?2022-2023學(xué)年江蘇省常州市華羅庚中學(xué)高二下學(xué)期4月階段測試數(shù)學(xué)試題

一、單選題
1．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】因為，所以，
故選：D
2．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.從中選出3人參加學(xué)校組織的社會實踐活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)男生甲被選中為事件，女生乙被選中為事件，分別求得，，再結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.
【詳解】解：由題意，從現(xiàn)有4名男生，2名女生選出3人參加學(xué)校組織的社會實踐活動，
設(shè)男生甲被選中為事件，其概率為，
設(shè)女生乙被選中為事件，
則男生甲被選中且女生乙也被選中的概率為，
所以在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為.
故選：B.
3．在空間直角坐標系中，平面的法向量為， 已知，則P到平面的距離等于 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)點面距的向量公式計算．
【詳解】
所求距離為．
故選：C．
4．《易系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這個數(shù)中任取個數(shù)，則這個數(shù)中至少有個陽數(shù)的概率為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本題首先可以根據(jù)題意確定個數(shù)中的陽數(shù)和陰數(shù)，然后求出任取個數(shù)中有個陽數(shù)以及任取個數(shù)中有個陽數(shù)的概率，最后兩者相加，即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意可知，個數(shù)中，、、、、是陽數(shù)，、、、、是陰數(shù)，
若任取個數(shù)中有個陽數(shù)，則，
若任取個數(shù)中有個陽數(shù)，則，
故這個數(shù)中至少有個陽數(shù)的概率，
故選：C.
【點睛】本題考查超幾何分布的概率計算，從有限的個物品（包括個指定物品）中抽取個物品，若抽取的個物品中有個指定物品，則概率，考查計算能力，是中檔題.
5．在某場新冠肺炎疫情視頻會議中，甲?乙?丙?丁?戊五位疫情防控專家輪流發(fā)言，其中甲必須排在前兩位，丙?丁必須排在一起，則這五位專家的不同發(fā)言順序共有（????）
A．8種 B．12種 C．20種 D．24種
【答案】C
【解析】先排甲，再將丙、丁捆綁在一起當(dāng)一個元素排，再排乙、戊.
【詳解】當(dāng)甲排在第一位時，共有種發(fā)言順序，
當(dāng)甲排在第二位時，共有種發(fā)言順序，
所以一共有種不同的發(fā)言順序.
故選：C.
【點睛】方法點睛：本題主要考查排列的應(yīng)用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：
（1）相鄰問題采取“捆綁法”；
（2）不相鄰問題采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；
（4）特殊元素順序確定問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).
6．已知隨機變量和，其中，且，若的分布列如下表，則的值為
ξ
1
2
3
4
P

m
n


A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)隨機變量和的關(guān)系得到，概率和為1，聯(lián)立方程組解得答案.
【詳解】且，則
即

解得
故答案選A
【點睛】本題考查了隨機變量的數(shù)學(xué)期望和概率，根據(jù)隨機變量和的關(guān)系得到是解題的關(guān)鍵.
7．的展開式的各項系數(shù)和為243，則該展開式中的系數(shù)是（????）．
A．5 B． C． D．100
【答案】C
【解析】的展開式的各項系數(shù)和為的值，求出的值，根據(jù)產(chǎn)生的項可求其系數(shù)
【詳解】解：，
所以
=展開式中的系數(shù)是：

故選：C
【點睛】考查二項展開式中各項系數(shù)的和的求法和求特定的項；基礎(chǔ)題.
8．如圖已知矩形，沿對角線將折起，當(dāng)二面角的余弦值為時，則B與D之間距離為（????）

A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】過和分別作，，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，利用向量數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化求解即可．
【詳解】解：過和分別作，，

