點可得，解之即可.
【詳解】由題意知，
令，解得，
得函數(shù)的3個相鄰的對稱點分別為，
因為函數(shù)在內僅有一個零點，
所以，，
解得，，當時，，得
故選：C.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每題的選項中有多項符合要求.
9. 下列說法中正確的是（ ）
A. 若，，則
B. 對于向量，，，有
C. 向量，能作為所在平面內的一組基底
D. 設，為非零向量，則“存在負數(shù)λ，使得”是“”的充分而不必要條件
【答案】CD
【解析】
【分析】對四個選項一一驗證：
A：取=進行判斷；
B：當兩向量方向未必相同；
C：按基底的定義進行進行判斷；
D：分充分性和必要性進行判斷.
【詳解】A：因為零向量與任何向量平行，所以為時，不一定平行；故A錯誤；
B：與向量平行，與平行，而兩向量方向未必相同，故B錯誤；
C：因為向量與不平行，所以向量，能作為所在平面內的一組基底；故C正確；
D：充分性：因為，為非零向量，，存在負數(shù)λ，使得，則，故充分性滿足；
必要性：若，即，所以，所以不一定“存在負數(shù)λ，使得”，故必要性不滿足.故D正確.
故選：CD
10. 若函數(shù)在一個周期內的圖象如圖所示，則（ ）
A. 的最小正周期為
B. 的增區(qū)間是
C.
D. 將的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變）得到的圖象
【答案】ABD
【解析】
【分析】結合圖象根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質逐項進行分析即可求解.
【詳解】由圖象可知：，，所以，則，
又因為函數(shù)圖象過點，所以，則，所以，
又因為，所以，則函數(shù)解析式為：.
對于，函數(shù)的最小正周期，故選項正確；
對于，因為，令，
解得：，
所以函數(shù)的增區(qū)間是，故選項正確；
對于，因為函數(shù)的最小正周期，則，
，所以
，故選項錯誤；
對于，將的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變）得到，故選項正確，
故選：.
11. 關于函數(shù)，，下列命題正確的是（ ）．
A. 函數(shù)的圖象關于點對稱
B. 若，則
C. 函數(shù)的表達式可改寫為
D. 的圖象向右平移個單位長度后所得圖象關于y軸對稱
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用檢驗法將代入即可驗證A正確；根據(jù)三角函數(shù)圖像性質可得，即B錯誤；利用誘導公式可得，所以C正確；的圖象向右平移個單位長度后可以得到為偶函數(shù)，即D正確.
【詳解】對于A，將代入可得，，所以函數(shù)的圖象關于點對稱；
對于B，由可得，
即是函數(shù)的零點，所以相差半周期的整數(shù)倍，
即，所以B錯誤；
對于C，利用誘導公式可得，
所以函數(shù)的表達式可改寫為，故C正確；
對于D，的圖象向右平移個單位長度后可得
為偶函數(shù)，
即所得圖象關于y軸對稱，所以D正確；
故選：ACD
12. 如圖，在等腰直角三角形中，，，，分別為，上的動點，設，，其中，則下列說法正確的是（ ）
A 若，則
B. 若，則與不共線
C. 若，記三角形的面積為，則的最大值為
D. 若，且，分別是，邊的中點，則的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由，得到，即可判定A正確；當時，，可判定B不正確；由的面積為，結合基本不等式，可判定C正確；建立平面直角坐標系，得到，，結合，即可判定以D正確.
【詳解】對于A中，因為，，且，
可得，所以，其中，
所以，即，所以A正確；
對于B中，當時，，
可得與為共線向量，所以B不正確；
對于C中，在等腰直角中，，，且，，所以的面積為，
又由，可得，所以，
當且僅當時，等號成立，所以C正確；
對于D中，如圖所示，以A為原點，以分別為軸建立直角坐標系，
可得，
則，，可得，
因為別是，邊的中點，所以，，
又因為，可得點在單位圓上，，
所以，當且僅當三點共線時，等號成立，
所以的最小值為，所以D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 函數(shù)的圖象關于點_________中心對稱.（寫出一個正確的點坐標即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】對稱中心的橫坐標滿足，取得到
【詳解】對稱中心的橫坐標滿足：，取得到對稱中心為.