在矩形，，
，
，
則，即，
平面與平面所成角的余弦值為，
,，
，
，，
則，
即與之間距離為，
故選：C．

二、多選題
9．近年來中國進入一個鮮花消費的增長期，某農(nóng)戶利用精準扶貧政策，貸款承包了一個新型溫室鮮花大棚，種植銷售紅玫瑰和白玫瑰.若這個大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別服從正態(tài)分布和，則下列選項正確的是（????）附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則.
A．若紅玫瑰日銷售量范圍在內(nèi)的概率是0.6827，則紅玫瑰日銷售量的平均數(shù)約為250
B．紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中
C．白玫瑰日銷售量比紅玫瑰日銷售量更集中
D．白玫瑰日銷售量范圍在內(nèi)的概率約為0.34135
【答案】ABD
【分析】由已知結(jié)合原則求得，判斷A正確；比較方差的大小判斷正確， 錯誤；再由原則求得白玫瑰日銷售量范圍在的概率可判斷正確．
【詳解】對于A，若紅玫瑰日銷售量范圍在的概率是，則，即. 紅玫瑰日銷售量的平均數(shù)約為250，正確；
對于BC，由于紅玫瑰日銷售量的方差，白玫瑰日銷售量的方差，紅玫瑰日銷售量的方差小于白玫瑰日銷售量的方差，則紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中，故正確，C錯誤；
對于D，白玫瑰日銷售量范圍在的概率
， 故正確．
故選：ABD．
10．小明與另外2名同學(xué)進行“手心手背”游戲，規(guī)則是：3人同時隨機等可能選擇手心或手背中的一種手勢，規(guī)定相同手勢人數(shù)多者每人得1分，其余每人得0分.現(xiàn)3人共進行了4次游戲，每次游戲互不影響，記小明4次游戲得分之和為，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．每次游戲中小明得1分的概率是 B．的均值是2
C．的均值是3 D．的方差是
【答案】AC
【分析】的可能取值為0，1，2，3，4，利用列舉法求出小明每次得1分的概率，從而，由此能求出和．
【詳解】解：3人同時隨機等可能選擇手心或手背中的一種手勢，
規(guī)定相同手勢人數(shù)多者每人得1分，其余每人得0分，
現(xiàn)3人共進行了4次游戲，記小明4次游戲得分之和為，
則的可能取值為0，1，2，3，4，
設(shè)其他兩位同學(xué)為，，小明為，列表得：



手心
手心
手背
手心
手背
手背
手心
手心
手心
手心
手背
手心
手背
手心
手背
手背
手心
手心
手背
手背
手背
手背
手背
手心
共有8種情況，小明得1分結(jié)果有6種情況，
小明每次得1分的概率，
故A正確；
，
故B錯誤，C正確；
，
.
故D錯誤.
故選：AC.
11．已知的展開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為1024，則下列說法正確的是（????）
A．展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256
B．展開式中第6項的系數(shù)最大
C．展開式中存在常數(shù)項
D．展開式中含項的系數(shù)為45
【答案】BCD
【解析】由二項式的展開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等可知,由展開式的各項系數(shù)之和為1024可得,則二項式為,易得該二項式展開式的二項式系數(shù)與系數(shù)相同,利用二項式系數(shù)的對稱性判斷A,B；根據(jù)通項判斷C,D即可.
【詳解】由二項式的展開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等可知,
又展開式的各項系數(shù)之和為1024,即當(dāng)時,,所以,
所以二項式為,
則二項式系數(shù)和為,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為,故A錯誤；
由可知展開式共有11項,中間項的二項式系數(shù)最大,即第6項的二項式系數(shù)最大,
因為與的系數(shù)均為1,則該二項式展開式的二項式系數(shù)與系數(shù)相同,所以第6項的系數(shù)最大,故B正確；
若展開式中存在常數(shù)項,由通項可得,解得,故C正確；
由通項可得,解得,所以系數(shù)為,故D正確,
故選: BCD
【點睛】本題考查二項式的定理的應(yīng)用,考查系數(shù)最大值的項,考查求指定項系數(shù),考查運算能力.
12．如圖，在正四棱錐P﹣ABCD中，AB＝1，PB＝2，E是PC的中點．設(shè)棱錐P﹣ABCD與棱錐E﹣BCD的體積分別為V1，V2，PB，PC與平面BDE所成的角分別為α，β，則（　　）

A．PA∥平面BDE B．PC⊥平面BDE
C．V1：V2＝4：1 D．sinα：sinβ＝1：2
【答案】ACD
【分析】證明直線與平面平行判斷A；利用反證法說明B錯誤；分別求出多面體的體積判斷C；建立空間直角坐標系，利用空間向量求解線面角判斷D，即可求解.
【詳解】連接AC，BD，設(shè)ACBD＝O，則O為AC的中點，
連接OE，∵E為PC的中點，則OE為△PAC的中位線，得PA∥OE，
因為OE?平面BDE，PA?平面BDE，所以PA∥平面BDE，故A正確；
若PC⊥平面BDE，則PC⊥OE，
又由PA∥OE，所以PC⊥PA，可得PA2+PC2＝AC2，
而PA＝PC＝2，AC，不滿足PA2+PC2＝AC2，
所以PC⊥平面BDE錯誤，故B錯誤；
由已知求得PO，則，
，所以V1：V2＝4：1，故C正確；
以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)A，OB，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
則,
可得，
設(shè)平面BDE的一個法向量為．
由，取x，得，
則sinα，sinβ，
所以，故D正確．
故選：ACD．


三、填空題
13．若隨機變量的分布列如下表，且，則的值為________.

0
2






【答案】
【分析】利用分布列求出，利用期望求解，然后求解方差即可．
【詳解】解：由題意可得：，解得，
因為，所以：，解得．
．
．
故答案為：．
【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列、方差的求法，屬于中檔題.
14．已知，則___________.
【答案】
【分析】根據(jù)：，利用通項公式求得展開式第10項的系數(shù)．
【詳解】解：，
則，
故答案為：.
15．如圖，在直三棱柱中，，是的中點，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系. 若，則異面直線與所成角的余弦值為___________

【答案】
【分析】設(shè)，由向量垂直的坐標表示可解得t，即可由向量法求得，從而求得結(jié)果.
【詳解】由題意得，設(shè)，則有，
，由得..
因為，，所以，
故異面直線與夾角的余值為.
故答案為：.
16．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去（每次跳躍時，均從一葉跳到另一葉），而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖所示，假設(shè)現(xiàn)在青蛙在葉上，則跳四次之后停在葉上的概率為______．

【答案】
【分析】分析得出青蛙四次跳躍中有次是順時針方向跳，有次是逆時針跳，分兩種情況討論：①青蛙先按逆時針開始從；②青蛙先按順時針開始從.分析出剩余三次跳躍中青蛙順時針和逆時針跳躍的次數(shù)，結(jié)合獨立事件和互斥事件的概率公式可求得結(jié)果.
【詳解】因為逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，
所以逆時針方向跳的概率是，順時針方向跳的概率是，
若青蛙在葉上，則跳四次之后停在葉上，
則滿足四次跳躍中有次是順時針方向跳，有次是逆時針跳，
若先按逆時針開始從，則剩余次中有次是按照逆時針，其余次按順時針跳，
則對應(yīng)的概率為；
若先按順時針開始從，則剩余次中有1次是按照順時針，其余次按逆時針跳，
則對應(yīng)的概率為.
故跳四次之后停在葉上的概率為．
故答案為：．
【點睛】思路點睛：求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟：
（1）首先確定各事件是相互獨立的；
（2）再確定各事件會同時發(fā)生；
（3）先求出每個事件發(fā)生的概率，再求其積.