故答案為：
14. 已知，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)兩角和的正弦公式，將原式化簡整理，即可得出結果.
【詳解】由可得，
則，因此，
從而有，
即.
故答案為：.
15. 若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，，則______．
【答案】或.
【解析】
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義和模的計算公式，即可求解.
【詳解】由題意，平面向量，，兩兩的夾角相等，包括兩種情況，
可得兩兩夾角為0°或兩兩夾角為120°，
當兩兩夾角為0°時，可得，
則；
當兩兩夾角為120°時，可得，
則．
故答案為：或.
16. 已知向量，滿足：，，，則______；若為非零實數(shù)，則的最小值為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先根據(jù)可以求出，再根據(jù)即可求出；利用再結合基本不等式可求的最小值．
【詳解】，，
兩式作差可得，所以，
，
所以，所以．
，
當，即時不等式等號成立，
所以的最小值為．
故答案為：；．
四、解答題：本題共6小題，共70分.
17. 已知向量，．
（1）求向量與夾角；
（2）若，求實數(shù)的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由數(shù)量積的定義求向量夾角；
（2）垂直轉化為數(shù)量積為0可得參數(shù)．
【詳解】解：（1）∵，，
∴，
∵，，
所以向量與夾角為．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
所以．
18. 已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）將條件化為，然后，可得答案；
（2）由第一問可得，然后，解出即可.
【詳解】（1）因為，且，
所以．
故
．
又因為，所以，即，
所以．
所以．
（2）由（1）知，又因為，
所以 ．
因為，，
所以，即，
解得或．
因為，所以，
所以．
19. 已知．
（1）若角的終邊過點，求；
（2）若，分別求和值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用誘導公式化簡，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得.
（2）根據(jù)齊次式的知識求得正確答案.
【小問1詳解】
，
若角的終邊過點，則，
所以.
【小問2詳解】
若，
所以；
.
20. 已知，都是銳角，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)公式，列出方程組求解，再根據(jù)角的范圍求得，最后展開求解即可;
（2）利用關系，利用的三角函數(shù)值，計算正切，正弦，余弦都可，最后根據(jù)角的范圍求解.
【詳解】解：（1）：∵，∴
∵是銳角，∴，
∵，∴．
所以
（2）∵是銳角，，∴，
∵是銳角，．∴，
∴，
法一：，
∴
法二：
∴
法三：
∴.
【點睛】(1)給值求值問題一般是正用公式將所求“復角”展開，看需要求相關角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相應角的三角函數(shù)值，代入展開式即可．
(2)通過求所求角的某種三角函數(shù)值來求角，關鍵點在選取函數(shù)，常遵照以下原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好．
21. 已知函數(shù)的圖象時兩條相鄰對稱軸之間的距離為，將的圖象向右平移個單位后，所得函數(shù)的圖象關于y軸對稱.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩條相鄰對稱軸之間的距離可求得函數(shù)的周期，進而求得，根據(jù)平移之后函數(shù)圖象關于軸對稱，可得值，從而可得函數(shù)解析式；
（2）將所求角用已知角來表示即可求得結果．
【小問1詳解】
由題意可知，，即，
所以，，
將的圖象向右平移個單位得，
因為的圖象關于軸對稱，
所以，，
所以，，
因為，所以，
所以；
【小問2詳解】
，
所以，
，
，
所以．
22. 如圖，在等腰梯形中，，
（1）若與共線，求k的值；
（2）若P為邊上動點，求的最大值．
【答案】（1）；（2）12．
【解析】
【分析】（1）選取為基底，用基底表示其他向量后，由向量共線可得；
（2）設，，求得，由函數(shù)知識得最大值．
【詳解】（1）不共線，以它們?yōu)榛祝?br>由已知，又與共線，
所以存在實數(shù)，使得，
即，解得；
（2）等腰梯形中，，，則，
設，，
則，，
所以時，取得最大值12．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查向量的共線，向量的數(shù)量積，解題關鍵是以為基底，其它向量都用基底表示，然后求解計算．

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