四、解答題
17．“漸升數(shù)”是指除最高數(shù)位上的數(shù)字外，其余每一個數(shù)字均比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如13456和35678都是五位“漸升數(shù)”）.
（1）求五位“漸升數(shù)”的個數(shù)；
（2）如果把所有的五位“漸升數(shù)”按照從小到大的順序排列，求第120個五位“漸升數(shù)”.
【答案】（1）個；（2）36789.
【分析】（1）根據(jù)題意，“漸升數(shù)”中不能有0，則在其他9個數(shù)字中任取5個，每種取法對應(yīng)1個“漸升數(shù)”即可求解；
（2）分別計算1、2、3在最高數(shù)位的五位“漸升數(shù)”個數(shù)，求和可得第120個五位“漸升數(shù)”是最高數(shù)位為3的最大的五位“漸升數(shù)”.
【詳解】解：（1）根據(jù)題意，“漸升數(shù)”中不能有0，
則在其他9個數(shù)字中任取5個，每種取法對應(yīng)1個“漸升數(shù)”，則五位“漸升數(shù)”共有（個）.
（2）對于所有的五位“漸升數(shù)”，1在最高數(shù)位的有（個），
2在最高數(shù)位的有（個），
3在最高數(shù)位的有（個）.
因為，
所以第120個五位“漸升數(shù)”是最高數(shù)位為3的最大的五位“漸升數(shù)”，為36789.
18．若．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)對二項式進行賦值即可求解；
(2)先觀察式子特征，注意到可進行平方變形，然后根據(jù)時的值來計算最終結(jié)果.
【詳解】（1）∵，
令，可得，
令，可得，
∴．
（2）∵，
令，可得①，
令，可得②，
結(jié)合①②可得，

．
19．小明下班回家途經(jīng)3個有紅綠燈的路口，交通法規(guī)定：若在路口遇到紅燈，需停車等待；若在路口沒遇到紅燈，則直接通過.經(jīng)長期觀察發(fā)現(xiàn)：他在第一個路口遇到紅燈的概率為，在第二、第三個道口遇到紅燈的概率依次減小，在三個道口都沒遇到紅燈的概率為，在三個道口都遇到紅燈的概率為，且他在各路口是否遇到紅燈相互獨立.
（1）求小明下班回家途中至少有一個道口遇到紅燈的概率；
（2）求小明下班回家途中在第三個道口首次遇到紅燈的概率；
（3）記為小明下班回家途中遇到紅燈的路口個數(shù)，求數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根據(jù)對立事件的概率關(guān)系結(jié)合已知，即可求解；
（2）設(shè)第二、三個道口遇到紅燈的概率分別為，根據(jù)已知列出關(guān)于方程組，求得，即可求出結(jié)論；
（3）的可能值為分別求出概率，得出隨機變量的分布列，由期望公式，即可求解.
【詳解】（1）因為小明在三個道口都沒遇到紅燈的概率為，
所以小明下班回家途中至少有一個道口遇到紅燈的概率為；
（2）設(shè)第二、三個道口遇到紅燈的概率分別為，
依題意解得或（舍去），
所以小明下班回家途中在第三個道口首次遇到紅燈的概率；
（3）的可能值為，
，
，
，
，
分布列為











【點睛】本題考查互斥事件、對立事件概率關(guān)系，考查相互獨立同時發(fā)生的概率，以及離散型隨機變量分布列和期望，屬于中檔題.
20．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，E為的中點，且．

(1)求證：平面；
(2)記的中點為N，若M在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)2或

【分析】（1）連接，由勾股定理證得，由等腰三角形得性質(zhì)證得，再結(jié)合線面垂直得判定定理即可得證；
（2）建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，設(shè)，利用空間向量的夾角公式求出余弦值，進而列出方程，解之即可.
【詳解】（1）連接，∵，，∴且???
∴四邊形為平行四邊形；????
∵且E為的中點，∴，
所以，??????
∴，∴，即，???????
又∵，∴平面
（2）以為原點，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則,
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取???
設(shè)，則，而，所以，
∵平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，
則????
化簡得，解得：或，滿足
故線段的長度為2或．

21．某市舉辦了一次“詩詞大賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié)，已知共有20000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機地抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù).
得分（百分制）
[0，20)
[20，40)
[40，60)
[60，80)
[80，100]
人數(shù)
10
20
30
25
15
（1）規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機地抽取2人，求恰有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率；
（2）由樣本數(shù)據(jù)分析可知，該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值代替），且.利用該正態(tài)分布，估計全市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績不低于72分的人數(shù)；
（3）預(yù)賽成績不低于91分的學(xué)生將參加復(fù)賽，復(fù)賽規(guī)則如下：
①參加復(fù)賽的學(xué)生的初始分都設(shè)置為100分；
②參加復(fù)賽的學(xué)生可在答題前自己決定答題數(shù)量，每一題都需要“花”掉一定分數(shù)來獲取答題資格（即用分數(shù)來買答題資格），規(guī)定答第題時“花”掉的分數(shù)為；
③每答對一題得2分，答錯得0分；
④答完題后參加復(fù)賽學(xué)生的最終分數(shù)即為復(fù)賽成績.
已知學(xué)生甲答對每道題的概率均為0.75，且每題答對與否都相互獨立，則當(dāng)他的答題數(shù)量為多少時，他的復(fù)賽成績的期望值最大？
參考數(shù)據(jù)：若，則，，
【答案】（1）；（2）3173；（3）當(dāng)他的答題數(shù)量時，他的復(fù)賽成績的期望值最大.
【分析】（1）由表可知，樣本中成績不低于60分的學(xué)生共有40人，其中成績優(yōu)良的人數(shù)為15人，再結(jié)合排列組合與古典概型即可得解；
（2）先求出樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值，即為，從而推出，，再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可得解；
（3）以隨機變量表示甲答對的題數(shù)，則，記甲答完題所得的分數(shù)為隨機變量，則，為了獲取答道題的資格，甲需要“花”掉的分數(shù)為，設(shè)甲答完題后的復(fù)賽成績的期望值為，則，最后利用配方法即可得解．
【詳解】解：（1）由題意得樣本中成績不低于60分的學(xué)生共有40分，其中成績優(yōu)良的人數(shù)為15人，記“從樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機地抽取2人，恰有1人預(yù)賽成績優(yōu)良”為事件，則
答：“從樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機地抽取2人，恰有1人預(yù)賽成績優(yōu)良”的概率為
（2）由題意知樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值為：
，則，
由得，
所以，
所以，估計全市參加參賽的全體學(xué)生中，成績不低于72分的人數(shù)為20000×0.15865=3173，
即全市參賽學(xué)生中預(yù)賽成績不低于72分的人數(shù)為3173.
（3）以隨機變量表示甲答對的題數(shù)，則，且，
記甲答完題所加的分數(shù)為隨機變量，則，∴，
依題意為了獲取答道題的資格，甲需要“花”掉的分數(shù)為：，
設(shè)甲答完題后的復(fù)賽成績的期望值為，
則，
由于，所以當(dāng)時，取最大值104.9.
即當(dāng)他的答題數(shù)量時，他的復(fù)賽成績的期望值最大.
【點睛】本題考查古典概型、正態(tài)分布的性質(zhì)、二項分布的性質(zhì)及數(shù)學(xué)期望的實際應(yīng)用，考查學(xué)生對數(shù)據(jù)的分析與處理能力，屬于中檔題．
22．如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA＝PB＝3．

(1)證明：∠PAD＝∠PBC；
(2)當(dāng)直線PA與平面PCD所成角的正弦值最大時，求此時二面角P—AB—C的大小．
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)直線與平面位置關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為全等三角形問題即可證明；
（2）用等面積法建立二面角與線面角關(guān)系，當(dāng)線面角滿足正弦最大時，即可求二面角大?。?br /> 【詳解】（1）證明：分別取，的中點，，連接，，，
因為，所以，
又因為，所以，
又因為，，所以平面，
因為平面，所以，
在中，因為垂直平分，所以，
又因為，，所以，
從而可得；
（2）解：由（1）知，是二面角的平面角，設(shè)，，
在中，，

過點作于，則，
因為平面，平面，所以平面平面，
又因為平面平面，，平面，
所以平面，
因為平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，即為，
設(shè)直線與平面所成角為，所以，
令，，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，有最大值2，
此時直線與平面所成角為的正弦值最大，
所以當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時，二面角的大小為．

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